Autor Tema: Clasificación de homomorfismos.

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06 Diciembre, 2017, 02:47 am
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ianrivasyo

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Estoy teniendo problemas con ejercicios de clasificar homomorfismos.
Primero no entiendo bien como tiene que ser la ecuación para determinar si es inyectiva, sobreyectiva, biyectiva (y así saber si es monomorfismo, epimorfismo, isomorfismo).

Como yo creo que es es que mediante la demostración que es homomorfismo: \( f(x1\circ{}x2)=f(x1)*f(x2)  \) despejar hasta obtener \( x1=x2 \) en caso de ser inyectiva. Sin embargo, no se como aplicar la definición de sobreyectividad a homomorfismos.

Luego están los ejercicios que me está complicando ya de por si demostrar la inyectividad, de ejemplo doy:

Dada la función: \( f:\mathbb{R}^+\rightarrow{}\mathbb{R}/f(x)=ln(x) \)
Indicar que tipo de homomorfismo es: \( f:(\mathbb{R}^+,\cdot{})\rightarrow{}(\mathbb{R},+) \)

Para ver si es inyectiva pruebo con la definición de homomorfismos:
\( ln(x1\cdot{}x2)=ln(x1)+ln(x2) \)
Y a partir de ahí despejar hasta obtener x1=x2 de ser posible.
¿Es esto correcto? Aún sabiendo esto, no estoy siendo capaz de despejarlo, y no se si es porque no se bien resolver esa ecuación o porque no sea inyectiva. Así que también si me dicen como despejar eso les agradezco.
Lo mismo me ocurre con otros ejercicios parecidos en que tengo cosas como: \( 2^{x1+x2}=2^{x1}\cdot{}2^{x2} \) y no logro igualar x1=x2
Como dije no se como demostrar que es sobreyectiva así que hasta ahí llego.


Un saludo y gracias de antemano.

06 Diciembre, 2017, 04:29 am
Respuesta #1

manooooh

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Hola,

Estoy teniendo problemas con ejercicios de clasificar homomorfismos.
Primero no entiendo bien como tiene que ser la ecuación para determinar si es inyectiva, sobreyectiva, biyectiva (y así saber si es monomorfismo, epimorfismo, isomorfismo).

Como yo creo que es es que mediante la demostración que es homomorfismo: \( f(x1\circ{}x2)=f(x1)*f(x2)  \) despejar hasta obtener \( x1=x2 \) en caso de ser inyectiva. Sin embargo, no se como aplicar la definición de sobreyectividad a homomorfismos.

Luego están los ejercicios que me está complicando ya de por si demostrar la inyectividad, de ejemplo doy:

Dada la función: \( f:\mathbb{R}^+\rightarrow{}\mathbb{R}/f(x)=ln(x) \)
Indicar que tipo de homomorfismo es: \( f:(\mathbb{R}^+,\cdot{})\rightarrow{}(\mathbb{R},+) \)

Para ver si es inyectiva pruebo con la definición de homomorfismos:
\( ln(x1\cdot{}x2)=ln(x1)+ln(x2) \)
Y a partir de ahí despejar hasta obtener x1=x2 de ser posible.
¿Es esto correcto? Aún sabiendo esto, no estoy siendo capaz de despejarlo, y no se si es porque no se bien resolver esa ecuación o porque no sea inyectiva. Así que también si me dicen como despejar eso les agradezco.
Lo mismo me ocurre con otros ejercicios parecidos en que tengo cosas como: \( 2^{x1+x2}=2^{x1}\cdot{}2^{x2} \) y no logro igualar x1=x2
Como dije no se como demostrar que es sobreyectiva así que hasta ahí llego.


Un saludo y gracias de antemano.

Te doy las definiciones y ejemplos aunque las podés encontrar por Internet fácilmente para que resuelvas tus ejercicios:

Sean \( (G_1, *_1) \) y \( (G_2, *_2) \) grupos.

1) Decimos que \( f: G_1 \rightarrow{} G_2 \) es homomorfismo (o morfismo) sii \( \forall x_1, x_2 \in G_1, \; f(x_1 *_1 x_2) = f(x_1) *_2 f(x_2) \)

Ejemplo: ¿\( f: (\mathbb{R}, +) \rightarrow{} (\mathbb{R} - \{0\}, \cdot): f(x) = e^x \) es morfismo?
1º) En primer lugar hay que saber si \( (\mathbb{R}, +) \) y \( (\mathbb{R} - \{0\}, \cdot) \) son grupos. Lo son.
2º) Aplicamos la definición de morfismo: \( \forall x_1, x_2 \in G_1, \; f(x_1 *_1 x_2) = f(x_1) *_2 f(x_2) \).
Dem:
\( f(x_1) = e^{x_1} \)
\( f(x_2) = e^{x_2} \)
\( f(x_1 + x_2) = e^{x_1 + x_2} \underbrace{=}_{\textrm{Por propiedad exponencial}} e^{x_1} \cdot e^{x_2} = f(x_1) \cdot f(x_2) \; \therefore \; f \textrm{ es morfismo} \).



Sea \( f: (G_1, *_1) \rightarrow{} (G_2, *_2) \) morfismo.

