[feriva]

Buenos días, RDC.

Termino de contestar.

Vale, y qué son para ti los números?

Pues ya lo dije ayer más o menos por encima, pero me centro más;  primero en qué son los números naturales.

Los números naturales no sólo tienen un buen orden, sino que, si hablamos de todo el conjunto, entonces se pueden ordenar de manera que la diferencia entre dos elementos consecutivos es de un elemento; y voy a explicar por qué esto me parece muy importante.

Si consideramos los números combinatorios de “m” elementos tomados de “n” en “n” para “m” finito y n=1,2,3,4,...k, con k también finito, éstos no cumplen esa condición; no sólo no los podemos ordenar de manera que la diferencia respecto del siguiente sea 1, sino que no los podemos ordenar de manera que la diferencia entre ellos sea un valor constante.

Sí tienen un buen orden, hay mínimo y, como valores, se considera que es subconjunto de los naturales (no le veo problema en principio, pero depende de cómo se use este hecho).

Si, además, no prestáramos atención al orden y consideramos un cardinal infinito de combinaciones, aparece un carácter “aleatorio” en la cuestión.

Supongamos que tenemos “n” cajas vacías en fila. La primera la dejamos vacía, en la segunda metemos una bola, en la tercera dos... hasta que metemos las “n” bolas. Éste sí es un verdadero conjunto de naturales, en el sentido de que cumple una propiedad que cumple el conjunto de todos los naturales. El conjunto de todos los naturales implica que todos sus elementos se puedan ordenar así, con una diferencia constante de elementos entre ellos, donde esa diferencia es 1. Si no fuera de esta manera, aunque la cantidad de números distintos fuera infinita, no sería el conjunto de todos los naturales.

Y ese axioma, que a mí me parece muy importante, creo que falta en la teoría de conjuntos o, si no falta, es que está enlatado por ahí; y no sé verlo o no lo conozco.

...

Con esa idea poco me importa la “angustia” de no poder llegar al “infinito”; el conjunto de todos los naturales es el que tiene esa propiedad y cuyo cardinal, además, es infinito, no es un conjunto infinito numerable cualquiera, no todos cumplen esa propiedad.

Así, el conjunto de todos los números combinatorios no puede ser nunca el conjunto de todos los naturales, independientemente de su cardinal.

...

Ahora consideremos un conjunto de combinaciones de “1,2,..,n” monedas, para tirar dichas combinaciones al aire y dejarlas caer al azar sobre las cajas (recordemos que hay n-1 cajas, porque una está vacía). Podemos elegir que “n” sea lo suficientemente grande como para que la probabilidad de que, al menos, caiga una moneda en cada caja sea 1 (probabilidad 1). No necesitamos pensar en un “n” infinito, basta con que sea quizá infinito (no decimos que no haga falta que sea infinito o no, pero lo imaginamos finito muy grande).

Entonces sacamos las monedas y las metemos en otras cajas. Hay la misma cantidad de cajas, unas con bolas y otras con monedas, pero en el conjunto de las cajas de monedas no existe la caja vacía.

Las cajas de monedas no sólo no se pueden ordenar de manera que la diferencia en elementos sea constante sino que, además, el elemento definido como mínimo de los naturales no pertenece al conjunto.

La única diferencia entre el conjunto de todas las cajas de bolas y todos los naturales es que las cajas tienen un máximo; la única esencial. En cambio, el conjunto de las cajas de monedas es distinto en esencia, es otra cosa.

Ambos conjuntos son finitos; pero ahora nos podemos preguntar si el conjunto de las cajas de monedas guarda el mismo “isomorfismo” respecto de todos los reales análogamente a como lo guarda el conjunto de las cajas de bolas respecto del conjunto de todos los naturales. ¿Simplemente es que tiene máximo y nada más?

No, el conjunto de las cajas de monedas no es tan parecido a los reales como el de las cajas de bolas respecto de los naturales. Para empezar, no es un conjunto denso y, para seguir, se puede contar.

Cuando el cardinal de las cajas de bolas sea infinito, el cardinal de las cajas de monedas será igual al cardinal de los reales (lo sabemos por la tabla de los números binarios) pero eso no es el conjunto de los reales, el conjunto de los reales está conectado al de las naturales de otra manera.

