Autor Tema: Principio de Inducción Completa

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26 Noviembre, 2019, 12:35 pm
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CandelaMorales

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Demostrar que : \( \displaystyle\sum_{k=1}^N k^2=\left( \displaystyle\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \right) \)

26 Noviembre, 2019, 12:59 pm
Respuesta #1

Juan Pablo Sancho

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Bienvenida al foro CandelaMorales.
Debes poner que intentaste, lo estas resolviendo por inducción, para \( n=1 \) es cierto:
\( \displaystyle \sum_{k=1}^1 k^1 = 1^2 = 1 = \dfrac{1 \cdot (1+1) \cdot (2 \cdot +1)}{6} = \dfrac{6}{6}  \).
Lo supones cierto para \( n\geq 1  \) y lo compruebas para \( n+1 \)
\( \displaystyle \sum_{k=1}^{n+1} k^2 = \sum_{k=1}^n k^2 + (k+1)^2 = \cdots  \) usa la hipótesis inductiva y hacer cuentas algebraicas.

26 Noviembre, 2019, 01:42 pm
Respuesta #2

feriva

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Hola, Candela.

No sé sabe muy bien qué duda tienes, si es la idea de inducción o es sobre cómo operar.

Es cómodo, para verlo bien, representar la sumatoria con puntos suspensivos

\( 1^{2}+2^{2}+3^{2}...+n^{2}
  \); la “n” tiene que ser la misma, minúscula, o bien puedes poner “k” y usar la expresión \( {\displaystyle {\displaystyle \frac{k(k+1)(2k+1)}{6}}}
  \); en cualquier caso, está representando cualquier número natural hasta el que se puede llegar empezando desde k=1 ó n=1.

Entonces igualas

\( 1^{2}+2^{2}+...+n^{2}={\displaystyle \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}}
  \)

y miras a ver si esto es verdad para el primero, para n=1; y se ve que es cierto:

\( 1^{2}={\displaystyle \frac{1(1+1)(2+1)}{6}=\dfrac{6}{6}}
  \)

Si quisieras ir comprobando más, ahora tomarías n=2

\( 1^{2}+2^{2}={\displaystyle \frac{2(2+1)(2\cdot2+1)}{6}=\dfrac{30}{6}=5}
  \).

Pero nunca podrías comprobar hasta el último número natural, porque no hay último.

No obstante, sí que se puede demostrar que eso se cumple siempre: si eso siguiera cumpliéndose para todos los “n”, significaría que se cumpliría para cualquier “n” y para su siguiente “n+1”, fuera cual fuera “n”.

Entonces, hacemos esa hipótesis y hacemos esta sustitución que te indico:

Partimos de

\( {\color{blue}1^{2}+2^{2}+...+n^{2}}={\color{blue}{\displaystyle \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}}}
  \);

escribimos lo mismo sustituyendo “n” por “n+1”:

\( {\color{blue}1^{2}+2^{2}+...+n^{2}}+(n+1)^{2}={\displaystyle \frac{(n+1)(n+1+1)\left(2(n+1)+1\right)}{6}}
  \)

y sustituimos

\( {\color{blue}{\displaystyle \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}}}+(n+1)^{2}={\displaystyle \frac{(n+1)(n+1+1)\left(2(n+1)+1\right)}{6}}
  \)

Lo azul está representando un caso seguro de los que puedan existir (sabemos que existe al menos un caso con n=1; y también con n=2 porque se me ha antojado probarlo; pero con n=1 ya es bastante).

Si operas y llegas a que la igualdad es cierta, entonces, como es obvio, demuestras que se cumple para “n+1” y, en cadena, por lo que es en sí misma la idea de inducción, se cumplirá para todo “n”, ya que, un “n+1” es un “n”, un natural cualquiera.

Saludos.