2) \( f \) es monomorfismo \( \Leftrightarrow{} f \) es inyectiva \( \Leftrightarrow{} \forall x_1, x_2 \in G_2: f(x_1) = f(x_2) \Rightarrow{} x_1 = x_2 \)
Obs.: si se pide demostrar la inyectividad previamente hay que demostrar el morfismo.

Ejemplo: del ejemplo anterior, ¿\( f \) es monomorfismo? Es decir,
\( \forall x_1, x_2 \in G_2: f(x_1) = f(x_2) \; \underbrace{\Rightarrow{}}_{?} \; x_1 = x_2 \)
Dem:
\( f(x_1) = f(x_2) \Rightarrow{} e^{x_1} = e^{x_2} \; \underbrace{\Rightarrow{}}_{\textrm{A bases iguales exponentes iguales}} \; x_1 = x_2 \; \therefore \; f \textrm{ es monomorfismo} \).

Obs. 2: \( f \) es monomorfismo \( \Leftrightarrow{} N_f = \{e_1\} \), donde \( N_f \) es el núcleo de \( f \) y \( e_1 \) es el neutro de \( G_1 \). Su definición es:
\( N_f = \{x \in G_1: f(x) = e_2\} \subset{} G_1 \)

Obs. 2.1: ¿puede ser que \( N_f = \varnothing \)? No, pues \( e_1 \in N_f \) siempre (siempre habrá al menos un elemento y por tanto nunca el núcleo será vacío).

Del ejemplo,
\( N_f = \{x \in \mathbb{R}: f(x) = e_2\} = \{x \in \mathbb{R}: e^x = \underbrace{1}_{\textrm{Neutro de } (\mathbb{R} - \{0\}, \cdot)}\} \; \underbrace{=}_{e^0 = 1} \; \{0\} \wedge 0 \textrm{ es el neutro de } (\mathbb{R}, +) \Rightarrow{} N_f = \{0\} \; \therefore \; f \textrm{ es monomorfismo} \).

Así que tenés dos maneras de probar la inyectividad: por su definición o por la definición de núcleo.



3) \( f \) es epimorfismo \( \Leftrightarrow{} f \) es sobreyectiva \( \Leftrightarrow{} \forall y_1 \in G_2, \exists x_1 \in G_1: f(x_1) = y_1 \Leftrightarrow{} {Im}_f = G_2 \).

Ejemplo: del ejemplo anterior, ¿\( f \) es epimorfismo? No, pues
\( {Im}_f = \mathbb{R}_{>0} \neq{} \mathbb{R} - \{0\} \; \therefore \; f \textrm{ no es epimorfismo} \).



4) \( f \) es isomorfismo \( \Leftrightarrow{} f \) es monomorfismo y epimorfismo.

Ejemplo: del ejemplo anterior, ¿\( f \) es isomorfismo? No, pues no es epimorfismo.



Con todo esto podés resolver los ejercicios.

Cualquier duda volvé a preguntar!

Saludos

06 Diciembre, 2017, 06:45 am
Respuesta #2

ianrivasyo

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Muchas gracias, ya me parecía que había entendido mal como resolver, es que me parecía raro que todo sea basicamente demostrar la inyectividad y sobreyectividad de f dejando un poco de lado la definición de homomorfismo y termine haciendo todo eso que estaba mal. Ahora ya lo tengo claro.

Tengo una pequeña duda mas, un endomorfismo sería si \( G_1=G_2 \) cierto?
Y un automorfismo es un endomorfismo biyectivo. Esto significa que tiene que ser un endomorfismo y a la vez f debe ser biyectivo (o sea monomorfismo y epimorfismo)?

06 Diciembre, 2017, 08:34 am
Respuesta #3

manooooh

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Hola,

Muchas gracias, ya me parecía que había entendido mal como resolver, es que me parecía raro que todo sea basicamente demostrar la inyectividad y sobreyectividad de f dejando un poco de lado la definición de homomorfismo y termine haciendo todo eso que estaba mal. Ahora ya lo tengo claro.

Tengo una pequeña duda mas, un endomorfismo sería si \( G_1=G_2 \) cierto?
Y un automorfismo es un endomorfismo biyectivo. Esto significa que tiene que ser un endomorfismo y a la vez f debe ser biyectivo (o sea monomorfismo y epimorfismo)?

A partir de acá ya no te puedo ayudar mucho :(. Encontré un link interesante sobre estas cuestiones de grupos: http://www.dim.uchile.cl/~mkiwi/ma31a/05/apunte.pdf.

Ahí están las definiciones.

Saludos!

06 Diciembre, 2017, 08:57 am
Respuesta #4

ianrivasyo

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Encontré un link interesante sobre estas cuestiones de grupos: http://www.dim.uchile.cl/~mkiwi/ma31a/05/apunte.pdf.

Gracias, voy a echarle un vistazo. Saludos!

06 Diciembre, 2017, 11:10 pm
Respuesta #5

Luis Fuentes

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Hola

Tengo una pequeña duda mas, un endomorfismo sería si \( G_1=G_2 \) cierto?

Si,, un endomorfismo es un homomorfismo de un conjunto en si mismo.

Citar
Y un automorfismo es un endomorfismo biyectivo. Esto significa que tiene que ser un endomorfismo y a la vez f debe ser biyectivo (o sea monomorfismo y epimorfismo)?

Exacto.

Saludos.