Esto se puede sintetizar así: los naturales se pueden contar, pero no todo lo que se puede contar son números naturales (como los racionales) a veces no son ni números, son simples símbolos aleatorios.

¿Qué son los números para mí?

Los números para mí son ingenios de la mente humana que se crean a partir de unas reglas, de un sistema, no son meros conjuntos con cosas distintas y ya está.

Tampoco son meras razones aritméticas, 1/n o cosas así, las razones aritméticas no tienen cardinal ni valor en sí mismas, son comparaciones entre valores. Una persona puede pesar el doble de kilos que otra; ¿se puede definir a una persona como “el doble de kilos”? “Oiga, venga usté pacá, Doble de kilos”.

Construir los naturales o los reales sin atender a los sistemas numéricos es como pensar que los números son independientes de nosotros y están “ahí” de alguna manera como piezas de la naturaleza, piezas ajenas a nuestra mirada. Con esta forma de definir y axiomatizar los números (obviando sistemas numéricos) éstos, se ven como si no dependieran de nuestros razonamientos; con lo que se teme que den “sorpresas” al no depender de nuestra mente.

Y eso puede pasar y pasa con la física, pero los números no son cosas que puedan decidir por sí mismas; la matemática no tiene capacidad de ser consistente o no consistente por sí misma, no tiene libre albedrío ni vida ni nada, es lo que nosotros digamos que es. Si algo está mal y no funciona, es porque nosotros no hemos definido bien lo que sea o nos hemos equivocado al calcular algo; no hay más, los números no son bichos.

Todo es decidible por nosotros mismos, todo en la vida; otra cosa es que una decisión, al final, resulta mala o buena o neutra. Ese “no decidible” al final se traduce en que hay cosas que no podemos llegar a saber o a entender. El que cree que el ser humano será capaz de saberlo todo algún día dice “no es decidible (todavía)”; y el que cree que no, simplemente dice que no se puede entender todo (ni saber todo) que es algo consustancial al ser humano. Y lo acepta y ya está.

...

¿Que son los números? Por ejemplo, 0,1 ó, por ejemplo, 0,1,2 ó 0,1,2,3. Esos son los números, “Hay más”. Bien, y qué hacemos, ¿seguir poniendo símbolos aleatorios para identificarlos? ¿Algo así 0,1,2,3 , a, x? Así no vamos a ninguna parte, eso son cosas, no números.

Mejor nos quedamos con alguna cantidad de ellos. Con éstos, por ejemplo, 0,1,2. Y después vamos formando más con una sencilla regla:

0,1,2,10, 11,12,20,21,22, 100,101, 102, 110, 111, 112, 120, 121, 122, 200, 201, 202, 210, 211, 212, 220, 221, 222, 1000...

Ahora, veamos los menores que la unidad y distintos de cero; en principio tenemos un grupo que son esos mismos con un cero y la coma:

0,1; 0,2; 0,10; 0,11; 0,12; 0,20...

y después vamos metiendo más ceros a la izquierda

0,01; 0,02; 0,010; 0,011; 0,012; 00,20...

0,001; 0,002; 0,0010; 0,0011; 0,0012; 0,0020...

etc.

Y ahí están proyectados todos los reales, racionales e irracionales (y se les puede añadir colas de infinitos ceros, para que tengan todos el único cardinal de cifras posibles, no cambian en valor, son los mismos).

Búscame algún real que no esté; si no está, será culpa de que me he olvidado de algo, de un error humano a la hora de definir, no de ninguna inconsistencia con la que los “pérfidos” reales hayan tratado de engañarme.

Saludos.

[RDC]

Hola feriva, gracias por ir aclarando tu postura.

Hola, RDC, sigo.


Claro que se pueden identificar, no es lo mismo que numerar.

Pues no lo tengo muy claro, porque enumerar es identificar elementos mediante los naturales. otra cosa es que modamos identificar elementos mediante los reales. Ciertamente no sería una identificación numerable.

