Hola, Candela.
No sé sabe muy bien qué duda tienes, si es la idea de inducción o es sobre cómo operar.
Es cómodo, para verlo bien, representar la sumatoria con puntos suspensivos
\( 1^{2}+2^{2}+3^{2}...+n^{2}
\); la “n” tiene que ser la misma, minúscula, o bien puedes poner “k” y usar la expresión \( {\displaystyle {\displaystyle \frac{k(k+1)(2k+1)}{6}}}
\); en cualquier caso, está representando cualquier número natural hasta el que se puede llegar empezando desde k=1 ó n=1.
Entonces igualas
\( 1^{2}+2^{2}+...+n^{2}={\displaystyle \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}}
\)
y miras a ver si esto es verdad para el primero, para n=1; y se ve que es cierto:
\( 1^{2}={\displaystyle \frac{1(1+1)(2+1)}{6}=\dfrac{6}{6}}
\)
Si quisieras ir comprobando más, ahora tomarías n=2
\( 1^{2}+2^{2}={\displaystyle \frac{2(2+1)(2\cdot2+1)}{6}=\dfrac{30}{6}=5}
\).
Pero nunca podrías comprobar hasta el último número natural, porque no hay último.
No obstante, sí que se puede demostrar que eso se cumple siempre: si eso siguiera cumpliéndose para todos los “n”, significaría que se cumpliría para cualquier “n” y para su siguiente “n+1”, fuera cual fuera “n”.
Entonces, hacemos esa hipótesis y hacemos esta sustitución que te indico:
Partimos de
\( {\color{blue}1^{2}+2^{2}+...+n^{2}}={\color{blue}{\displaystyle \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}}}
\);
escribimos lo mismo sustituyendo “n” por “n+1”:
\( {\color{blue}1^{2}+2^{2}+...+n^{2}}+(n+1)^{2}={\displaystyle \frac{(n+1)(n+1+1)\left(2(n+1)+1\right)}{6}}
\)
y sustituimos
\( {\color{blue}{\displaystyle \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}}}+(n+1)^{2}={\displaystyle \frac{(n+1)(n+1+1)\left(2(n+1)+1\right)}{6}}
\)
Lo azul está representando un caso seguro de los que puedan existir (sabemos que existe al menos un caso con n=1; y también con n=2 porque se me ha antojado probarlo; pero con n=1 ya es bastante).
Si operas y llegas a que la igualdad es cierta, entonces, como es obvio, demuestras que se cumple para “n+1” y, en cadena, por lo que es en sí misma la idea de inducción, se cumplirá para todo “n”, ya que, un “n+1” es un “n”, un natural cualquiera.
Saludos.
