[manooooh]

Mmm ósea como es eso de las derivadas direccionales?No me lo podri as indicar vos?soy bastante pelotudo

Por favor no utilices esas palabras. Nos tenemos que respetar entre todos. Y no, no sos eso. Yo soy peor .

Voy a explicarte lo mejor que pueda:

Si llamamos \( f(x,y) \) a la función, al analizar la

\( f'\big((0,0);\check v\big)=\displaystyle\lim_{h\to0}\frac{f\big((0,0)+h(a,b)\big)-f(0,0)}{h},\quad\forall\check v=(a,b)\in\mathbb R^2,\quad\|\check v\|= a^2+b^2=1 \)

¿qué podés concluir acerca de la derivabilidad en toda dirección?

\( f'\big((0,0);\check v\big) \) significa la derivada direccional de la función \( f(x,y) \) en el origen en la dirección del vector de norma \( 1 \) llamado \( \check v \). O sea, estamos viendo cuánto vale esta derivada genérica (pues no decimos en qué dirección nos movemos; estamos estudiando el caso general, o sea cuando \( \check v=(a,b) \)). Si fuesen las derivadas parciales, sería:

• Para \( x \): \( \color{red}f'_x\color{black}(0,0)=\left.f'\big((0,0);(a,b)\big)\right|_{(a,b)=(1,0)}=f'\big((0,0);(1,0)\big) \);
• Para \( y \): \( \color{red}f'_y\color{black}(0,0)=\left.f'\big((0,0);(a,b)\big)\right|_{(a,b)=(0,1)}=f'\big((0,0);(0,1)\big) \).

¿Hasta acá entendés?

¿Pero cómo calculamos las derivadas direccionales genéricas? Bueno, con el siguiente límite:

\( \displaystyle\lim_{h\to0}\frac{f\big((0,0)+h(a,b)\big)-f(0,0)}{h},\quad\forall\check v=(a,b)\in\mathbb R^2,\quad\|\check v\|= a^2+b^2=1 \)

Entonces,

\( \displaystyle\lim_{h\to0}\frac{f\big((0,0)+h(a,b)\big)-f(0,0)}{h}=\lim_{h\to0}\frac{f(ah,bh)-0}h=
\lim_{h\to0}\frac{\frac{(ah)^3-(bh)^3}{(ah)^2+(bh)^2}}h=\lim_{h\to0}\frac{a^3h^3-b^3h^3}{a^2h^2+b^2h^2}\cdot\frac1h=\lim_{h\to0}\frac{h^3(a^3-b^3)}{h^2\underbrace{(a^2+b^2)}_1}\cdot\frac1h=\lim_{h\to0}\frac{h^3(a^3-b^3)}{h^3}=\lim_{h\to0}(a^3-b^3)=\boxed{a^3-b^3}, \)

o sea que

\( \boxed{f'\big((0,0);(a,b)\big)=a^3-b^3}. \)

Si querés comprobar que las derivadas parciales son las mismas que las tuyas, hacemos

\( \color{red}f'_x\color{black}(0,0)=f'\big((0,0);(1,0)\big)=1^3-0^3=1\\
\color{red}f'_y\color{black}(0,0)=f'\big((0,0);(0,1)\big)=0^3-1^3=-1. \)

Vemos que las derivadas direccionales existen y valen \( a^3-b^3 \) (en cualquier dirección, va). ¿Bien?

Sin embargo, para mostrar que la función es diferenciable en el origen \( a^3-b^3 \) debe tener la forma \( Aa+Bb \); o sea, debería quedar sin los cubos (debería quedar \( \text{gradiente}\cdot\text{vector de norma }1 \)).

Pero esto no es así, ya que \( a^3-b^3 \) no tiene la forma antes mencionada; luego no es diferenciable en \( (0,0) \).

Saludos

(*) Por favor notar la comita ' .

[Fernando Revilla]

De manera breve:

          \( f(x,y)=\begin{cases} \dfrac{x^3-y^3}{x^2+y^2} & \text{si}& (x,y)\ne (0,0)\\0 & \text{si}& (x,y)=(0,0)\end{cases} \)

Es fácil verificar que \( f_x(0,0)=\color{red}1 \), \(  f_y(0,0)=\color{red}-1 \), entonces si \( f \) es diferenciable en \( (0,0) \) la única posible diferencial es \( \lambda (h,k)=h\color{red}-\color{black}k \). Analicemos:

          \( L=\displaystyle\lim_{(h,k)\to (0,0)}\displaystyle\frac{f(h,k)-f(0,0)-\lambda (h,k)}{ \left\|{(h,k)}\right\|}=\displaystyle\lim_{(h,k)\to (0,0)}\displaystyle\frac{\color{red}h^2k-hk^2}{(h^2+k^2)^{3/2}}. \)

Para la dirección \( k=-h \) tenemos

           \( \displaystyle\lim_{h \to 0}\displaystyle\frac{\color{red}-\color{black}2h^3}{(2h^2)^{3/2}}=\displaystyle\lim_{h \to 0}\displaystyle\frac{\color{red}-\color{black}2h^3}{2^{3/2}h^3}=\color{red}-\color{black}\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}\ne 0. \)

Por tanto, si existe \( L \) es no nulo, luego \( f \) no es diferenciable en \( (0,0) \).

