[Marcos Castillo]

Hola
Un guardabosques con una cerbatana intenta disparar un dardo tranquilizante a un mono que cuelga de una rama (figura adjunta). El guardabosques apunta directamente al mono sin tener en cuenta que el dardo seguirá una trayectoria parabólica y pasará, por lo tanto, por debajo del mono. Sin embargo, éste, viendo salir el dardo de la cerbatana, se suelta de la rama y cae del árbol, esperando evitar el dardo. Demostrar que el mono será alcanzado independientemente de cuál sea la velocidad inicial del dardo, con tal de que ésta sea lo suficientemente grande para que el dardo recorra la distancia horizontal que hay hasta el árbol antes de dar contra el suelo. Suponer que el tiempo de reacción del mono es despreciable.



PLANTEAMIENTO
En este ejemplo tanto el mono como el dardo describen un movimiento de proyectil. Para mostrar que el dardo alcanza al mono, debemos demostrar que en un cierto tiempo \( t \), el dardo y el mono tienen las mismas coordenadas, independientemente de la velocidad inicial del dardo.
SOLUCIÓN
1- Se aplica la ecuación al mono en el tiempo \( t \): \( \Delta{\vec{\mathbf{r}}_m}=\dfrac{1}{2}\vec{\mathbf{g}}t^2 \). (La velocidad inicial del mono es nula.)
2- Se aplica la ecuación al dardo en el tiempo \( t \):\( \Delta{\vec{\mathbf{r}}_d}=\vec{\mathbf{v}}_{d0}t+\dfrac{1}{2}\vec{\mathbf{g}}t^2 \), donde \( \vec{\mathbf{v}}_{d0} \) es la velocidad inicial del dardo cuando sale de la cerbatana.
3- La figura adjunta refleja un esquema del mono, el dardo y la cerbatana. Se muestra el dardo y el mono en sus posiciones en el instante inicial y en el tiempo \( t \). Los vectores muestran los diferentes términos de los pasos 1 y 2.
Las dudas son:
No veo la demostración de que el mono será alcanzado independientemente de cuál sea la velocidad del dardo (con tal de que ésta sea lo suficientemente grande para que el dardo recorra la distancia horizontal que hay hasta el árbol antes de dar contra el suelo).
2- No veo cómo se muestra el dardo y el mono en sus posiciones en el instante inicial y en el tiempo \( t \).
3- No veo que demuestre que demuestre que en un cierto tiempo \( t \), el dardo y el mono tienen las mismas coordenadas, independientemente de la velocidad inicial del dardo.
Un saludo

[Juan Pablo Sancho]

Una forma que no es la del libro, tomas como origen de coordenadas la punta del rifle y  proyectas hacia el árbol una linea recta que mide \( x \) y luego del árbol hacia el mono otra que mide h \( \tan(\theta) = \dfrac{h}{x}  \).
Sea la velocidad del dardo \( v_d \)  tenemos que \( v_{dx} = \cos(\theta) \cdot v_d  \) y \( v_{dy} = \sen(\theta) \cdot v_d  \).
El tiempo que tarda en recorrer la distancia \( x \) es  \(  x = v_{dx} \cdot t \) entonces \( t = \dfrac{x}{v_{dx}} = \dfrac{h}{v_{dy}} \)
En ese tiempo el dardo esta en :
\( (x,v_{dy} \cdot \dfrac{h}{v_{dy}} - \dfrac{1}{2} \cdot g \cdot t^2 ) = (x,h-\dfrac{1}{2} \cdot g \cdot t^2)  \)
El mono estará en \( (x,h-\dfrac{1}{2} \cdot g \cdot t^2)  \) que es la misma posición.

[feriva]

Hola, Marcos, tranquilo que vengo yo y verás como... ya no entiendes nada.

No, en serio, éste es un problema que en su día me llamó mucho la atención, venía en mi libro de Tipler, de físca general, y es un más clásico, aparece siempre en los libros.