Evidentemente, si piensas en identificar “todos” uno a uno, pues evidente que así nunca tenemos todos. Pero se trata de una idea sencillísima: si todos los elementos de un conjunto son distintos por definición (los que no son distintos son representantes de un mismo elemento) entonces se pueden identificar todos con un símbolo distinto. Porque se puede construir un sistema numérico tal que sea capaz de eso sin ambigüedades.

Ok, vale

Cuando estuve en la UNED me distraía del temario para ponerme a pensar en cosas básicas de números. Una de ellas fue precisamente en el tema de las bases.

El sistema decimal tiene diez símbolos distintos, 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9, es decir, una cantidad finita ellos; y mucho menor que la de muchos valores finitos que puede representar, donde la cantidad de valores finitos es infinita. Esto último no es paradójico, porque la forma de construir los números es cíclica, digamos, es un sistema que queda definido para identificar todos los valores que puedan considerarse.

Toda base de más de un símbolo lleva al cero como tal; es obligatorio, es clave en la invención del sistema numérico.

Si, por ejemplo, pensamos en base 11, tendremos 11 símbolos distintos, digamos 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A, y la idea en cuanto a la construcción es exactamente la misma:

0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,10,11...19,1A,...etc...99,9A, A0, A1,A2..., AA, 100, 101...

Cuando se acaban los símbolos de la base, en este caso con A, aparece la necesidad de formar un número de dos símbolos y, como el cero a la izquierda no tiene valor, lo hacemos empezando por el siguiente más pequeño posible, 1, y ya detrás si puede ir el más pequeño, el cero. Este número, 10, coincidirá siempre con el cardinal de símbolos de la base; en este caso, entonces, once se escribe 10 (ó, mejor para el tema éste, 10,000..., con infinitos ceros, como ya dije. Con infinitas cifras; donde “cifras” no es lo mismo que símbolos de la base).

Y así se sigue hasta que aparecen los de cuatro cifras, cinco... sin que esto tenga un límite. Pero no importa que no tenga límite, el sistema numérico está inventado para que cualquier número quede correspondido con un símbolo expresado en una base numérica. Ahí están todos los números que puedan existir (cuando necesitemos coma, con coma). Está es la idea, comprendemos cómo lo hacemos y sabemos, seguro, que todo número real se corresponderá con sólo uno de estos símbolos compuestos ( compuestos con una cantidad finita de símbolos individuales) porque la construcción del sistema sí está terminada; no es un sistema a medio inventar.

Y ahora viene la diferencia entre comprensión (como la que supone entender un sistema numérico de estas características) y extensión.

Si, por el contrario, a los números reales les asignamos garabatos distintos sin más ley que ésa, la de que sean garabatos distintos para cada número distinto, entonces sí que surge un problema; porque es equivalente a una base de infinitos símbolos distintos.

Fíjate en que en el sistema numérico cíclico de finitos símbolos, ya están todos concebidos, todos los números, aunque no hayan “llegado”, porque la cantidad de símbolos si ha llegado, al ser finita, y con ello ya están “ahí” todos los símbolos necesarios y las reglas para la construcción de cada número.

Además, esos símbolos de la base representan siempre números naturales: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C...10... una cantidad finita de números naturales.

No importa que la cantidad de números sea infinita, los números escritos en una base de símbolos finita siempre representaran valores finitos gracias a la coma y los ceros añadidos donde corresponda; no hay problema, el que quiera que lo analice por sí mismo; es claro.

En cambio, con infinitos garabatos aleatorios que no dependen de ninguna construcción, ocurre que, si hay infinitos, nunca están todos; porque como la cantidad de símbolos es infinita, siempre hay algunos (infinitos, de hecho) que no aparecen, y encima dejan de aparecer números naturales, no sólo reales en general. El sistema es incompleto por falta de definición.

No estoy de acuero. ¿no te fijas demasiado en los símbolos? Me explico:

el símbolo 1 y el símbolo 11 son dos símbolos completamente diferentes. Que para construir el segundo se use una repetición del primero, es cierto, pero estamos ante 2 símbolos completamente diferentes.

