Autor Tema: Demuestre que los cuerpos son isomorfismo

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08 Diciembre, 2017, 04:46 pm
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cristianoceli

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Hola tengo dificultades con esta demostración donde debo demostrar que \( Q(i) \) y \( Q(\displaystyle\frac{1}{2}(1+i)) \) son isoorfismo

Tenemos que:

\( Q(i)= \{ a+bi | a,b\in{\mathbb{Q}} \}  \)

\( Q(1/2(1+i)) = \{a+b(\displaystyle\frac{1}{2}(1+i)) | a.b \in{\mathbb{Q}}   \)


\( Q(I) \longrightarrow{Q(\displaystyle\frac{1}{2}(1+i))} \)
\( a+bi \longmapsto a +(b(\displaystyle\frac{1}{2}(1+i))) \)


Debo demostrar que la aplicación es inyectiva y sobreyectiva pero no resulta

De antemano gracias

08 Diciembre, 2017, 05:29 pm
Respuesta #1

robinlambada

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Hola.
Hola tengo dificultades con esta demostración donde debo demostrar que \( Q(i) \) y \( Q(\displaystyle\frac{1}{2}(1+i)) \) son isoorfismo

Tenemos que:

\( Q(i)= \{ a+bi | a,b\in{\mathbb{Q}} \}  \)

\( Q(1/2(1+i)) = \{a+b(\displaystyle\frac{1}{2}(1+i)) | a.b \in{\mathbb{Q}}   \)


\( Q(I) \longrightarrow{Q(\displaystyle\frac{1}{2}(1+i))} \)
\( a+bi \longmapsto a +(b(\displaystyle\frac{1}{2}(1+i))) \)


Debo demostrar que la aplicación es inyectiva y sobreyectiva pero no resulta

De antemano gracias

No estoy muy puesto en isomorfismos, pero si "i" es la unidad imaginaria, el cuerpo \( Q(i)= \{ a+bi | a,b\in{\mathbb{Q}} \}  \) es el de los complejos restringido a coeficientes binómicos racionales.

Para la biyectividad basta ver que existe la función inversa para todo \( a, b\in{\mathbb{Q}}  \),

Es decir si tenemos que:
\( Q(I) \longrightarrow{Q(\displaystyle\frac{1}{2}(1+i))} \)
\( a+bi \longmapsto a +(b(\displaystyle\frac{1}{2}(1+i)))=(a'+b'i) \)

A mi juicio solo debes despejar a y b, como \( a=f(a',b') \) y \( b=f(a',b') \), pero no se si realmente es así de simple.

Por otro lado que sea isomorfismo además de la biyectividad debes probar que es homomorfismo, es decir conserva las operaciones.

\( f(p+q)=f(p)+f(q) \)  y

\( f(p\cdot{}q)=f(p)\cdot{}f(q) \)

Pero mejor que revise mi respuesta otro compañero.

Saludos.
Envejecer es como escalar una gran montaña: mientras se sube las fuerzas disminuyen, pero la mirada es más libre, la vista más amplia y serena.

La verdadera juventud una vez alcanzada, nunca se pierde.

08 Diciembre, 2017, 10:02 pm
Respuesta #2

Luis Fuentes

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Hola

Hola tengo dificultades con esta demostración donde debo demostrar que \( Q(i) \) y \( Q(\displaystyle\frac{1}{2}(1+i)) \) son isoorfismo

Tenemos que:

\( Q(i)= \{ a+bi | a,b\in{\mathbb{Q}} \}  \)

\( Q(1/2(1+i)) = \{a+b(\displaystyle\frac{1}{2}(1+i)) | a.b \in{\mathbb{Q}}   \)


\( Q(I) \longrightarrow{Q(\displaystyle\frac{1}{2}(1+i))} \)
\( a+bi \longmapsto a +(b(\displaystyle\frac{1}{2}(1+i))) \)

Debo demostrar que la aplicación es inyectiva y sobreyectiva pero no resulta

Que esa aplicación es inyectiva y sobreyectiva es evidente. Lo que no resultará así definida es que sea homomorfismo de cuerpos.

Simplemente define:

\( f:Q(\dfrac{1}{2}(1+i))\to Q(i) \)

\( f(a+b(\dfrac{1}{2}(1+i))=(a+\dfrac{1}{2}b)+\dfrac{1}{2}bi \)

(que en el fondo es la inclusión natural si tenemos en cuenta que \( Q(i)=\mathbb{C} \))

y comprueba que cumple todo lo que quieres: biyectiva y homomorfismo de cuerpos.

Saludos.

P.D. Otra forma es notar que por definición \( Q(\alpha) \) con \( \alpha\in \mathbb{C} \) es el menor subcuerpo de \( \mathbb{C} \) que contiene a \( \alpha \) .Es bastante inmediato ver que en los dos casos del ejercicio tal subcuerpo es todo \( \mathbb{C} \).