si el mono es también alcanzado si pasamos a una gravedad más genérica, con dirección radial e intensidad inversamente proporcional al cuadrado de la distancia a un Origen.
Alguien se anima?
Si lanzas desafíos, .... bueno veremos,
Ya vimos que si la gravedad es constante , y la velocidad perpendicular a la gravedad es lo suficiente como para en un tiempo inferior a que el mono toque suelo o fondo, entonces siempre es impactado.
\( Y_m-Y_b=H-v_o \sin\theta t \)
La respuesta a esta nueva pregunta es más sencilla, sigamos sosteniendo algunas hipótesis que no hay rozamiento del aire, y que la curvatura de la superficie terrestre no afecta al resultado y que para disparar tenemos que hacerlo apuntando directo al mono, es decir lanzamos con un ángulo definido \( \theta \),
Lo que propones es que la gravedad que afecta al mono por hallarse más alto o a una altura h , es de menor magnitud, que la gravedad que afecta a la bala desde el momento del lanzamiento por estar a menor altura, esta sometida a mayor gravedad,
Las condiciones cinemáticas que hacen que en el problema inicial no importara el ángulo de lanzamiento para impactar, eran justamente que tanto bala como el mono caían libremente con la misma aceleración, pero si ahora ya no impones eso, es una obviedad, que no habrá forma de darle al mono en el punto exacto donde se le apuntó, la bala siempre errará pasando por debajo. A mayor diferencia radial, más se erra.
Y si la situación es que la bala se lanza desde arriba que la altura a la que está el mono, pues se errará por arriba, solo por el hecho que las aceleraciones solo son iguales cuando la posición radial(respecto del centro de la tierra) sea la misma para ambos, mono y bala.
La resolución de las ecuaciones diferenciales de órbitas que se encuentran no son sencillas, espero te sirva solo el fundamento teórico.
No creo que las ED sean imposibles, pero creo que hasta la NASA las resuelve por métodos numéricos, y no por igualación de ecuaciones.
Una forma rudimentaria de verlo (exacta no es) es suponer para la bala una gravedad a la altura media entre la altura de impacto y tierra y para el mono una para la altura media entre la altura de la rama y la altura de impacto
\( Y_m-Y_b=H-v_o \sin\theta t-\dfrac12 g_m t^2+\dfrac12 g_b t^2 \)
como
\( g_b=\dfrac{GM_T}{(R_T+Y_i/2)^2}
\)
y
\( g_m=\dfrac{GM_T}{(R_T+Y_i/2+H/2)^2}
\)
se ve que \( g_b>g_m \) o en general que \( g_b\neq g_m \)
por lo que \( Y_m-Y_b \) la distancia vertical entre mono y bala, puede mantenerse mayor o menor que 0 para todo t, sin ser 0 nunca, es decir erra el tiro, dependiendo de las condiciones iniciales.
No creo que la NASA lo haga así pero este sería mi intento
Se plantea la conservación de la energía mecánica de la órbita , es decir la energía de un objeto en un campo gravitatorio, la puedes dividir en dos partes una refiriéndose al potencial gravitatorio en sí a la distancia radial R y otro debido ala energía cinetica que tiene a esa altura \( R= R_T+h \)
Así para el Mono que cae desde una altura H por encima de la superficie de la tierra
\( -\dfrac{GM_T}{R_T+H}=-\dfrac{GM_T}{R}+\frac 12 v_M^2 \)
* no pongo la masa del mono ni la de la bala en la siguiente ecuación ya que todos los objetos caen "igual no importa su masa"(para masas muy inferiores a la masa de la tierra).
Para la Bala
\( -\dfrac{GM_T}{R_T}+\frac 12 v_o^2\sin^2\theta=-\dfrac{GM_T}{R}+\frac 12 v_b^2 \)
como \( v=\dfrac{dR}{dt} \)
se puede resolver una ED par hallar R(t)
Para el Mono hasta la altura de impacto \( Y_i \)
\( \displaystyle{\int\limits_{R_T+H}^{R_T+Y_i}\dfrac{dR}{\sqrt{2GM_T\left(\dfrac 1R-\dfrac1{R_T+H}\right)}}}=t-t_o \)
para la Bala
\( \displaystyle{\int\limits_{R_T}^{R_T+Y_i}\dfrac{dR}{\sqrt{2GM_T\left(\dfrac 1R-\dfrac1{R_T}\right)+v_o^2\sin^2\theta}}}=t-t_o \)
Solo queda resolver las integrales, e igualarlas para la misma diferencia de tiempos t-t_o y ver si puede existir un \( Y_i \) en el que ambos estén en el mismo instante....
Te animas? Se animan?