Que la construcción de símbolos no sea aleatoria y siga unas leyes constructivas nos permite tratar el "contar" de forma puramente mecánica, como un simple juego de símbolos. Y funciona sin ni que pensemos!! Si los números los representaramos mediante trazos o símbolos aleatorios no sería posible hacer operaciones complejas como multiplicaciones de más de dos cifras, por ejemplo. Deberíamos memorizar cada suma o multiplicación, una a una. Es decir, una vez sumado el símbolo A con el B, que nos da el C deberíamos memorizarlo, como memorizamos la tabla de multiplicar. Y así cada vez. Pero no crearíamos números diferentes.

Por tanto, entiendo que un abecedario de símbolos aleatorios que no se repiten se puede poner en biyección con los naturales, con los reales o con lo que quieras contar. ¿no?

Con un sistema númerico en una base finita, no están todos escritos, pero sí están todos concebidos; es decir, cuando necesitemos escribirlos, podremos hacerlo, porque conocemos unas reglas bien definidas para hacerlo. Y de la otra manera sólo podemos inventar un nuevo garabato aleatorio; con lo que será un “sistema” (una falta de sistema, mejor dicho) con el cual no se podrán sacar conclusiones matemáticas rigurosas (como mucho serán conclusiones filosóficas, donde todo puede ser cualquier cosa a gusto del pensador).

No lo veo igual. Si tenemos que se definen los naturales como dada la unidad, la suma de la unidad por ella misma da un natural. Y si sumamos de nuevo la unidad a este natural da otro natural mayor. ¿Qué pinta aquí si los símbolos con que representemos la unidad y cualquier natural responde a un procedimiento mecánico o sea aleatorio?

No lo veo.

Es que con eso no se pueden ni representar los naturales.
Para escribir los naturales sin considerar los reales, basta base 1 (con cualquier símbolo vale, sólo necesitamos uno): 0=0; 1=00; 2=000...

¿Hay algún natural que no esté concebido ahí? No, porque sólo hay un símbolo, no están todos escritos, pero están todos entendidos por comprensión.

Ahora bien, si queremos considerar reales (que incluyen a los naturales) necesitamos dos símbolos y la coma, y, con ello, un sistema algo más elabarado; ése de un solo símbolo no sirve tampoco.

No estoy de acuerdo. Me parece que sí podemos representarlo. Imagina un real $$r$$, que pertenece al intervalo [0,1]

en base 10 $$r=0,7$$. Pues en base 1, respecto a base 10, tenemos que:

0=0
1=00
2=000
3=0000
...
7=00000000

Por tanto en base 1 tenemos que $$r=0,00000000$$

si $$r=0,14$$ en base 10, entonces en base 1 será $$r=0,000000000000000$$

no le veo problema, pues.

Saludos

[RDC]

La hipótesis del continuo es muy interesante, pero, para mí, etiquetar los números con infinitos monosímbolos todos distintos es un error, da lugar a paradojas; supone usar una base infinita de símbolos sin que muchos matemáticos, quizá, se haya percatado (tú mismo me lo sugeriste sin darte cuenta, después lo explico).

Quién ha hecho eso?

Tú (sin saber lo que hacías) aquí:

https://foro.rinconmatematico.com/index.php?topic=127079.msg522620#msg522620

Mi contestación aquí:

https://foro.rinconmatematico.com/index.php?topic=127079.msg522625#msg522625

Saludos.

Sí, de eso me acordaba. Pero no entiendo esa conclusión que sacas de esto. La puedes detallar un poco? gracias

[RDC]

Buenos días, RDC.

Termino de contestar.

Vale, y qué son para ti los números?

Pues ya lo dije ayer más o menos por encima, pero me centro más;  primero en qué son los números naturales.

Los números naturales no sólo tienen un buen orden, sino que, si hablamos de todo el conjunto, entonces se pueden ordenar de manera que la diferencia entre dos elementos consecutivos es de un elemento; y voy a explicar por qué esto me parece muy importante.

Si consideramos los números combinatorios de “m” elementos tomados de “n” en “n” para “m” finito y n=1,2,3,4,...k, con k también finito, éstos no cumplen esa condición; no sólo no los podemos ordenar de manera que la diferencia respecto del siguiente sea 1, sino que no los podemos ordenar de manera que la diferencia entre ellos sea un valor constante.

