Autor Tema: Problema de combinatoria

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25 Noviembre, 2019, 10:19 am
Respuesta #10

Luis Fuentes

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Hola

Exacto, siento mucho si no me expresé bien. El ejercicio no especificaba que estuvieran inmediatamente después, aunque en ese supuesto se simplifica un poco conceptualmente no? Es decir, en ese caso tendrías cinco bloques y tendrías que permutarlos por lo que las posibilidades serían 5!
Corríjanme si me equivoco y muchas gracias a todos!!

Correcto. Si fuese así, serían las formas de ordenar los cinco bloques: \( 5! \).

Saludos.

25 Noviembre, 2019, 07:47 pm
Respuesta #11

Zionira

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Ahora quedan las formadas por 1,2,4,8, que son tres parejas, pero no son independientes

Si tomamos la pareja formada con los dos del centro, 2,4, quedan seis posiciones y tenemos : \( (V_{6,2})/2=15
  \).

Cada una de éstas forman dos variaciones con los otros dos números, 1 y 8, ya que, el 1 quede siempre a la izquierda del 2 y el 4 a la izquierda del 8; las multiplica por 2.

\( 45\cdot28\cdot15\cdot2=37800
  \).


Vale, muchas gracias. Pero no me ha quedado muy claro el último paso. Es decir, entiendo que tras escoger el sitio de las tres primeras parejas, es decir seis lugares, te quedan cuatro para colocar 15,9 1 y 8 pero no entiendo porque esto lo arreglas multiplicando por dos.

Saludos!

25 Noviembre, 2019, 08:03 pm
Respuesta #12

feriva

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Ahora quedan las formadas por 1,2,4,8, que son tres parejas, pero no son independientes

Si tomamos la pareja formada con los dos del centro, 2,4, quedan seis posiciones y tenemos : \( (V_{6,2})/2=15
  \).

Cada una de éstas forman dos variaciones con los otros dos números, 1 y 8, ya que, el 1 quede siempre a la izquierda del 2 y el 4 a la izquierda del 8; las multiplica por 2.

\( 45\cdot28\cdot15\cdot2=37800
  \).


Vale, muchas gracias. Pero no me ha quedado muy claro el último paso. Es decir, entiendo que tras escoger el sitio de las tres primeras parejas, es decir seis lugares, te quedan cuatro para colocar 15,9 1 y 8 pero no entiendo porque esto lo arreglas multiplicando por dos.

Saludos!


Cuando tomas la pareja 2,4, la tienes distribuida de distinta manera pero siempre así 2...4...

y los demás entre medias.

Ahora quedan cuatro lugares. Como el 1 tiene que preceder al 2 y el 4 al 8, tendrán que ir así

1...2...4...8  (uno)

Spoiler
o así

4...8...1...2  (y dos)


Y los otros números que no forman parejas no importan, son los huecos.
[cerrar]

No perdona, sólo van así, 1...2...4...8, que veo que, si no, me salen más ahora, qué estaba diciendo yo. Claro, no respetaban la condición en lo del spoiler, no era así.

Lo que ocurre es mucho más simple, como quedan dos huecos, en ellos pueden ir 9,15 ó 15,9, estas dos posibilidades y, por el principio multiplicativo, pues el doble de todas las que hay. Multiplicas por 2.

Es por lo que tú decías al principio precisamente, esos tienen que ir fijos en orden.

Para estar segura, toma cualquier disposición; tenemos colocados ya los números 1,2,4,5,6,8,10,12 de todas las maneras posibles; toma una ordenación cualquiera, por ejemplo

1,6,12,_,2,5,10,_4,8

Todas son así, con dos huecos y esos números de puestos de una manera y otra; pues de cada una sólo puedes hacer dos con el 9 y el 15

1,6,12,9,2,5,10,15,4,8

1,6,12,15,2,5,10,9,4,8



Saludos.


25 Noviembre, 2019, 08:20 pm
Respuesta #13

noisok

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A ver si lo entiendes mejor intentando razonar la fórmula de una permutación con repetición. Esa fórmula se aplica cuando alguno u alguno de los elementos se repiten. En realidad es una permutación normal, solo que hay que eliminar ciertos casos por la repetición de los elementos.
Lo razonare con ejemplo sencillo: Si tenemos 3 cifras: 1,2,3. El numero de numeros que podemos formar es 3!=6. Estos son: 123, 132, 213, 231, 312, 321. Ahora pongamos que las cifras son 1,1,3. El numero de numeros seran los mismos que los anteriormente dados pero donde tenemos un dos debemos poner un 1, pues la cifra en donde antes habia un dos ahora tenemos un uno, dando: 113, 131, 113, 131, 311, 311. Vemos que se repiten y son en realidad solo 3. Que es lo mismo que considerar la permutación normal dividido por el factorial del elemento que se repite 2!.  Se puede generalizar...
En el problema planteado, no se repiten los elementos, sin embargo te dicen que ciertos elementos deben estar en orden fijo, por ejemplo 5,10. No importa lo que se intercale entre estos números. Pero el orden de esos dos es invariante. Por tanto fijate que estas dos cifras esta en todas posibilidades y que las permutaciones de esos dos números son 2!, y por tanto el orden en que estaran es o 5,10 o 10,5. Por eso dividimos las permutaciones normales por el 2!. De esas dos posibilidades solo nos interesa la 5,10. Que es lo mismo que si me dicen que hay dos cincos o dos dieces. Una vez apliques la reducción anterior podemos hacerla para otro bloque, como  el bloque 1,2,4,8, y se aplica el mismo razonamiento. Estas 4 cifras están en todas las permutaciones, en varios grupos donde cada grupo representa una de las posibles permutaciones del total de posibles que  son 4!, pero el orden no importa, por lo que  solo nos interesa uno de esos grupos y por eso lo dividimos por 4!, y es lo mismo que si me dicen que las cuatro cifras están repetidas por igual. Por tanto, nota que es lo mismo que pasa cuando repites un elemento. Y así sucesivamente..
Se que igual no lo he explicado del todo bien, pero espero que pilles la idea. Esta idea intenta explicar la fórmula de Abdulai, que me parece la más sencilla de aplicar y entender y en el fondo se justifica con la de una formula de permutación con repetición.

26 Noviembre, 2019, 08:53 pm
Respuesta #14

Zionira

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Entendido, gracias!! :aplauso: