Hola
Hola tengo dudas con esta demostración
Demuestre que los siguientes cuerpos no son isomorfismo
a) \( Q(i) \) y \( Q(\sqrt[ ]{2}) \)
b) \( Q\sqrt[ ]{2} \) y \( Q\sqrt[ ]{3} \)
Lo que he hecho:
a) \( Q(i) \) y \( Q(\sqrt[ ]{2}) \)
Supongamos que \( Q(i) \) y \( Q(\sqrt[ ]{2}) \) son isomorfos.
Entonces \( \phi : Q (i) \longrightarrow{Q (\sqrt[ ]{2})} \).
Tenemos que:
\( \phi(1)=1 \Longrightarrow{-\phi(1)} =\phi(-1)=-1 \)
Luego:
\( (\phi(i))^2=\phi(i^2)=\phi(-1)=-1 \)
Debe haber un elemento \( x=\phi(i) \) en \( \phi(\sqrt[ ]{2}) \), con \( x^2=-1 \)
Esto no puede ser cierto ya que \( x^2\geq{0} \forall{x\in{Q(\sqrt[ ]{2}})} \)
Acá el profesor me dijo que buscara otro argumento sin usar orden y no el que di por ejemplo que \( x^2+1 \) es irreducible en Q\( \sqrt[ ]{2} \)
¿Que argumento puedo usar para no usar que \( x^2\geq{0} \forall{x\in{Q(\sqrt[ ]{2}})} \)
A mi me parece un detalle menor. La clave está en lo que apuntas, no existe en \( Q(\sqrt{2}) \) ningún elemento \( x \) verificando \( x^2+1=0 \). Esto es equivalente a que el polinomio \( x^2+1 \) sea irreducible. Esa equivalencia es inmediata.
¿El argumento concreto para concluir? Psss... Por ejemplo todo número en \( Q(\sqrt{2}) \) es real y todo número real al cuadrado es positivo: no puede ser \( -1 \). Pero esto es esencialmente lo que has hecho y no quiere tu profesor.
Otro: \( Q(\sqrt{2}) \) es subcuerpo de \( \mathbb{C} \); en los complejos las únicas raíces de \( x^2+1 \) son \( i \)y \( -i \), y éstas no pertencen a \( Q(\sqrt{2}) \) porque es un subcuerpo de los reales.
Para el (b)
b) \( Q\sqrt[ ]{2} \) y \( Q\sqrt[ ]{3} \)
Supongamos que existe un isomorfismo \( \phi : Q\sqrt[ ]{2} \longrightarrow{Q(\sqrt[ ]{3})} \)
Entonces tenemos que \( \phi(1)=1 \). Por lo tanto
\( 2=1+1=\phi(1) +\phi(1)=\phi(1+1) =\phi(2) =\phi(\sqrt[ ]{2}\sqrt[ ]{2}) =\phi(\sqrt[ ]{2}) \phi(\sqrt[ ]{2}) = (\phi(\sqrt[ ]{2}))^2 \)
\( \phi(\sqrt[ ]{2}) = \pm{\sqrt[ ]{2}} \)
Es decir \( \pm{\sqrt[ ]{2}} \not\in{Q\sqrt[ ]{3}} \) ¿Como demuestro esto?
Tienes que probar que en \( Q(\sqrt{3})) \) no hay ningún elemento \( x \) cumpliendo \( x^2=2. \) Si lo hubiese existirían \( p,q \) racionales tales que:
\( (p+q\sqrt{3})^2=2 \)
Equivalentemente:
\( (p^2+3q^2)+2pq\sqrt{3}=2 \)
Pero dado que \( \sqrt{3} \) es irracional se deduce que \( q=0 \) o \( p=0 \) y de ahí que \( p^2=2 \) ó \( 3q^2=2. \) Ambas cosas son imposibles si \( p \) y \( q \) son racionales.
Saludos.