Sí tienen un buen orden, hay mínimo y, como valores, se considera que es subconjunto de los naturales (no le veo problema en principio, pero depende de cómo se use este hecho).

Si, además, no prestáramos atención al orden y consideramos un cardinal infinito de combinaciones, aparece un carácter “aleatorio” en la cuestión.

Supongamos que tenemos “n” cajas vacías en fila. La primera la dejamos vacía, en la segunda metemos una bola, en la tercera dos... hasta que metemos las “n” bolas. Éste sí es un verdadero conjunto de naturales, en el sentido de que cumple una propiedad que cumple el conjunto de todos los naturales. El conjunto de todos los naturales implica que todos sus elementos se puedan ordenar así, con una diferencia constante de elementos entre ellos, donde esa diferencia es 1. Si no fuera de esta manera, aunque la cantidad de números distintos fuera infinita, no sería el conjunto de todos los naturales.

Y ese axioma, que a mí me parece muy importante, creo que falta en la teoría de conjuntos o, si no falta, es que está enlatado por ahí; y no sé verlo o no lo conozco.

...

Con esa idea poco me importa la “angustia” de no poder llegar al “infinito”; el conjunto de todos los naturales es el que tiene esa propiedad y cuyo cardinal, además, es infinito, no es un conjunto infinito numerable cualquiera, no todos cumplen esa propiedad.

Así, el conjunto de todos los números combinatorios no puede ser nunca el conjunto de todos los naturales, independientemente de su cardinal.

...

Ahora consideremos un conjunto de combinaciones de “1,2,..,n” monedas, para tirar dichas combinaciones al aire y dejarlas caer al azar sobre las cajas (recordemos que hay n-1 cajas, porque una está vacía). Podemos elegir que “n” sea lo suficientemente grande como para que la probabilidad de que, al menos, caiga una moneda en cada caja sea 1 (probabilidad 1). No necesitamos pensar en un “n” infinito, basta con que sea quizá infinito (no decimos que no haga falta que sea infinito o no, pero lo imaginamos finito muy grande).

Entonces sacamos las monedas y las metemos en otras cajas. Hay la misma cantidad de cajas, unas con bolas y otras con monedas, pero en el conjunto de las cajas de monedas no existe la caja vacía.

Las cajas de monedas no sólo no se pueden ordenar de manera que la diferencia en elementos sea constante sino que, además, el elemento definido como mínimo de los naturales no pertenece al conjunto.

La única diferencia entre el conjunto de todas las cajas de bolas y todos los naturales es que las cajas tienen un máximo; la única esencial. En cambio, el conjunto de las cajas de monedas es distinto en esencia, es otra cosa.

Ambos conjuntos son finitos; pero ahora nos podemos preguntar si el conjunto de las cajas de monedas guarda el mismo “isomorfismo” respecto de todos los reales análogamente a como lo guarda el conjunto de las cajas de bolas respecto del conjunto de todos los naturales. ¿Simplemente es que tiene máximo y nada más?

No, el conjunto de las cajas de monedas no es tan parecido a los reales como el de las cajas de bolas respecto de los naturales. Para empezar, no es un conjunto denso y, para seguir, se puede contar.

Cuando el cardinal de las cajas de bolas sea infinito, el cardinal de las cajas de monedas será igual al cardinal de los reales (lo sabemos por la tabla de los números binarios) pero eso no es el conjunto de los reales, el conjunto de los reales está conectado al de las naturales de otra manera.

Esto se puede sintetizar así: los naturales se pueden contar, pero no todo lo que se puede contar son números naturales (como los racionales) a veces no son ni números, son simples símbolos aleatorios.

no me ha quedado muy claro el ejemplo. A ver si lo he entendido bien:

1) tomamos una hilera de cajas vacías.

2) La primera caja la dejamos vacía, la segunda ponemos una pelota, a la tercera 2 pelotas, etc. De modo que la hilera de de cajas con pelotas es una representación física de un subconjunto finito de naturales. Pues hay una última caja "n".

3) Tiramos un montón de monedas sobre las cajas de manera que sobre cada caja, como mínimo, cae una moneda (esto no lo tengo muy claro si es así). Si es así, está claro que habrá cajas con 1 moneda encima y otras con "m" monedas encima.

