Hola.
Hola tengo dificultades con esta demostración donde debo demostrar que \( Q(i) \) y \( Q(\displaystyle\frac{1}{2}(1+i)) \) son isoorfismo
Tenemos que:
\( Q(i)= \{ a+bi | a,b\in{\mathbb{Q}} \} \)
\( Q(1/2(1+i)) = \{a+b(\displaystyle\frac{1}{2}(1+i)) | a.b \in{\mathbb{Q}} \)
\( Q(I) \longrightarrow{Q(\displaystyle\frac{1}{2}(1+i))} \)
\( a+bi \longmapsto a +(b(\displaystyle\frac{1}{2}(1+i))) \)
Debo demostrar que la aplicación es inyectiva y sobreyectiva pero no resulta
De antemano gracias
No estoy muy puesto en isomorfismos, pero si "i" es la unidad imaginaria, el cuerpo \( Q(i)= \{ a+bi | a,b\in{\mathbb{Q}} \} \) es el de los complejos restringido a coeficientes binómicos racionales.
Para la biyectividad basta ver que existe la función inversa para todo \( a, b\in{\mathbb{Q}} \),
Es decir si tenemos que:
\( Q(I) \longrightarrow{Q(\displaystyle\frac{1}{2}(1+i))} \)
\( a+bi \longmapsto a +(b(\displaystyle\frac{1}{2}(1+i)))=(a'+b'i) \)
A mi juicio solo debes despejar a y b, como \( a=f(a',b') \) y \( b=f(a',b') \), pero no se si realmente es así de simple.
Por otro lado que sea isomorfismo además de la biyectividad debes probar que es homomorfismo, es decir conserva las operaciones.
\( f(p+q)=f(p)+f(q) \) y
\( f(p\cdot{}q)=f(p)\cdot{}f(q) \)
Pero mejor que revise mi respuesta otro compañero.
Saludos.