Spoiler

Antes, piensa en un problema mucho más simple, el cual es evidente por sí mismo. El mono en el árbol (supongamos que en una rama baja) de tal manera que el hombre levanta con la mano el dardo o lo que sea y queda a la misma altura que el mono; dardo a “y” metros, mono a “y” metros pero todo lo lejos que quieras.

Si ambos se dejan caer a la vez (que es lo que pasa el en problema) pero sin lanzar el dardo, es obvio que los dos caerán al mismo tiempo independientemente de la masa del mono y el dardo; si despreciamos resistencia del aire y las fuerzas no conservativas que sea; claro. La fórmula de tiempo para los dos es la misma, porque recorren la misma altura:

\( y=\dfrac{1}{2}gt^{2}
  \); ahí no hay nada particular del mono ni del dardo, la gravedad es igual para ambos, la altura y el tiempo también.

Pero como el dardo se ha lanzado cero metros, “x=0”, cae a los pies del hombre, pues no alcanza al mono, caen a la vez pero obviamente no lo alcanza porque no se mueve de ahí. Y llegan al suelo al mismo tiempo.

Ahora, dado que la velocidad en un eje es independiente de la otra, si lo tira con la suficiente fuerza como para que llegue hasta donde está el mono apuntando hacia él, va cayendo a la vez que va cayendo el mono, exactamente a la vez; porque eso no cambia, la velocidad “y” es igual para los dos, cuando ambos llegan al suelo , el tiempo es igual para los dos


Y eso es así porque es así, porque las velocidades son independientes, se demuestra experimentalmente; había un vídeo de un profesor que lo hacía en clase con un peluche; luego después de cenar te lo busco.

[cerrar]

El dibujo era muy malo, lo he quitado pongo otro




Imagina el dardo a velocidad prácticamente instantánea; entonces la trayectoria es una recta y como es instantánea (tarda cero segundos) al mono no le da tiempo a moverse y le da.

Imagina que la velocidad es un poquitín menor. El dardo describe casi una recta, al mono le da tiempo a caer muy poco, porque el tiempo sigue siendo muy corto, y le alcanza el dardo...

¿Qué es lo que hace que esas flechas se vayan doblando hacia abajo cada vez más? Como la velocidad horizontal es independiente, sólo puede ser debido a la velocidad de caída libre que te también tiene el dardo; y que no es otra que la del mono porque ambos “salen” al mismo tiempo.


Saludos.

[Juan Pablo Sancho]

Mira estos ejemplos:

¡No había visto los videos antes de poner la solución, los acabo de buscar! 

[Abdulai]

Es un experimento clásico de física.    Googleando  con "shoot the monkey"  o "el mono y el cazador"  vas a encontrar  infinidad de desarrollos y videos. Algunos con variantes como hacer pasar el proyectil por dos argollas , que también están cayendo , antes de golpear al mono.

[feriva]

Mira estos ejemplos:

¡No había visto los videos antes de poner la solución, los acabo de buscar! 

Muchas gracias, Juan Pablo, voy a verlos, que ya no me acordaba bien de los detalles.

Saludos.

[Richard R Richard]

Hola Marcos

Visualiza el mismo problema  sin que exista gravedad , que debe hacerse para acertarle al mono, solo bastara apuntar en dirección a el , el dardo  ira en linea recta e impactara.

Supón una velocidad de lanzamiento v y una separación espacial d , el tiempo que tarda en llegar el dardo es \( t_a=\frac{d}{v} \)

puede analizar el movimiento del dardo en dos direccione la horizontal y la vertical  si \( \theta \) es el ángulo respecto de la horizontal del disparo la cinemática del movimiento en esas direcciones es

\( x_d=x_o+v\cos\theta\, t \)

\( y_d=y_o+v\sin\theta\, t \)

 analicemos  que pasa con el mono su posición no varia con el tiempo pues al no haber gravedad no puede caer luego su ecuación de movimiento es

\( x_m=x_{rama}=cte_1 \)