4)  Entonces ponemos las monedas dentro de las cajas. De modo que toda caja tendrá, como minimo una moneda.

5) Obviamente con pelotas las cajas representan un subconjunto de naturales. Pero con monedas las cajas representan un conjunto de valores aleatorios.

6) Luego dices que si pasamos el número de cajas a infinito, entonces tendremos que las cajas con pelotas serán numerables, pero las mismas cajas con monedas serán no numerables.

No estoy de acuerdo con el punto 6. Primero, porque muchas cajas, por pura probabilidad, pueden tener las mismas monedas en la misma posición. Por ejemplo, pueden haber varias cajas con una única moneda en cara. Pero es más, si el número de cajas es numerable, por las bolas que tiene, entonces están en biyección con las propias monedas que contienen. Por tanto, deben ser también numerables.

es como tener la secuencia de todos los naturales $$w=\left\{{0,1,2,3,4,5,6,...}\right\}$$ y luego una secuencia de infinitos tiros de una moneda $$m=\left\{{+,+,+,-,-,+,+,+,+,-,-,+,-,-,-,-,...}\right\}$$.

Dado que son dos secuencias ambas se pueden biyectar, de modo que la secuencia aleatoria es numerable, y además, del mismo orden que los naturales. Es decir, se puede determinar si en la posición $$n$$ de la secuencia aleatoria ha salido cara o cruz.

Ahora bien, el conjunto de todas la secuencias aleatorias numerables posibles es no numerable. Tiene el cardinal de los reales. ¿significa eso que los reales son aleatorios? Así, directamente, diría que no, pero la insinuación es fuerte. Sin embargo sería ir al trabajo de Chaitin.

¿Qué son los números para mí?

Los números para mí son ingenios de la mente humana que se crean a partir de unas reglas, de un sistema, no son meros conjuntos con cosas distintas y ya está.

A mí parecer los números implican contar (medir, ordenar o jerarquizar, calcular, etc). Todo lo que sea contar, tome la forma y la simbologia que tome, actúa como un número y por tanto, cabe tomarlo como un número.

Por eso, la teoría de conjuntos va de números nuevos, pues se establece un nuevo procedimiento para contar y medir, diferente al tradicional, que se basaba en el contar "uno a uno". Ahora se introduce la idea de biyectar conjuntos para contar, y con ello obtenemos los transfinitos.

Y si creas  nuevos  procedimeintos para contar o organizar hallarás, seguramente, nuevos números. ¿No?

Saludos

[feriva]

no me ha quedado muy claro el ejemplo. A ver si lo he entendido bien:

En la última frase mezclo dos cosas diferentes, se me ha ido la olla. Estoy hablando de números combinatorios, de la cantidad de combinaciones por separado (de un 1 elemento, de 2... etc). Y lo mezclo (por despiste) para hablar del cardinal de los reales, que no tiene que ver, es la suma de todas las combinaciones, no son muchos números, es una cantidad nada más, un cardinal.

Lo importante de ahí es, simplemente, que si tú tomas un conjunto de n= 4 ó lo que sea, la cantidad de combinaciones que puedes hacer tomando de 1 en 1, 2 en 2, 3 en 3, y 4 en 4 elementos, da cantidades (valores) que puedes ordenar de menor a mayor, pero no de manera que la diferencia entre ellos sea 1. Si la cantidad de elementos fuera infinita en vez de 4, eso seguiría pasando, no podrías ordenar esas cantidades de manera que la distancia entre todos los valores fuera 1 ni ningún número constante (son los valores del triángulo de Pascal).

En cambio, el conjunto de todos los naturales, sí que es 1, 1+1, 1+1+1... tiene esa propiedad, se puede ordenar de manera que aumente en 1 cada número, porque, si no, no estarían todos, aunque hubiera infinitos distintos.

Cualquier conjunto de infinitos naturales distintos no es necesariamente el conjunto de todos los naturales, eso es lo importante; y es por esa razón.

Lo de dejar caer esos número combinatorios en las cajas pensé que podría tener interés, pero no lo tiene. Sólo es eso, la cantidad de valores asociados a las combinaciones son muchos mas y, por probabilidad, no dejarían ninguna caja vacía. Pero no sirve para nada (me pareció que sí, ahora me parece que no).

