Autor Tema: El guardabosques y el mono

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18 Noviembre, 2019, 02:54 pm
Respuesta #10

Marcos Castillo

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¡Hola feriva!
A mi me sale que esa velocidad mínima es cierta sólo para 30° de inclinación. He considerado un triángulo rectángulo con el cateto de la base \( R \), y el otro cateto la altura \( h \) a la que se encuentra el mono en \( t=0 \). \( R \) es el alcance de un proyectil en función de su velocidad inicial y del ángulo de lanzamiento con respecto al eje horizontal, \( \theta \). Entonces:
\( R=\dfrac{v_0^2}{g}\sen{(2\theta)}=\dfrac{v_0^2}{g}2\sen{(\theta)}\cos{(\theta)} \);
\( R=\dfrac{h}{\tan{(\theta)}} \);
\( \dfrac{h}{\tan{(\theta)}}=\dfrac{v_0^2}{g}2\sen{(\theta)}\cos{(\theta)} \);
\( \dfrac{gh}{2\tan{(\theta)}\sen{(\theta)}\cos{(\theta)}}=v_0^2 \);
\( \dfrac{gh}{2\sen^2{(\theta)}}=v_0^2 \);
\( \dfrac{1}{2\sen^2{(\theta)}} \) es 2 sólo cuando \( \theta=30° \).
¿Están bien están bien estos cálculos?. Intuyo que no, pero tu explicación no la he entendido, feriva. :-[
Un saludo

No man is an island (John Donne)

18 Noviembre, 2019, 03:49 pm
Respuesta #11

feriva

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¡Hola feriva!
A mi me sale que esa velocidad mínima es cierta sólo para 30° de inclinación. He considerado un triángulo rectángulo con el cateto de la base \( R \), y el otro cateto la altura \( h \) a la que se encuentra el mono en \( t=0 \). \( R \) es el alcance de un proyectil en función de su velocidad inicial y del ángulo de lanzamiento con respecto al eje horizontal, \( \theta \). Entonces:
\( R=\dfrac{v_0^2}{g}\sen{(2\theta)}=\dfrac{v_0^2}{g}2\sen{(\theta)}\cos{(\theta)} \);
\( R=\dfrac{h}{\tan{(\theta)}} \);
\( \dfrac{h}{\tan{(\theta)}}=\dfrac{v_0^2}{g}2\sen{(\theta)}\cos{(\theta)} \);
\( \dfrac{gh}{2\tan{(\theta)}\sen{(\theta)}\cos{(\theta)}}=v_0^2 \);
\( \dfrac{gh}{2\sen^2{(\theta)}}=v_0^2 \);
\( \dfrac{1}{2\sen^2{(\theta)}} \) es 2 sólo cuando \( \theta=30° \).
¿Están bien están bien estos cálculos?. Intuyo que no, pero tu explicación no la he entendido, feriva. :-[
Un saludo




El ángulo, unido a la velocidad mínima, dependerá de la distancia del cazador al árbol; sólo dibuja distintos triángulos; en general no tiene por qué apuntar al mono a 30º. Ahora bien, si lo que dices es en cuanto al problema particular... ahora no sé; en cuanto a las cuentas ya las miro luego despacio y si acaso te digo; si acaso,  porque últimamente es que ya no me atrevo ni a sumar 2+2, por si me equivoco :D

Saludos.

18 Noviembre, 2019, 06:36 pm
Respuesta #12

Richard R Richard

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Hola le dado un par de vueltas al tema y la velocidad horizontal para que alcance al mono sobre la horizontal

la puedes calcular sabiendo que la velocidad vertical de ascenso dardo es igual a la de vertical descenso al momento de impactar al mono solo que con signo contrario

\( -v\sin\theta=v\sin\theta - g t_a  \)

luego el tiempo de alcance es el tiempo en que el mono alcanz el suelo

\( 0=h-\frac12 gt_a^2 \)

luego \( t_a=\sqrt{\dfrac{2h}{g}} \)

reordenamos la primera

\( 2v\sin\theta=gt_a \)

reemplazamos \( t_a \)

\( 2v\sin\theta=g\sqrt{\dfrac{2h}{g}} \)

luego \( v\sin\theta=\sqrt{\dfrac{gh}{2}}
 \)
sabemos por diseño de problema que \( \sin\theta =\dfrac{h}{\sqrt{h^2+(\Delta x)^2}} \)

luego

\( v=\sqrt{\dfrac{g(h^2+(\Delta x)^2)}{2h}} \)

pero esa no es la mínima velocidad, si el mono estaba en una rama saliente desde un precipicio, es posible que el dardo también lo siga cayendo(si es lanzado desde el filo) por debajo de la horizontal y lo alcance con una velocidad de salida tendiendo a nula , muchísimos metros por debajo de la línea horizontal tendiendo a \( (-\infty) \)idealmente
 hablando
...







