Hola, RDC.
Aunque también es cierto que es imposible representar cadenas de decimales con infintas cifras. Con lo cual a nivel práctico se pueden distinguir los diferentes irracionales mediante aproximaciones.
Diría aún más, teóricamente, no sólo en la práctica, tampoco existe el concepto de valor irracional, existe el concepto de valor límite de un irracional, que es siempre la aproximación a un racional.
Sin embargo, eso no quita que los números irracionales sean únicos. ¿Por qué? porque, entre otras cosas, si yo tomo una base cualquiera y formo una cadena de cifras a voleo, esa cadena es siempre un número único independientemente de la cantidad de cifras y de la cantidad de símbolos de la base (que ha de ser una cantidad finita, eso sí). Es así porque los números son variaciones de esos símbolos y no combinaciones. Si fueran combinaciones, cosas sin orden, la cadena no tendría unicidad, esto 213 sería lo mismo que esto 123 o que cualquier otra combinación. Si, encima, consideramos que todo número racional es periódico, dado que al menos existe la posibilidad de escribirlo con un periodo de ceros, la cantidad de números distintos que están representando en una misma combinación se hace infinita
123000...
1023000...
10023000...
y así entre infinitos números distintos más que se pueden formar, racionales o irracionales (si añadimos coma).
Pero con variaciones no ocurre, porque tienen orden, porque los números son unas cosas donde el orden es esencial, importa y mucho.
*Importante:
Hablé por ahí de monosímbolos y supongo que a estas alturas ya se entiende lo que quería decir, pero no lo expliqué explícitamente.
Un monosimbolo es un símbolo no compuesto. Es decir, el 12 (doce en base diez) por ejemplo, se compone de los símbolos individuales 1 y 2, los cuales, a su vez, también son números por sí mismos. En cambio, las palabras “uno”, “dos”, etc, son signos lingüisticos que también se componen de un número finito de símbolos, pero las letras sueltas “a”, “b”, “c”... no describen ningún número según nuestra interpretación corriente. Esto y la arbitrariedad de las palabras como composiciones sin patrón hace que las propias palabras sean también monosímbolos.
Las palabras del lenguaje natural, matemáticamente, son como monosímbolos, cada una es como el símbolo de una base, pero sin que nadie pueda precisar cuántos símbolos hay exactamente en el conjunto de las palabras.
Además, no hay ninguna regla objetiva para formar palabras con las letras; decimos “ocho” como podríamos decir otra palabra. Total, que son variaciones aleatorias de símbolos, su significado está en nuestras cabezas, no en el sistema, como sí ocurre con los números (los hemos inventado también, pero es distinto, tienen unas reglas precisas).
O sea, en base diez yo no puedo decir que esto, 10, representa siete unidades, porque hemos inventado unas reglas previas que nos lo impiden. Sin embargo, si alguien se llama Antonio, nada me impide llamarle Toño o usar una palabra (quizá sicalípitca) que conlleve el significado de otra cosa (si le pusieron ese mote en el colegio, por caso).
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Con esto, aunque le dé pena a los amantes de inventar paradojas matemáticas con palabras (que entiendo que puede ser divertido) las paradojas matematicolingüísticas se pueden ir tirando a la basura. No sirven, pues las palabras son monosímbolos sin ley, garabatos aleatorios.
Ejemplo con la paradoja de Berry.
«El menor entero positivo que no se puede definir con menos de quince palabras»
Una pregunta antes de describir la paradoja: ¿en qué base está escrito quince?
Si digo que en base dieciséis, por ejemplo, tenemos que quince es el número “f” tal que:
0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,a,b,c,d,e,f,10
*(No digo “es f” como quien dice “es el número filibartio”, sino que, acto seguido, añado “tal que” y muestro qué significado matemático tiene según una relación de orden con los otros símbolos de la base).
Y así se define con un sólo símbolo de la base en vez de con dos: quince es “f” (y podríamos elegir igualmente base diecisiete u otras mayores y quince vendría dado siempre por un símbolo de la base; que siempre son monosímbolos).
Entonces, como quince tiene dos cifras según entiende por defecto todo el mundo, resulta que para mí no está en el conjunto de los números de dos cifras, porque sólo tiene una. De hecho, hay muchas más bases en las que quince es un número de una sola cifra, infinitas más. La paradoja Terri-Ble, superinconsistente; da miedo, de hecho he gomitado por la angustia que se ha apoderado de mí.
Cuando no se define la existencia, la unicidad y todo lo que sea necesario, cualquier cosa resulta una paradoja.
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El valor es lo menos importante de los números, decir “quince” no significa nada, lo que importa es el orden de los símbolos y los lugares en que se colocan. El valor es importante en la vida real, en cosas de física, en asuntos económicos... pero en los números no tanto.
Si hablamos de puntos, que valen todos lo mismo, el valor no importa nada en principio. Y la cuestión del continuo es una cuestión de números asociados a puntos; hay más números que valores si ambas cosas se consideran al mismo tiempo.
El concepto “cantidad” sólo tiene sentido asociado a valores finitos. Cuando no existe valor, como ocurre con la medida de un punto, las cantidades distintas de puntos continuos siguen midiendo lo mismo, luego no son “cantidades”. Y ahí nos viene bien usar otra palabra, “cardinal” de puntos, los cuales van asociados a números distintos; por tanto, hablaremos de cardinal de números. Cuando el cardinal de puntos es infinito, entendemos que un segmento cobra o puede cobrar dimensión, puede medir algo distinto de cero. Es porque la matemática analítica, con puntos expresados con coordenadas, nos obliga a considerarlo así.
Tantos puntos \( (x,0) \) tiene la base de un triángulo como puntos \( (x,y) \) tiene la hipotenusa; pero es imposible que midan lo mismo. No existe número real distinto de cero que haga que puedan medir igual base e hipotenusa; entre otras cosas, porque el coseno del ángulo opuesto a la altura no puede venir dado por la razón 0/0. Si otorgáramos el mismo valor a los dos ceros, el coseno siempre sería 1 independientemente del ángulo, y a hacer puñetas la trigonometría.
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Así, no nos queda más remedio que usar el infinito para justificar que una suma de ceros llegue a medir algo de alguna manera; y a cada “cero” se le puede asignar un número distinto. Un punto aparece en el horizonte donde no había nada, cero. Se acerca, se hace más grande; es cero y no cero, porque sigue siendo el mismo objeto según se considere. Cuando pasa por encima de nosotros resulta que era un “punto” de Iberia. Era y sigue siendo un punto, según quién lo observe. Pero saber si ese “proceso visual” ha sido “continuo”, o no, es mucho más difícil de saber. Es más, ahora me pregunto que qué quiere decir continuo; y no lo sé.
Saludos.