Luego sigo con lo otro.

Saludos.

[RDC]

Hola feriva

no me ha quedado muy claro el ejemplo. A ver si lo he entendido bien:

En la última frase mezclo dos cosas diferentes, se me ha ido la olla. Estoy hablando de números combinatorios, de la cantidad de combinaciones por separado (de un 1 elemento, de 2... etc). Y lo mezclo (por despiste) para hablar del cardinal de los reales, que no tiene que ver, es la suma de todas las combinaciones, no son muchos números, es una cantidad nada más, un cardinal.

Lo importante de ahí es, simplemente, que si tú tomas un conjunto de n= 4 ó lo que sea, la cantidad de combinaciones que puedes hacer tomando de 1 en 1, 2 en 2, 3 en 3, y 4 en 4 elementos, da cantidades (valores) que puedes ordenar de menor a mayor, pero no de manera que la diferencia entre ellos sea 1. Si la cantidad de elementos fuera infinita en vez de 4, eso seguiría pasando, no podrías ordenar esas cantidades de manera que la distancia entre todos los valores fuera 1 ni ningún número constante (son los valores del triángulo de Pascal).

En cambio, el conjunto de todos los naturales, sí que es 1, 1+1, 1+1+1... tiene esa propiedad, se puede ordenar de manera que aumente en 1 cada número, porque, si no, no estarían todos, aunque hubiera infinitos distintos.

Cualquier conjunto de infinitos naturales distintos no es necesariamente el conjunto de todos los naturales, eso es lo importante; y es por esa razón.

Lo de dejar caer esos número combinatorios en las cajas pensé que podría tener interés, pero no lo tiene. Sólo es eso, la cantidad de valores asociados a las combinaciones son muchos mas y, por probabilidad, no dejarían ninguna caja vacía. Pero no sirve para nada (me pareció que sí, ahora me parece que no).

Luego sigo con lo otro.

Saludos.

Vale, esto que marco en azul me parece obvio. El conjunto de todos los primos no es el conjunto de todos los naturales. pero ambos conjuntos tienen el mismo cardinal porque se puden biyectar. ¿Es eso?

[feriva]

Hola feriva

no me ha quedado muy claro el ejemplo. A ver si lo he entendido bien:

En la última frase mezclo dos cosas diferentes, se me ha ido la olla. Estoy hablando de números combinatorios, de la cantidad de combinaciones por separado (de un 1 elemento, de 2... etc). Y lo mezclo (por despiste) para hablar del cardinal de los reales, que no tiene que ver, es la suma de todas las combinaciones, no son muchos números, es una cantidad nada más, un cardinal.

Lo importante de ahí es, simplemente, que si tú tomas un conjunto de n= 4 ó lo que sea, la cantidad de combinaciones que puedes hacer tomando de 1 en 1, 2 en 2, 3 en 3, y 4 en 4 elementos, da cantidades (valores) que puedes ordenar de menor a mayor, pero no de manera que la diferencia entre ellos sea 1. Si la cantidad de elementos fuera infinita en vez de 4, eso seguiría pasando, no podrías ordenar esas cantidades de manera que la distancia entre todos los valores fuera 1 ni ningún número constante (son los valores del triángulo de Pascal).

En cambio, el conjunto de todos los naturales, sí que es 1, 1+1, 1+1+1... tiene esa propiedad, se puede ordenar de manera que aumente en 1 cada número, porque, si no, no estarían todos, aunque hubiera infinitos distintos.

Cualquier conjunto de infinitos naturales distintos no es necesariamente el conjunto de todos los naturales, eso es lo importante; y es por esa razón.

Lo de dejar caer esos número combinatorios en las cajas pensé que podría tener interés, pero no lo tiene. Sólo es eso, la cantidad de valores asociados a las combinaciones son muchos mas y, por probabilidad, no dejarían ninguna caja vacía. Pero no sirve para nada (me pareció que sí, ahora me parece que no).

Luego sigo con lo otro.

Saludos.