\( y_m=y_{rama}=cte_2 \)

evidentemente si ha apuntado  correctamente el encuentro se produce cuando

\( x_m=x_d=x_o+v\cos\theta\, t_a \)

\( y_m=y_d=x_o+v\sin\theta\, t_a \)


Bien ahora pensemos  que es lo que pasa cuando hay gravedad...

todo lo que suceda en la dirección horizontal, no sufre cambio ya que la gravedad es una aceleración  que tiene lugar solo en la dirección vertical

luego  el tiempo de alcance en del dardo con o sin gravedad es el mismo \( t_a \)

como el mono cae su coordenada horizontal es única , el dardo con solo tener una componente de velocidad no nula , al cabo del suficiente tiempo llegara a la posición \( x_m \)

ahora llegamos al nudo de la cosa, cual es la aceleración  en la vertical del dardo  y cual es la aceleración  del mono, pues la misma es g , todos los objetos en caída libre están sujetos a la misma aceleración de la gravedad.

Entonces que términos debemos agregar a la ecuación de la cinemática del dardo y del mono pues el desplazamiento que producido por la aceleración durante el tiempo de caída \( t_a \) , y como veras lo que cae el dardo es exactamente la misma distancia que cae el mono, luego si ha apuntado bien, y el mono se lanza xacamente en el mismo momento que parte elk dado , ambos caen \( \dfrac12gt_a^2 \)

reemplazamos las ecuaciones sin gravedad por las de ahora con gravedad

para el dardo

\( y_d=y_o+v\sin\theta\, t-\dfrac12gt^2 \)

y para el mono

\( y_m=y_o-\dfrac12gt^2 \)

como hecho dicho el encuentro sucede cuando \( y_m=y_d
 \)

igualemos entonces

\( y_d=y_o+v\sin\theta\, t-\dfrac12gt^2=y_o-\dfrac12gt^2=y_m \)

si observas los términos en los que la gravedad afecta a la ecuación de movimiento, en ambos la expresión es la misma por lo que son magnitudes cancelables, o bien puedes pasarla de miembro con el signo cambiado, y restarlas entre si


\( y_o+v\sin\theta\, t\cancel{-\dfrac12gt^2}=y_o\cancel{-\dfrac12gt^2} \)


luego te queda

\( y_m=y_d=x_o+v\sin\theta\, t \)

la misma ecuación que sin gravedad por lo que también tendrá entonces la igualdad cuando \( t=t_a \)


Espero  haberte aclarado algo mas el panorama

ah!  como ves siempre que haya componente en la horizontal  habrá alcance ,no importa cuánto será el tiempo, siempre el dardo termina alcanzándolo, así que no importa el módulo de la velocidad en la horizontal incluso puede ser nulo si el tiro es netamente vertical, solo es necesario que la componente vertical de la velocidad del dardo tampoco sea nula.

Si fuera nula el dardo y el mono siempre mantendrían la misma distancia vertical \( y_m-y_d=h \)

[Marcos Castillo]

Hola, perdonar que sea cabeza cuadrada
feriva me ha proporcionado un dato fundamental. Mi pregunta era: demostrar que el mono será alcanzado por el dardo independientemente de cuál sea la velocidad del dardo, con tal de que ésta sea lo suficientemente grande para que el dardo recorra la distancia horizontal que hay hasta el árbol antes de dar contra el suelo. feriva ha dicho que \( v_{d0} \) (por seguir con la notación del libro de Tipler y Mosca, que es el que yo tengo y mencionaba feriva) debía ser mayor o igual que \( \sqrt{2gh} \). Bien, voy a hacer números a partir de las ecuaciones proporcionadas en las ecuaciones escritas en la solución del libro. Tardaré un poco.
Un saludo

[Marcos Castillo]

Hola, Marcos, tranquilo que vengo yo y verás como... ya no entiendes nada.

No, en serio, éste es un problema que en su día me llamó mucho la atención, venía en mi libro de Tipler, de físca general, y es un más clásico, aparece siempre en los libros.