Saludos  \(\mathbb {R}^3\)

19 Noviembre, 2019, 12:02 am
Respuesta #13

Marcos Castillo

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¡Brillante, Richard R Richard!
Muchas gracias, un saludo
No man is an island (John Donne)

19 Noviembre, 2019, 01:22 am
Respuesta #14

feriva

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Hola, Marcos.

Los cálculos que decías están bien, pero la deducción no puede estarlo, creo.


Spoiler
Piensa que y=0 cuando la velocidad es la mínima posible, por fuerza, si no, se queda corto

Si “y=0”, que es el caso de cuando el dardo toca el suelo al pie del árbol, tienes entonces

\( 0=sen(\alpha)v_{0}t+\dfrac{1}{2}gt^{2}
  \)

\( -\dfrac{1}{2}gt^{2}=sen(\alpha)v_{0}t
  \)

Y algo hay que considerar negativo ahí, si todo es positivo no es posible; pongo un ejemplo con números.


Sea un mono estándar a una altura de 4 metros y un cazador a una distancia de 4 metros; éste disparará entonces a 45 grados.

Consideremos que llega el dardo justo al tocar el suelo el mono; entonces, en ese momento la altura “y” del dardo es cero:

\( 0=sen(\alpha)v_{0}t+\dfrac{1}{2}gt^{2}
  \)

\( t=\sqrt{\dfrac{8}{9,8}}=0,90
  \)

\( sen(45\text{º})=0,70
  \)

\( h=\dfrac{1}{2}gt^{2}=3,969
  \)

Sustituyendo en la fórmula \( 0=sen(\alpha)v_{0}t+\dfrac{1}{2}gt^{2}
  \):

\( 0=sen(\alpha)v_{0}t+h
  \)

\( \dfrac{-h}{sen(\alpha)t}=\dfrac{-3,969}{0,70\cdot0,9}=v_{0}
  \)

\( v_{0}=-6,3
  \)

No digo que la velocidad sea negativa, pero algo tendrá que serlo, no sé.

Ah, no que, me he olvidado del eje X, mañana lo miro
[cerrar]

Saludos.

19 Noviembre, 2019, 02:11 am
Respuesta #15

Richard R Richard

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Si “y=0”, que es el caso de cuando el dardo toca el suelo al pie del árbol, tienes entonces

\( 0=sen(\alpha)v_{0}t+\dfrac{1}{2}gt^{2}
  \)

....

Y algo hay que considerar negativo ahí, si todo es positivo no es posible; .

Exacto en ese sistema de referencia cuando consideras que la aceleración de la gravedad tiene el mismo sentido que la velocidad vertical de ascenso del dardo (es decir consideras g positiva) el resultado que obtengas  tiene poco que ver con la realidad, pero si cuando haces cálculos le asignas su valor pensando vectorialmente o respetas la convención de signo  \( g \) entonces tienes que tomarlo con valor \( g=-9.81m/s^2 \)

recuerda

- define un sistema de referencia (ej todo vector que vaya hacia la derecha es positivo , todo lo que apunta hacia arriba es positivo)
- si positivo es hacia arriba y pones el signo +en la formula de cinemática al considerar a la aceleración de la gravedad entonces el valor de g tendrá que ser negativo cuando lo introduzcas en los cálculos.
- si una velocidad la supones como un vector hacia la izquierda es lógico que esté restando en las ecuaciones, de ese modo el valor resultado de esa velocidad es positivo (su modulo siempre es positivo, su dirección puede ser negativa respecto del sistema de referencia), pero si insistes en la ecuación sumarla, y si a la vez es cierto que la velocidad resultante tiene dirección a la izquierda el valor de dicha velocidad te saldrá negativo, indicandote el sentido opuesto al supuesto es decir apunta haca las x decrecientes.


si asignas signo + a toda magnitud vectorial que creas tiene sentido que coincide  con el sentido positivo del sistema de referencia y asignas negativo a todo lo que vaya en contra.
Si el resultado calculado de posiciones, velocidades aceleraciones , te da negativo, lo que ha fallado es tu presunción de dirección del vector en cuyo caso apunta en sentido contrario al que has supuesto.
Y si por el contrario el tiempo te da negativo, el evento ha sucedido antes que el  tiempo 0 que has supuesto.


