[dario_oasis]

Hola como estan?disculpen me podrian ayudar con este ejercicio?

Dada la siguiente función, continua en el origen, probar que no es diferenciable en dicho punto:

\( \begin{\displaystyle\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2} }\end{cases} \). si \( (x,y)\neq{(0,0)} \)
                    si \( (x,y)=(0,0) \)

[manooooh]

Hola

Estaría bueno que nos muestres qué intentaste, así podemos ayudarte mejor.

Dada la siguiente función, continua en el origen, probar que no es diferenciable en dicho punto:

\( \displaystyle\binom{\displaystyle\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}}{0} \) si \( (x,y)\neq{(0,0)} \)
                    si \( (x,y)=(0,0) \)

Diferenciabilidad implica derivabilidad en toda dirección (o sea \( p\implies q \)) (ver demostración aquí, ejercicio 10. \( a. \)). El contrarecíproco también es verdadero (o sea \( \neg q\implies\neg p \)).

Si llamamos \( f(x,y) \) a la función, al analizar la

\( f'\big((0,0);\check v\big)=\displaystyle\lim_{h\to0}\frac{f\big((0,0)+h(a,b)\big)-f(0,0)}{h},\quad\forall\check v=(a,b)\in\mathbb R^2,\quad\|\check v\|= a^2+b^2=1 \)

¿qué podés concluir acerca de la derivabilidad en toda dirección?

Saludos

P.D. Para representar una función por trozos es conveniente usar [tex]\begin{cases }\end{cases}[/tex].

[dario_oasis]

que puedo concluir acerca de la derivabilidad en toda direccion? es que si una funcion es derivable en todos sus puntos es continua, pero como empìezo a resolver el ejercicio?

[manooooh]

Hola

¿qué puedo concluir acerca de la derivabilidad en toda dirección? es que si una funcion es derivable en todos sus puntos es continua, pero ¿cómo empìezo a resolver el ejercicio?

Pero el recíproco no es necesariamente cierto . O sea, que una función sea continua en un punto NO significa que también sea derivable (en algunas o todas las direcciones \( \check v \)).

Para resolver el ejercicio deberías saber lo que es una derivada direccional y cómo se la encuentra a través de la definición formal o usando regla práctica (sólo cuando sepamos que es diferenciable, pero no sabemos en este caso).

La definición formal es estudiar qué le pasa a este límite:

\( \displaystyle\lim_{h\to0}\frac{f\big((0,0)+h(a,b)\big)-f(0,0)}{h} \)

Empezá a reconocer quién es \( f\big((0,0)+h(a,b)\big)=f(ah,bh) \) y \( f(0,0) \), y luego resolvé ese límite de una variable (con la condición \( a^2+b^2=1 \)).

Saludos

[dario_oasis]

Disculpa pero me marea tantas cosas a analizar, porque ese a al cuadrado mas b al cuadrado = a uno, no se de donde sale

[manooooh]

Disculpa pero me marea tantas cosas a analizar, porque ese a al cuadrado mas b al cuadrado = a uno, no sé de dónde sale

\( \check v \) es un vector de norma \( 1 \), con componentes \( a \) y \( b \). O sea, \( \check v=(a,b) \). Como dijimos que su norma es \( 1 \), luego \( \|\check v\|=\sqrt{a^2+b^2}=1\implies a^2+b^2=1 \).

Ese vector sale de la definición de derivada direccional.

Saludos

[dario_oasis]

Disculpa manoh te agradesco pero no logro comprender mucho yo n lo vi de esa manera!

[manooooh]

Disculpa manoh manooooh te agradezco pero no logro comprender mucho yo no lo vi de esa manera!

¡¿Y cómo lo viste entonces?! Por esto te pido que nos digas cómo lo hiciste, hasta dónde llegaste, para poder entender tu notación, tus errores, tus dudas, etcétera...

Saludos

[dario_oasis]

\( \displaystyle\binom{\displaystyle\frac{x^3-y^3}{x^2+y^2}}{0} \) si \( (x,y)\neq{(0,0)} \)

me equivoque al copiar el ejercicio era al cubo en el numerador no al cuadrado, asi lo hice yo:

\( _f(0+h,0+k)=\displaystyle\frac{h^3-k^3}{h^2+k^2} \)
_f(0,0)=0

\( \frac{{\partial f}}{{\partial x}}(0,0)=\displaystyle\lim_{h \to{0}}{}\displaystyle\frac{h(h,0)-f(0,0)}{h}=\displaystyle\frac{h^3}{\displaystyle\frac{h^2}{h}}=1 \)

\( \frac{{\partial f}}{{\partial y}}(0,0)=\displaystyle\lim_{k \to{0}}{}\displaystyle\frac{h(h,0)-f(0,0)}{h}=-1 \)

\( r(h,k)=\displaystyle\frac{h^3-k^2-0-1h+1k}{h^2+k^2}=\displaystyle\frac{2k^3-hk^2+kh^2}{\displaystyle\frac{h^2+k^2}{\sqrt[ ]{h^2+k^2}}}=\displaystyle\frac{k(2k^2-hk+h^2}{\displaystyle\frac{h^2+k^2}{\sqrt[ ]{h^2+k^2}}} \)

hago los limites iterados y me da que cuando H tiende a cero me da 0 y cuando k tiende a 0 meda 2
 por lo tanto puse que no es diferenciable pero mi profe me parece que me dijo que estaba mal me podrias decir si me equivoque en algo?

[manooooh]

\( \displaystyle\binom{\displaystyle\frac{x^3-y^3}{x^2+y^2}}{0} \) si \( (x,y)\neq{(0,0)} \)

Esa no es la función original del primer mensaje.

Con

\( f(x,y)=\begin{cases}\dfrac{x^3-y^3}{x^2+y^2}&\text{si}&(x,y)\neq(0,0)\\0&\text{si}&(x,y)=(0,0)\end{cases} \)

no podemos usar el argumento del contrarecíproco (¿entendiste qué significa?) pues esta nueva función \( f(x,y) \) sí es derivable en toda dirección. Lastimosamente, hay que usar la definición formal (es un límite feo): para probar que NO es diferenciable en el origen hay que demostrar que el

\( \displaystyle\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{f(x,y)-\big[f(0,0)+\color{red}f'_x(0,0)\color{black}\cdot(x-0)+\color{red}f'_y(0,0)\color{black}\cdot(y-0)\big]}{\sqrt{x^2+y^2}}\neq0. \)

(*) Significan las derivadas parciales de \( f(x,y) \). (Remarco esto a propósito porque conozco a alguien del foro que no le gusta ponerles la comita ' a esas derivadas... )

P.D. Algo debo tener mal pues a mí me da que la función es diferenciable en \( (0,0) \). Para tener una referencia, véase Show that \( \frac{x^3-y^3}{x^2+y^2} \) is not differentiable at origin.