Spoiler

Antes, piensa en un problema mucho más simple, el cual es evidente por sí mismo. El mono en el árbol (supongamos que en una rama baja) de tal manera que el hombre levanta con la mano el dardo o lo que sea y queda a la misma altura que el mono; dardo a “y” metros, mono a “y” metros pero todo lo lejos que quieras.

Si ambos se dejan caer a la vez (que es lo que pasa el en problema) pero sin lanzar el dardo, es obvio que los dos caerán al mismo tiempo independientemente de la masa del mono y el dardo; si despreciamos resistencia del aire y las fuerzas no conservativas que sea; claro. La fórmula de tiempo para los dos es la misma, porque recorren la misma altura:

\( y=\dfrac{1}{2}gt^{2}
  \); ahí no hay nada particular del mono ni del dardo, la gravedad es igual para ambos, la altura y el tiempo también.

Pero como el dardo se ha lanzado cero metros, “x=0”, cae a los pies del hombre, pues no alcanza al mono, caen a la vez pero obviamente no lo alcanza porque no se mueve de ahí. Y llegan al suelo al mismo tiempo.

Ahora, dado que la velocidad en un eje es independiente de la otra, si lo tira con la suficiente fuerza como para que llegue hasta donde está el mono apuntando hacia él, va cayendo a la vez que va cayendo el mono, exactamente a la vez; porque eso no cambia, la velocidad “y” es igual para los dos, cuando ambos llegan al suelo , el tiempo es igual para los dos


Y eso es así porque es así, porque las velocidades son independientes, se demuestra experimentalmente; había un vídeo de un profesor que lo hacía en clase con un peluche; luego después de cenar te lo busco.

[cerrar]

El dibujo era muy malo, lo he quitado pongo otro




Imagina el dardo a velocidad prácticamente instantánea; entonces la trayectoria es una recta y como es instantánea (tarda cero segundos) al mono no le da tiempo a moverse y le da.

Imagina que la velocidad es un poquitín menor. El dardo describe casi una recta, al mono le da tiempo a caer muy poco, porque el tiempo sigue siendo muy corto, y le alcanza el dardo...

¿Qué es lo que hace que esas flechas se vayan doblando hacia abajo cada vez más? Como la velocidad horizontal es independiente, sólo puede ser debido a la velocidad de caída libre que te también tiene el dardo; y que no es otra que la del mono porque ambos “salen” al mismo tiempo.


Saludos.

Hola. ¿Cómo se deduce que la velocidad mínima de lanzamiento es \( \sqrt{2gh} \)?. Es la única duda que me queda.
Un saludo

[feriva]

Hola. ¿Cómo se deduce que la velocidad mínima de lanzamiento es \( \sqrt{2gh} \)?. Es la única duda que me queda.
Un saludo

Hola, Marcos.

Muy sencillo. Suponiendo que el mono cae del todo, que toca el suelo, el dardo tarda el mismo tiempo en llegar al pie del árbol que el mono en caer; por lo que se ve en el dibujo; momento en el que tenemos la velocidad final en caída libre del mono.
 Ahora bien, nada impide que el dardo toque el suelo a la vez que el mono pero sin llegar al árbol, haciendo un recorrido distinto.
La cuestión está en que el dardo se lanza hacia arriba, en sentido y dirección al mono; entonces, primero sube y después baja en el mismo tiempo en que cae el mono; no es imprescindible que llegue al árbol para caer a la vez que el mono, sí es imprescindible para que se le clave, al pobre. En cualquier caso, llegue el dardo o no al pie del árbol, la velocidad final de caída del mono no cambia.

El dardo, al subir y bajar, tiene un desplazamiento positivo y negativo, se contrarresta de tal manera que podríamos decir que la suma es igual al desplazamiento del mono; y como el tiempo es igual.., pues ahí está la razón.

Por contraste, imagina que se apunta más alto; el mono puede caer al mismo tiempo que el dardo, no hay inconveniente, y sin llegar a darle; pero sólo cuando el angulo es el que apunta al mono, y si llega al árbol, entonces le da








Saludos.