Vale, esto que marco en azul me parece obvio. El conjunto de todos los primos no es el conjunto de todos los naturales. pero ambos conjuntos tienen el mismo cardinal porque se puden biyectar. ¿Es eso?

Sí, es eso, pero en ese caso no es grave.
Y, aunque sea obvio, ¿cómo seguras la unicidad del conjunto de todos los naturales sin eso? Por que si hay muchos infinitos conjuntos de naturales, habrá que decir que es único por alguna razón; y ésa vale. Que sea obvio, no quiere decir que sea inútil.

Voy a intentar esbozarlo en general (aunque se me da mal, prefiero los ejemplos).

Sean \( 0,a_{1},a_{2},..,a_{n} \) los símbolos de una base.

Los números se construyen así:

Los primeros son los de la base, sólo pueden ocupar una cifra:

\( 0,a_{1},a_{2},..,a_{n} \)

los siguientes ocupan dos cifras y se forman así: con \( a_{1} \) como primera cifra (decenas, si es base diez) porque el cero a la izquierda no vale nada (estamos definiendo primeramente los naturales).

Ahora, la cifra de las unidades recorre todos los símbolos mientras la “decena”, \( a_{1} \), queda fija; o sea, tenemos los números

\( a_{1}0;a_{1}a_{2};..;a_{1}a_{n} \)

Una vez que la cifra de la unidades llega a \( a_{n} \), pasa a ser cero otra vez (es cíclico) mientras las “decenas” pasan a valer el siguiente símbolo \( a_{2} \); y ahora vuelven a empezar su ciclo las unidades.

Pongo otro ejemplo, los naturales de cuatro cifras en base 2

\( 1_{1}{\color{magenta}0_{1}}{\color{blue}0_{1}}{\color{green}0_{1}} \), \( 1_{1}{\color{magenta}0_{1}}{\color{blue}0_{1}}{\color{green}1_{1}} \), \( 1_{1}{\color{magenta}0_{1}}{\color{blue}1_{1}}{\color{green}0_{2}} \), \( 1_{1}{\color{magenta}0_{1}}{\color{blue}1_{1}}{\color{green}1_{2}} \), \( 1_{1}{\color{magenta}1_{1}}{\color{blue}0_{2}}{\color{green}0_{3}} \)...

Con los subíndices marco el cambio de los ciclos (no sé si me habré equivocado en alguno)

No hace falta pensar en el valor de los números, sólo en el orden de los símbolos de menor a mayor y en el orden de los lugares; entre símbolos y lugares se van pasando la “bola” del valor.

Ahora, todos ésos naturales pueden hacer de parte entera y de parte decimal detrás de la coma. Y para los menores que la unidad y mayores que cero, como he dicho antes, metiendo ceros se obtienen todos. (y los negativos son los mismos con signo menos).

Que se puedan construir así no implica que sean numerables, simplemente indica que tenemos un ingenioso sistema para escribir los reales que necesitemos escribir. Aunque de tanto verlo nos parece una trivialidad, no lo es. Si se analiza, es toda una maquinaria de infinitos engranajes bien ordenados; y al tomar bases más grandes, de más símbolos, se multiplican los engranajes.

En mi opinión, comprarlos con los “números” vistos como conjuntos de objetos que carecen de estructura es como comparar una fuga de J.S Bach con un rap.

Los números no pintan nada en los conjuntos ésos, cuando ves esto {1,2,3,4} es lo mismo que esto {0,0,0,0}; el número es el cardinal “cuatro”, con letras, un monosímbolo o una idea aislada en unas llaves, no hace función de cifra ni de nada, es un nombre. También se podría elegir que el 4 fuera el símbolo del número 12585940 en base decimal, si hablamos de conjuntos no ocurre nada, el caso es que a cada número se le asigne un símbolo distinto.

Y eso nos lleva directamente a que, como sistema, equivalga a una base de infinitos números naturales; que así nunca pueden estar todos, cada vez que se quiere escribir un número que no se ha escrito nunca hay que inventar un símbolo arbitrario. En una base numérica no hay que inventar nada, los símbolos existen previamente y las reglas para escribirlos también.

Claro, imagina, 1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F,G,H,I,J,K,L...

Como todos los símbolos son distintos, sólo existen los números de una cifra; ