Autor Tema: Demuestre que no son isomorfismo

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08 Diciembre, 2017, 05:12 pm
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cristianoceli

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Hola tengo dudas con esta demostración

Demuestre que los siguientes cuerpos no son isomorfismo

a) \( Q(i) \) y \( Q(\sqrt[ ]{2}) \)

b) \( Q\sqrt[ ]{2} \) y \( Q\sqrt[ ]{3} \)


Lo que he hecho:

a) \( Q(i) \) y \( Q(\sqrt[ ]{2}) \)

Supongamos que \( Q(i) \) y \( Q(\sqrt[ ]{2}) \) son isomorfos.
Entonces \( \phi : Q (i) \longrightarrow{Q (\sqrt[ ]{2})}  \).
Tenemos que:
\( \phi(1)=1 \Longrightarrow{-\phi(1)} =\phi(-1)=-1  \)

Luego:
\( (\phi(i))^2=\phi(i^2)=\phi(-1)=-1 \)

Debe haber un elemento \( x=\phi(i) \) en \( \phi(\sqrt[ ]{2}) \), con \( x^2=-1 \)

Esto no puede ser cierto ya que \( x^2\geq{0} \forall{x\in{Q(\sqrt[ ]{2}})} \)

Acá el profesor me dijo que buscara otro argumento sin usar orden y no el que di por ejemplo que \( x^2+1 \) es irreducible en Q\( \sqrt[ ]{2} \)

¿Que argumento puedo usar para no usar que \( x^2\geq{0} \forall{x\in{Q(\sqrt[ ]{2}})} \)


Para el (b)

b) \( Q\sqrt[ ]{2} \) y \( Q\sqrt[ ]{3} \)

Supongamos que existe un isomorfismo \( \phi : Q\sqrt[ ]{2} \longrightarrow{Q(\sqrt[ ]{3})} \)
Entonces tenemos que \( \phi(1)=1 \). Por lo tanto

\( 2=1+1=\phi(1) +\phi(1)=\phi(1+1) =\phi(2) =\phi(\sqrt[ ]{2}\sqrt[ ]{2}) =\phi(\sqrt[ ]{2}) \phi(\sqrt[ ]{2}) = (\phi(\sqrt[ ]{2}))^2  \)

\( \phi(\sqrt[ ]{2}) = \pm{\sqrt[ ]{2}} \)

Es decir \( \pm{\sqrt[ ]{2}} \not\in{Q\sqrt[ ]{3}} \) ¿Como demuestro esto?


De antemano gracias.

08 Diciembre, 2017, 09:55 pm
Respuesta #1

Luis Fuentes

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Hola

Hola tengo dudas con esta demostración

Demuestre que los siguientes cuerpos no son isomorfismo

a) \( Q(i) \) y \( Q(\sqrt[ ]{2}) \)

b) \( Q\sqrt[ ]{2} \) y \( Q\sqrt[ ]{3} \)


Lo que he hecho:

a) \( Q(i) \) y \( Q(\sqrt[ ]{2}) \)

Supongamos que \( Q(i) \) y \( Q(\sqrt[ ]{2}) \) son isomorfos.
Entonces \( \phi : Q (i) \longrightarrow{Q (\sqrt[ ]{2})}  \).
Tenemos que:
\( \phi(1)=1 \Longrightarrow{-\phi(1)} =\phi(-1)=-1  \)

Luego:
\( (\phi(i))^2=\phi(i^2)=\phi(-1)=-1 \)

Debe haber un elemento \( x=\phi(i) \) en \( \phi(\sqrt[ ]{2}) \), con \( x^2=-1 \)

Esto no puede ser cierto ya que \( x^2\geq{0} \forall{x\in{Q(\sqrt[ ]{2}})} \)

Acá el profesor me dijo que buscara otro argumento sin usar orden y no el que di por ejemplo que \( x^2+1 \) es irreducible en Q\( \sqrt[ ]{2} \)

¿Que argumento puedo usar para no usar que \( x^2\geq{0} \forall{x\in{Q(\sqrt[ ]{2}})} \)

A mi me parece un detalle menor. La clave está en lo que apuntas, no existe en \( Q(\sqrt{2}) \) ningún elemento \( x \) verificando \( x^2+1=0 \). Esto es equivalente a que el polinomio \( x^2+1 \) sea irreducible. Esa equivalencia es inmediata.

¿El argumento concreto para concluir? Psss... Por ejemplo todo número en \( Q(\sqrt{2}) \) es real y todo número real al cuadrado es positivo: no puede ser \( -1 \). Pero esto es esencialmente lo que has hecho y no quiere tu profesor.

Otro: \( Q(\sqrt{2}) \) es subcuerpo de \( \mathbb{C} \); en los complejos las únicas raíces de \( x^2+1 \) son \( i  \)y \( -i \), y éstas no pertencen a \( Q(\sqrt{2}) \) porque es un subcuerpo de los reales.

