[Marcos Castillo]

Hola, estoy leyendo un texto de matemáticas de acceso a la universidad, y tengo una duda respecto a una cita. Dice así:
"Los números reales se pueden hacer corresponder con los puntos de una recta; para ello, basta con señalar en una recta dos puntos, al punto de la izquierda se le asocia el número real 0, y al punto de la derecha el número 1."
Mi duda es: el número \( \pi \), por ejemplo, ¿cuál sería entonces?; ¿el entero 3 más 0.14165...?(que sí se encuentra entre el 0 y el 1).
Un saludo.

[feriva]

Hola, estoy leyendo un texto de matemáticas de acceso a la universidad, y tengo una duda respecto a una cita. Dice así:
"Los números reales se pueden hacer corresponder con los puntos de una recta; para ello, basta con señalar en una recta dos puntos, al punto de la izquierda se le asocia el número real 0, y al punto de la derecha el número 1."
Mi duda es: el número \( \pi \), por ejemplo, ¿cuál sería entonces?; ¿el entero 3 más 0.14165...?(que sí se encuentra entre el 0 y el 1).
Un saludo.

Hola, Marcos.

En realidad, los números reales se pueden biyectar, hacer corresponder, con los puntos de cualquier segmento, de 0 a 1 ó de cero al número que pongamos en el otro extremo (o empezando por otro que no sea cero) porque la “cantidad” de puntos es la misma, hay infinitos. Puesto que los puntos no tienen dimensión, la cantidad de ellos que caben no tienen fin.

Es muy abstracto, pero es la forma de entenderlo.


Mira este vídeo, que es corto y cuenta una cosa muy curiosa.

 

Saludos.

[Marcos Castillo]

Entre el 0 y el 1 no están \( \pi \), \( e \) ó \( \sqrt{2} \). O 3, ó \( \frac{4}{3} \). Entre el 0 y el 1 hay un suconjunto de los reales, que es, (\( \mathbb{R} \)) un infinito más gordo.

[geómetracat]

Yo creo que lo que quiere decir el libro es que si tienes una recta geométrica, y escoges dos puntos a los que llamas \( 0 \) y \( 1 \) tienes una correspondencia natural entre \( \Bbb R \) y los puntos de la recta. La idea es la misma que en una recta graduada. El punto correspondiente a \( 2 \) es el que está a la derecha del \( 1 \) y dista de él lo mismo que el \( 1 \) al \( 0 \). Repitiendo esto puedes construir todos los puntos que corresponden a los enteros, de manera que la distancia entre dos enteros consecutivos es siempre la misma. Para los racionales, partes cada segmento en \( n \) puntos equiespaciados y obtienes todos los puntos correspondientes a racionales de la forma \( a/n \). Finalmente puedes hacer corresponder puntos a los irracionales por continuidad, aproximandolos por racionales.

[ciberalfil]

Yo creo más bien que la cosa al principio puede y debe explicarse mejor así. Luego ya llegaremos a donde queremos llegar, Cantor, definiciones axiomáticas de los números y otras lindezas, pero al principio mejor hacerlo así. Cojamos un segmento de recta, comprendido entre los números \( 0 \) y \( a\in{\mathbb{N}} \) y ahora hagamos con él un número entero de partes iguales, cualquier número entero nos puede valer, y llamemos \( n \) a este número de partes. Si seleccionamos de entre esas partes las \( m \) primeras tendremos entonces un segmento que tendrá en su origen el número cero y en su extremo un numero racional, que se representa en la forma:

\( m\times\displaystyle\frac{a}{n}=\displaystyle\frac{m\times a}{n} \)

Podemos observar entonces que dichos puntos no cubren totalmente el segmento entre \( 0 \) y \( a \), sino que hay puntos que quedan siempre al descubierto. Eligiendo a=4 veremos que los puntos correspondientes a \( e \) y \( \pi \) no llegan a recubrirse nunca, porque no son racionales, su irracionalidad se demostró hace ya tiempo pero ese es otro asunto.

Llamaremos puntos racionales a los primeros, los que se recubren, e irracionales a los demás. Estos últimos no pueden representarse en la forma antes descrita porque si pudiesen estarían en el conjunto de los números racionales y sabemos seguro que no lo están. Dichos puntos son representativos de los números irracionales. Uniendo ahora los puntos racionales con los puntos irracionales tendremos necesariamente cubierto el segmento completo, y podremos afirmar entonces que la unión de los números racionales y los irracionales forman el conjunto de los reales, en el segmento considerado, y en toda la recta también.

Los reales recubren la recta completamente, y existe por lo tanto una correspondencia perfecta entre numero real y punto de la recta, que es como debe entenderse la frase de tu libro, Marcos. A cada punto de la recta le corresponde un solo número real y a cada número real le corresponde un solo punto de la recta en una correspondencia biyectiva perfecta.

Salu2.

[Marcos Castillo]

¡Fantástica esta primera aproximación a los números reales!. feriva, no había prestado atención a tu respuesta, pero es que era la más profunda. Intuyo ahora un poco el significado auténtico de la palabra biyectar. ¡Gracias, feriva, geómetracat, ciberalfil!

[feriva]

Entre el 0 y el 1 no están \( \pi \), \( e \) ó \( \sqrt{2} \). O 3, ó \( \frac{4}{3} \). Entre el 0 y el 1 hay un suconjunto de los reales, que es, (\( \mathbb{R} \)) un infinito más gordo.

No se refiere a eso, se refiera a una correspondencia, punto-número

Verás cómo, geométricamente, no es más gordo, mira. Considera un triángulo rectángulo



En el cateto base van los reales, que se pueden hacer corresponder con los puntos (x,y):
...(.1,0) ... (0,0)... (1,0)...

Es decir, todos los reales representados en la coordenada “x”; y el cero en la coordenada “y”;

Pese a que la hipotenusa es más larga, a cada punto de ella le corresponde uno y exactamente uno de la base: puntos donde la coordenada x va dando también todos los reales mientras la “y” varía.

¡El tamaño no importa! (que dicen algunos ).

La base tiene tantos puntos como la hipotenusa y en ambas hay exactamente los mismos reales para la coordenada x.

Saludos.

[Marcos Castillo]

Estoy en un tren, con el móvil, y despistado. La x es el cateto de la base, ¿pero la y?

[feriva]

Estoy en un tren, con el móvil, y despistado. La x es el cateto de la base, ¿pero la y?

Y a mí se me corta internet y se me ha borrado lo que había escrito... Empiezo de nuevo


Piensa en la proyección ortogonal de cualquier punto de H (hipotenusa) sobre la base. Si el punto de H es por ejemplo (5,27) ¿Cuál es su proyección sobre la base? Pues, en perpendicular, sólo puede ser (5,0), la x siempre es la misma. ¿Se queda algún punto fuera por proyección ortogonal? No, cualquiera de H tiene su transformado en la base con la misma coordenada x. Y H puede medir 1000 y la base 1, por ejemplo, y tienen los mismos puntos.

Saludos.

[Marcos Castillo]

Ahora en el metro, parece una película de Tom Cruise. La coordenada "y" es 0, pero, ¿estamos hablando de los ejes cartesianos?