[dario_oasis]

\( \displaystyle\binom{\displaystyle\frac{x^3-y^3}{x^2+y^2}}{0} \) si \( (x,y)\neq{(0,0)} \)

me equivoque al copiar el ejercicio era al cubo en el numerador no al cuadrado, asi lo hice yo:

\( _f(0+h,0+k)=\displaystyle\frac{h^3-k^3}{h^2+k^2} \)
_f(0,0)=0

\( \frac{{\partial f}}{{\partial x}}(0,0)=\displaystyle\lim_{h \to{0}}{}\displaystyle\frac{h(h,0)-f(0,0)}{h}=\displaystyle\frac{h^3}{\displaystyle\frac{h^2}{h}}=1 \)

\( \frac{{\partial f}}{{\partial y}}(0,0)=\displaystyle\lim_{k \to{0}}{}\displaystyle\frac{h(h,0)-f(0,0)}{h}=-1 \)

\( r(h,k)=\displaystyle\frac{h^3-k^3-0-1h+1k}{h^2+k^2}=\displaystyle\frac{2k^3-hk^2+kh^2}{\displaystyle\frac{h^2+k^2}{\sqrt[ ]{h^2+k^2}}}=\displaystyle\frac{k(2k^2-hk+h^2}{\displaystyle\frac{h^2+k^2}{\sqrt[ ]{h^2+k^2}}} \)

hago los limites iterados y me da que cuando H tiende a cero me da 0 y cuando k tiende a 0 meda 2
 por lo tanto puse que no es diferenciable pero mi profe me parece que me dijo que estaba mal me podrias decir si me equivoque en algo?

[dario_oasis]

PD: la función tiene que ser no diferenciable ya que el ejercicio asi lo indica

[manooooh]

\( _f(0+h,0+k)=\displaystyle\frac{h^3-k^3}{h^2+k^2} \)
_f(0,0)=0

\( \frac{{\partial f}}{{\partial x}}(0,0)=\displaystyle\lim_{h \to{0}}{}\displaystyle\frac{h(h,0)-f(0,0)}{h}=\displaystyle\frac{h^3}{\displaystyle\frac{h^2}{h}}=1 \)

\( \frac{{\partial f}}{{\partial y}}(0,0)=\displaystyle\lim_{k \to{0}}{}\displaystyle\frac{h(h,0)-f(0,0)}{h}=-1 \)

Salvo la notación un tanto equivocada, está bien.

\( r(h,k)=\displaystyle\frac{h^3-\color{red}k^2\color{black}-0-1h+1k}{h^2+k^2}=\displaystyle\frac{2k^3-hk^2+kh^2}{\displaystyle\frac{h^2+k^2}{\sqrt[ ]{h^2+k^2}}}=\displaystyle\frac{k(2k^2-hk+h^2}{\displaystyle\frac{h^2+k^2}{\sqrt[ ]{h^2+k^2}}} \)

hago los limites iterados y me da que cuando H tiende a cero me da 0 y cuando k tiende a 0 meda 2 (...)

No entiendo. ¿Quién es \( r \)? ¿Quiénes son \( h \) y \( k \)? ¿Por qué ponés \( \color{red}k^2\color{black} \) si debería ser \( k^3 \)?

Como dije, tenés que demostrar que

\( \displaystyle\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{f(x,y)-\big[f(0,0)+f'_x(0,0)\cdot(x-0)+f'_y(0,0)\cdot(y-0)\big]}{\sqrt{x^2+y^2}}\neq0. \)

Por favor mejorá la notación.

Saludos

[dario_oasis]

si disculpa eso fue error mio al copiar

[dario_oasis]

h y k son x e y en el reemplazo cuando se hace la definicion de limite

[manooooh]

De cualquier manera, no creo que ninguna manipulación algebraica de la función valga para demostrar que la función no es diferenciable en el origen.

Se debería poder utilizar coordenadas polares, pero ni hasta los "guiris" se ponen de acuerdo en el enlace que te adjunté previamente .

Esperá a alguien más que resuelva esta pregunta.

Saludos

[manooooh]

h y k son x e y en el reemplazo cuando se hace la definicion de limite

¡Pero no has reemplazado nada, simplemente llamalas \( x \) e \( y \)! Por lo que veo quisiste utilizar lo que "está adentro" del límite, pero sin tomarlo. Eso está mal, incluso si dijeras "luego agrego las letras \( \lim \)".

La definición de ese límite ya te la mencioné. Es esta y hay que probarla, pero yo no sé cómo:

\( \displaystyle\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{f(x,y)-\big[f(0,0)+f'_x(0,0)\cdot(x-0)+f'_y(0,0)\cdot(y-0)\big]}{\sqrt{x^2+y^2}}\neq0. \)

Saludos

[dario_oasis]

Ahora si que estoy más perdido que turco en la neblina se me hizo tremenda con función a mi en la facu me enseñaron así,Ya no se que tengo que hacer para demostrar que no es diferenciable 

[manooooh]

Tengo la fórmula:

Si las derivadas direccionales en el origen NO SON DE LA FORMA \( A\cdot a+B\cdot b \) (con \( A \) y \( B \) reales) entonces la función NO es diferenciable en el origen.

Si calculás las derivadas direccionales vas a ver que es \( a^3-b^3 \); y no es de la forma \( Aa+Bb \), con \( A,B\in\Bbb R \). He ahí que no es diferenciable en \( (x,y)=(0,0) \).

Esto se debe a un teorema bastante conocido, que dice que (sin escribir mucho) \( f'(\vec x_0,\check v)=D_f(\vec x_0)\cdot\check v \). La demostración no es muy complicada.

Luego, como en nuestro caso particular \( f'\big((0,0);(a,b)\big)=a^3-b^3 \) no cumple con el teorema anterior, y por tanto no es diferenciable (o sea no es de la forma \( \text{gradiente}\cdot\text{versor} \)).

Me lo acaba de decir mi profesor (yo no recordaba), le debo la vida .

Saludos

[dario_oasis]

Mmm ósea como es eso de las derivadas direccionales?No me lo podri as indicar vos?soy bastante despistado