Autor Tema: Proporcionar valor de p

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11 Agosto, 2019, 19:11
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natydlv

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Hola compañeros, me podrán ayudar con este ejercicio? Es con el teorema fundamental.

Consigna: dar el valor de \[ p \] si una raíz de la ecuación \[ x^3-5x^2+qx+p=0 \] es \[ 2+i \] con \[ p,q \in{\mathbb{}}\mathbb{R} \]

Avances:

si \[ 2+i \] es raíz entonces \[ 2-i \] también lo es

\[ P(x)=[(x-(2+i))\cdot{(x-(2-i))}]\cdot{Q(x)} \]
\[ P(x)=(x^2-4x+5)\cdot{Q(x)} \]

desde aquí no se como continuar... alguna idea? Saludos

11 Agosto, 2019, 21:40
Respuesta #1

manooooh

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Hola

Consigna: dar el valor de \[ p \] si una raíz de la ecuación \[ x^3-5^2+qx+p=0 \] es \[ 2+i \] con \[ p,q \in{\mathbb{}} \]

Revisá bien el enunciado porque \[ -5^2 \] no parece tener mucha coherencia y además ¿a qué conjunto pertenecen \[ p,q \]?

si \[ 2+i \] es raíz entonces \[ 2-i \] también lo es

Creo que está bien. Debe ser un teorema: si el polinomio tiene coeficientes reales entonces las soluciones complejas vienen de a "pares".

\[ P(x)=[(x-(2+1))\cdot{(x-(2-i))}]\cdot{Q(x)} \]
\[ P(x)=(x^2-4x+5)\cdot{Q(x)} \]

desde aquí no se cómo continuar... ¿alguna idea?

Está bien lo que planteaste (es \[ (2+i) \] no \[ (2+1) \]) pero no sé si podemos concluir algo.

Como \[ 2+i \] es raíz de \[ k(x)=x^3-5^2+qx+p \] luego \[ k(2+i)=0 \]. También es \[ k(2-i)=0 \]. Entonces:

\[ \left\{\begin{aligned}&k(2+i)=0\\&k(2-i)=0\end{aligned}\right.\iff
\left\{\begin{aligned}&(2+i)^3-25+q(2+i)+p=0\\&(2-i)^3-25+q(2-i)+p=0\end{aligned}\right. \]

Tenés un sistema de ecuaciones lineales de \[ 2\times2 \], podés hallar \[ p \] (incluso \[ q \]).

Saludos

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Título cambiado de "proporcionar valor de p" a "Hallar el valor de \(p\) si \(2+i\) es raíz de la ecuación \(x^3-5^2+qx+p=0\)".
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12 Agosto, 2019, 00:34
Respuesta #2

hméndez

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Hola compañeros, me podrán ayudar con este ejercicio? Es con el teorema fundamental.

Consigna: dar el valor de \[ p \] si una raíz de la ecuación \[ x^3-5^2+qx+p=0 \] es \[ 2+i \] con \[ p,q \in{\mathbb{}} \]

Avances:

si \[ 2+i \] es raíz entonces \[ 2-i \] también lo es

\[ P(x)=[(x-(2+1))\cdot{(x-(2-i))}]\cdot{Q(x)} \]
\[ P(x)=(x^2-4x+5)\cdot{Q(x)} \]


desde aquí no se como continuar... alguna idea? Saludos


Creo que la mejor idea (por ser elemental y rápida) es la siguiente:
Con la división del polinomio \[ x^3+0x^2+qx+p-5^2 \] entre \[ x^2-4x+5 \]  (división larga o euclídea)
tendrás \[ Q(x) \] (de grado 1) y de inmediato sabrás cuál es la tercera raíz de la ecuación (si te interesa), además tendrás
una expresión para el resto en términos de p y q de la que podrás obtener sus valores imponiendo que sea idénticamente nula.

Esto es:

\[ Q(x)=x+4 \]

resto \[ r(x)=(16+q-5)x+p-5^2-20 \]
 

Saludos

12 Agosto, 2019, 03:58
Respuesta #3

geómetracat

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Otra solución (así tienes un montón donde escoger).
Es fácil ver que si \[ r_1,r_2,r_3 \] son las tres raíces del polinomio, tienes que:
\[ p = -r_1r_2r_3 \]
y el coeficiente de \[ x^2 \] es:
\[ -5 = -(r_1+r_2+r_3) \].
Esto lo puedes ver escribiendo el polinomio como
\[ (x-r_1)(x-r_2)(x-r_3) \]
y desarrollando.

Ahora, sabes que una raíz es \[ r_1=2+i \], y por lo que ya se ha comentado de los polinomios con coeficientes reales, otra debe ser \[ r_2=2-i \].
De las ecuaciones de antes puedes sacar \[ r_3 \] y luego \[ p \] muy fácilmente.
La ecuación más bonita de las matemáticas: \[ d^2=0 \]

13 Agosto, 2019, 14:48
Respuesta #4

natydlv

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Gracias compañeros. Modifique los datos que estaban mal en el posteo inicial. Creo que por ahora voy a optar por el camino de manooooo, puesto que me resulta mas amigable usar ecuaciones.