[dario_oasis]

Disculpa que te pregunte, así me lo explicaron, porque h=-k , y \(   \gamma (h,k)? \)

[manooooh]

Hola Fernando

Es fácil verificar que \( f_x(0,0)=f_y(0,0)=0 \) (...)

Como expuse, a mí me dan que las parciales en el origen son \( f_x'(0,0)=1 \) y \( f_y'(0,0)=-1 \):

\( \displaystyle\lim_{h\to0}\frac{f\big((0,0)+h(a,b)\big)-f(0,0)}{h}=\lim_{h\to0}\frac{f(ah,bh)-0}h=
\lim_{h\to0}\frac{\frac{(ah)^3-(bh)^3}{(ah)^2+(bh)^2}}h=\lim_{h\to0}\frac{a^3h^3-b^3h^3}{a^2h^2+b^2h^2}\cdot\frac1h=\lim_{h\to0}\frac{h^3(a^3-b^3)}{h^2\underbrace{(a^2+b^2)}_1}\cdot\frac1h=\lim_{h\to0}\frac{h^3(a^3-b^3)}{h^3}=\lim_{h\to0}(a^3-b^3)=\boxed{a^3-b^3}, \)

o sea que

\( \boxed{f'\big((0,0);(a,b)\big)=a^3-b^3}. \)

Si querés comprobar que las derivadas parciales son las mismas que las tuyas, hacemos

\( f'_x(0,0)=f'\big((0,0);(1,0)\big)=1^3-0^3=1\\
f'_y(0,0)=f'\big((0,0);(0,1)\big)=0^3-1^3=-1. \)

¿Por qué nos da distinto? .

Algo sobre el \(\LaTeX\)

[tex]\displaystyle[/tex] muestra en modo matemático toda la fórmula y basta escribirlo una sola vez (si no hay estructuras dentro de los [tex][/tex]).

O sea, por ejemplo aquí:

          \( L=\displaystyle\lim_{(h,k)\to (0,0)}\displaystyle\frac{\left |{f(h,k)-f(0,0)-\lambda (h,k)}\right |}{ \left\|{(h,k)}\right\|}=\displaystyle\lim_{(h,k)\to (0,0)}\displaystyle\frac{h^3-k^3}{(h^2+k^2)^{3/2}}. \)

no hacía falta escribir todo el tiempo [tex]\displaystyle[/tex] (¡debe resultar muy molesto!). Con los mismos resultados es obtiene escribiendo

[tex]L=\displaystyle\lim_{(h,k)\to (0,0)}\frac{\left |{f(h,k)-f(0,0)-\lambda (h,k)}\right |}{ \left\|{(h,k)}\right\|}=\lim_{(h,k)\to (0,0)}\frac{h^3-k^3}{(h^2+k^2)^{3/2}}.[/tex]

[cerrar]

Saludos

[Fernando Revilla]

Como expuse, a mí me dan que las parciales en el origen son \( f_x'(0,0)=1 \) y \( f_y'(0,0)=-1 \)

Sí, tuve un despiste. Ya está corregido.

[tex]\displaystyle[/tex] muestra en modo matemático toda la fórmula y basta escribirlo una sola vez (si no hay estructuras dentro de los [tex][/tex])
no hacía falta escribir todo el tiempo [tex]\displaystyle[/tex] (¡debe resultar muy molesto!). Con los mismos resultados es obtiene escribiendo
[tex]L=\displaystyle\lim_{(h,k)\to (0,0)}\frac{\left |{f(h,k)-f(0,0)-\lambda (h,k)}\right |}{ \left\|{(h,k)}\right\|}=\lim_{(h,k)\to (0,0)}\frac{h^3-k^3}{(h^2+k^2)^{3/2}}.[/tex]

Todo eso ya lo sé. Pero puedes comprender que es más molesto escribir \frac{}{} que dar un click al icono de fracción que tienes en el panel de mensajes que viene con su \displaystyle ¿no?

[Fernando Revilla]

Disculpa que te pregunte, así me lo explicaron, porque h=-k ,

No es que sea \( h=-k \). Es que si eliges \( h=-k \), demuestras que \( L \) no puede ser \( 0 \) y por tanto, \( f \) no es diferenciable en \( (0,0) \).

y \( \gamma (h,k)? \)

¿?

[manooooh]

Hola

Todo eso ya lo sé. Pero puedes comprender que es más molesto esccribir \frac{}{} que dar un click al icono de fracción que tienes en el panel de mensajes que viene con su \displaystyle ¿no?

Jajaja, es cierto en un principio. Ya me acostumbré a escribir [tex]\frac{}{}[/tex] en vez de cliquearlo en el panel, justamente porque, entre otras cosas, es redundante el uso de \displaystyle. Otra es porque en el foro de guiris no tienen un panel de comandos.

Además soy propenso a escribir mal \displaystyle; me sale \displaystyle y luego no encuentro el error a la hora de renderizar la fórmula .

Saludos y perdón mi ignorancia