[natydlv]

Hola compañeros, me podrán ayudar con este ejercicio? Es con el teorema fundamental.

Consigna: dar el valor de \( p \) si una raíz de la ecuación \( x^3-5x^2+qx+p=0 \) es \( 2+i \) con \( p,q \in{\mathbb{}}\mathbb{R} \)

Avances:

si \( 2+i \) es raíz entonces \( 2-i \) también lo es

\( P(x)=[(x-(2+i))\cdot{(x-(2-i))}]\cdot{Q(x)} \)
\( P(x)=(x^2-4x+5)\cdot{Q(x)} \)

desde aquí no se como continuar... alguna idea? Saludos

[manooooh]

Hola

Consigna: dar el valor de \( p \) si una raíz de la ecuación \( x^3-5^2+qx+p=0 \) es \( 2+i \) con \( p,q \in{\mathbb{}} \)

Revisá bien el enunciado porque \( -5^2 \) no parece tener mucha coherencia y además ¿a qué conjunto pertenecen \( p,q \)?

si \( 2+i \) es raíz entonces \( 2-i \) también lo es

Creo que está bien. Debe ser un teorema: si el polinomio tiene coeficientes reales entonces las soluciones complejas vienen de a "pares".

\( P(x)=[(x-(2+1))\cdot{(x-(2-i))}]\cdot{Q(x)} \)
\( P(x)=(x^2-4x+5)\cdot{Q(x)} \)

desde aquí no se cómo continuar... ¿alguna idea?

Está bien lo que planteaste (es \( (2+i) \) no \( (2+1) \)) pero no sé si podemos concluir algo.

Como \( 2+i \) es raíz de \( k(x)=x^3-5^2+qx+p \) luego \( k(2+i)=0 \). También es \( k(2-i)=0 \). Entonces:

\( \left\{\begin{aligned}&k(2+i)=0\\&k(2-i)=0\end{aligned}\right.\iff
\left\{\begin{aligned}&(2+i)^3-25+q(2+i)+p=0\\&(2-i)^3-25+q(2-i)+p=0\end{aligned}\right. \)

Tenés un sistema de ecuaciones lineales de \( 2\times2 \), podés hallar \( p \) (incluso \( q \)).

Saludos

Mods

Título cambiado de "proporcionar valor de p" a "Hallar el valor de \(p\) si \(2+i\) es raíz de la ecuación \(x^3-5^2+qx+p=0\)".

[cerrar]

[hméndez]

Hola compañeros, me podrán ayudar con este ejercicio? Es con el teorema fundamental.

Consigna: dar el valor de \( p \) si una raíz de la ecuación \( x^3-5^2+qx+p=0 \) es \( 2+i \) con \( p,q \in{\mathbb{}} \)

Avances:

si \( 2+i \) es raíz entonces \( 2-i \) también lo es

\( P(x)=[(x-(2+1))\cdot{(x-(2-i))}]\cdot{Q(x)} \)
\( P(x)=(x^2-4x+5)\cdot{Q(x)} \)


desde aquí no se como continuar... alguna idea? Saludos

Creo que la mejor idea (por ser elemental y rápida) es la siguiente:
Con la división del polinomio \( x^3+0x^2+qx+p-5^2 \) entre \( x^2-4x+5 \)  (división larga o euclídea)
tendrás \( Q(x) \) (de grado 1) y de inmediato sabrás cuál es la tercera raíz de la ecuación (si te interesa), además tendrás
una expresión para el resto en términos de p y q de la que podrás obtener sus valores imponiendo que sea idénticamente nula.

Esto es:

\( Q(x)=x+4 \)

resto \( r(x)=(16+q-5)x+p-5^2-20 \)
 

Saludos

[geómetracat]

Otra solución (así tienes un montón donde escoger).
Es fácil ver que si \( r_1,r_2,r_3 \) son las tres raíces del polinomio, tienes que:
\( p = -r_1r_2r_3 \)
y el coeficiente de \( x^2 \) es:
\( -5 = -(r_1+r_2+r_3) \).
Esto lo puedes ver escribiendo el polinomio como
\( (x-r_1)(x-r_2)(x-r_3) \)
y desarrollando.

Ahora, sabes que una raíz es \( r_1=2+i \), y por lo que ya se ha comentado de los polinomios con coeficientes reales, otra debe ser \( r_2=2-i \).
De las ecuaciones de antes puedes sacar \( r_3 \) y luego \( p \) muy fácilmente.

[natydlv]

Gracias compañeros. Modifique los datos que estaban mal en el posteo inicial. Creo que por ahora voy a optar por el camino de manooooo, puesto que me resulta mas amigable usar ecuaciones.