Bien, pero no me refiero a eso. Me refiero a que si tenemos \( 2+1+1+1 \), ¿por qué es equivalente a \( 1+2+1+1 \)? ¿Porque la suma de clases es conmutativa (y de paso asociativa)?
Sí te refieres a eso. De hecho, no sé a qué llamas suma de clases. Lo que yo digo es que hay siete casos:
1) Hay cinco clases de 1 elemento cada una.
2) Hay cuatro clases de 1 elemento y una de 2.
3) Hay dos clases de 2 elementos y una de 1.
4) Hay una clase de 3 elementos y dos de 1.
5) Hay una clase de 3 elementos y una de 2.
6) Hay una clase de 4 elementos y otra de 1.
7) Hay una clase de 5 elementos.
¿Estás de acuerdo en que estos siete casos (donde no hay sumas ni nada) cubren todas las posibilidades o falta alguno?
Si estás de acuerdo en que se da necesariamente uno y sólo uno de los casos anteriores, entonces, en el caso 2 tendríamos \( 2^2+1^2+1^2+1^2=7 \) pares en la relación. La cuenta \( 1^2+2^2+1^2+1^2=7 \) sería considerar de nuevo el caso 2, en el que hay una clase (la que sea) con dos elementos y el resto con 1. El orden no importa porque no hay ningún orden establecido en las clases. No tiene sentido hablar de "la primera clase", "la segunda clase", etc. a menos que introduzcas tú un orden para luego concluir que no importa el orden. Si, directamente, no consideramos ningún orden en las clases, no viene al caso plantearse si importa o no un orden inexistente.
¿Alguna prueba de esto, por favor? Supongo que sale por inducción.
Sea \( A \) un conjunto en el que hay una relación de equivalencia \( R \) y sean \( \{C_i\}_{i\in I} \) las clases de equivalencia determinadas por \( R \). Un hecho básico sobre relaciones de equivalencia es que dos elementos \( x, y\in A \) están relacionados si y sólo si están en la misma clase \( C_i \). En otros términos:
\( (x, y)\in R \) si y sólo si existe un \( i\in I \) tal que \( (x, y)\in C_i\times C_i \), si y sólo si \( (x, y)\in \bigcup_{i\in I}(C_i\times C_i) \).
Esto prueba que \( R=\bigcup_{i\in I}(C_i\times C_i) \). Además todo elemento de \( A \) está en una clase de equivalencia, luego \( A=\bigcup_{i\in I}C_i \), y las clases \( C_i \) son disjuntas dos a dos, luego también lo son los productos \( C_i\times C_i \). Por lo tanto, podemos tomar cardinales y resulta:
\( |A|=\sum_{i\in I}|C_i| \), \( |R|=\sum_{i\in I}|C_i\times C_i| = \sum_{i\in I}|C_i|^2 \).
Si llamas \( k_i=|C_i| \), \( n=|I| \) y \( N=|A| \) te queda expresado en los términos en que lo había expresado antes.