Ejemplo la ecuacion de caida del mono

si la pones de la forma

\( 0=h+\frac{1}{2}gt^2 \)

tienes que tener especial cuidad de saber que la aceleración g es \( -9.81m/s^2
 \)

pero si ya le asigna el sentido diciendo todo vector que apunta hacia arriba es positivo

como la aceleracion de la gravedad es un vector que apunta hacia el centro de la tierra debes asignarle el signo negativo

la altura h esta por encima del 0 luego es positiva

por lo que debes plantear

\( 0=h-\frac{1}{2}gt^2 \)

de ese modo los tiempos no te dan imaginarios y los resultado calculables de h , g y t seran directamente igual a su modulo es decir positivos.

de ese modo si lanzas hacia la derecha es correcto decir \( \Delta x=+v\cos\theta\, t \), pero si el mono esta a la izquierda, la posición del mono será negativa , por debajo de 0

luego \( -\Delta x=-v\cos\theta\, t \) cuyo resultado te tiene obligadamente darte un \( \Delta x \) de valor positivo , diciendote que tu elección de signo negativo (decir que esta a la izquierda del 0) es correcta. Y si con ello pretendes despejar v su modulo será positivo, y si te da negativo en realidad  estaras seguro  que se lanzó hacia abajo.
Saludos  \(\mathbb {R}^3\)

19 Noviembre, 2019, 09:36 am
Respuesta #16

feriva

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Si “y=0”, que es el caso de cuando el dardo toca el suelo al pie del árbol, tienes entonces

\( 0=sen(\alpha)v_{0}t+\dfrac{1}{2}gt^{2}
  \)

....

Y algo hay que considerar negativo ahí, si todo es positivo no es posible; .

Exacto en ese sistema de referencia cuando consideras que la aceleración de la gravedad tiene el mismo sentido que la velocidad vertical de ascenso del dardo (es decir consideras g positiva) el resultado que obtengas  tiene poco que ver con la realidad, pero si cuando haces cálculos le asignas su valor pensando vectorialmente o respetas la convención de signo  \( g \) entonces tienes que tomarlo con valor \( g=-9.81m/s^2 \)


Muchas gracias, Richard. Totalmente De acuerdo con lo que dices.

Saludos.

01 Septiembre, 2020, 01:56 pm
Respuesta #17

sedeort

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Este problema de cinemática es todo un clásico. Yo lo encontré en el también clásico "Lecciones de Física" de M.R. Ortega (1982).
Es curioso, porque los "errores a priori" de apuntar directamente por parte de indio y el de soltarse por parte del mono acaban siendo la clave para el acierto.
Se comenta que existe una velocidad mínima por debajo de la cuál el proyectil cae al suelo delante del mono, que se libraría entonces. En cambio si los movimientos siguiesen por debajo de suelo el proyectil seguiría dándole.

Éste es el planteamiento sencillo del problema en el que el campo gravitatorio lo suponemos constante en dirección e intensidad (cosa que ocurre muy aproximadamente cuando los desplazamientos no son muy grandes).

Pero yo me he preguntado si el mono es también alcanzado si pasamos a una gravedad más genérica, con dirección radial e intensidad inversamente proporcional al cuadrado de la distancia a un Origen.
Alguien se anima?

01 Septiembre, 2020, 03:38 pm
Respuesta #18

martiniano

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Hola.

Este problema de cinemática es todo un clásico. Yo lo encontré en el también clásico "Lecciones de Física" de M.R. Ortega (1982).
Es curioso, porque los "errores a priori" de apuntar directamente por parte de indio y el de soltarse por parte del mono acaban siendo la clave para el acierto.
Se comenta que existe una velocidad mínima por debajo de la cuál el proyectil cae al suelo delante del mono, que se libraría entonces. En cambio si los movimientos siguiesen por debajo de suelo el proyectil seguiría dándole.

Éste es el planteamiento sencillo del problema en el que el campo gravitatorio lo suponemos constante en dirección e intensidad (cosa que ocurre muy aproximadamente cuando los desplazamientos no son muy grandes).

Pero yo me he preguntado si el mono es también alcanzado si pasamos a una gravedad más genérica, con dirección radial e intensidad inversamente proporcional al cuadrado de la distancia a un Origen.

Pero... ¿Qué le pasa al mono cuando llegue a ese Origen? Su aceleración no va a estar definida...

Un saludo.

01 Septiembre, 2020, 03:52 pm
Respuesta #19

sedeort

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Je je, ya estamos con los infinitos ..?

No, hombre. Antes de que llegue a ese Origen ya deberíamos saber si es alcanzado por el proyectil o no. Digo yo ...

El problema no es nada sencillo ya que hay que trabajar con coordenadas polares, integrar para obtener la ecuacion de movimiento (una cónica) del proyectil. Incluso la ecuación de movimiento del mono, que es un movimiento rectilíneo es ya bastante complicada (por cierto, deber la misma que la que yo obtuve aquí cuando el problema de la caída de la Luna)
Casi mejor dejarlo.