Citar
Para el (b)

b) \( Q\sqrt[ ]{2} \) y \( Q\sqrt[ ]{3} \)

Supongamos que existe un isomorfismo \( \phi : Q\sqrt[ ]{2} \longrightarrow{Q(\sqrt[ ]{3})} \)
Entonces tenemos que \( \phi(1)=1 \). Por lo tanto

\( 2=1+1=\phi(1) +\phi(1)=\phi(1+1) =\phi(2) =\phi(\sqrt[ ]{2}\sqrt[ ]{2}) =\phi(\sqrt[ ]{2}) \phi(\sqrt[ ]{2}) = (\phi(\sqrt[ ]{2}))^2  \)

\( \phi(\sqrt[ ]{2}) = \pm{\sqrt[ ]{2}} \)

Es decir \( \pm{\sqrt[ ]{2}} \not\in{Q\sqrt[ ]{3}} \) ¿Como demuestro esto?

Tienes que probar que en \( Q(\sqrt{3})) \) no hay ningún elemento \( x \) cumpliendo \( x^2=2. \) Si lo hubiese existirían \( p,q \) racionales tales que:

\( (p+q\sqrt{3})^2=2 \)

Equivalentemente:

\( (p^2+3q^2)+2pq\sqrt{3}=2 \)

Pero dado que \( \sqrt{3} \) es irracional se deduce que \( q=0 \) o \( p=0 \) y de ahí que \( p^2=2 \) ó \( 3q^2=2. \) Ambas cosas son imposibles si \( p \) y \( q \) son racionales.

Saludos.

08 Diciembre, 2017, 10:52 pm
Respuesta #2

cristianoceli

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Hola

Hola tengo dudas con esta demostración

Demuestre que los siguientes cuerpos no son isomorfismo

a) \( Q(i) \) y \( Q(\sqrt[ ]{2}) \)

b) \( Q\sqrt[ ]{2} \) y \( Q\sqrt[ ]{3} \)


Lo que he hecho:

a) \( Q(i) \) y \( Q(\sqrt[ ]{2}) \)

Supongamos que \( Q(i) \) y \( Q(\sqrt[ ]{2}) \) son isomorfos.
Entonces \( \phi : Q (i) \longrightarrow{Q (\sqrt[ ]{2})}  \).
Tenemos que:
\( \phi(1)=1 \Longrightarrow{-\phi(1)} =\phi(-1)=-1  \)

Luego:
\( (\phi(i))^2=\phi(i^2)=\phi(-1)=-1 \)

Debe haber un elemento \( x=\phi(i) \) en \( \phi(\sqrt[ ]{2}) \), con \( x^2=-1 \)

Esto no puede ser cierto ya que \( x^2\geq{0} \forall{x\in{Q(\sqrt[ ]{2}})} \)

Acá el profesor me dijo que buscara otro argumento sin usar orden y no el que di por ejemplo que \( x^2+1 \) es irreducible en Q\( \sqrt[ ]{2} \)

¿Que argumento puedo usar para no usar que \( x^2\geq{0} \forall{x\in{Q(\sqrt[ ]{2}})} \)

A mi me parece un detalle menor. La clave está en lo que apuntas, no existe en \( Q(\sqrt{2}) \) ningún elemento \( x \) verificando \( x^2+1=0 \). Esto es equivalente a que el polinomio \( x^2+1 \) sea irreducible. Esa equivalencia es inmediata.

¿El argumento concreto para concluir? Psss... Por ejemplo todo número en \( Q(\sqrt{2}) \) es real y todo número real al cuadrado es positivo: no puede ser \( -1 \). Pero esto es esencialmente lo que has hecho y no quiere tu profesor.

Otro: \( Q(\sqrt{2}) \) es subcuerpo de \( \mathbb{C} \); en los complejos las únicas raíces de \( x^2+1 \) son \( i  \)y \( -i \), y éstas no pertencen a \( Q(\sqrt{2}) \) porque es un subcuerpo de los reales.

Citar
Para el (b)

b) \( Q\sqrt[ ]{2} \) y \( Q\sqrt[ ]{3} \)

Supongamos que existe un isomorfismo \( \phi : Q\sqrt[ ]{2} \longrightarrow{Q(\sqrt[ ]{3})} \)
Entonces tenemos que \( \phi(1)=1 \). Por lo tanto

\( 2=1+1=\phi(1) +\phi(1)=\phi(1+1) =\phi(2) =\phi(\sqrt[ ]{2}\sqrt[ ]{2}) =\phi(\sqrt[ ]{2}) \phi(\sqrt[ ]{2}) = (\phi(\sqrt[ ]{2}))^2  \)

\( \phi(\sqrt[ ]{2}) = \pm{\sqrt[ ]{2}} \)

Es decir \( \pm{\sqrt[ ]{2}} \not\in{Q\sqrt[ ]{3}} \) ¿Como demuestro esto?

Tienes que probar que en \( Q(\sqrt{3})) \) no hay ningún elemento \( x \) cumpliendo \( x^2=2. \) Si lo hubiese existirían \( p,q \) racionales tales que:

\( (p+q\sqrt{3})^2=2 \)

Equivalentemente:

\( (p^2+3q^2)+2pq\sqrt{3}=2 \)

Pero dado que \( \sqrt{3} \) es irracional se deduce que \( q=0 \) o \( p=0 \) y de ahí que \( p^2=2 \) ó \( 3q^2=2. \) Ambas cosas son imposibles si \( p \) y \( q \) son racionales.

Saludos.


Entiendo me has sacado de mucha dudas.

Muchas gracias Luis Fuentes

Saludos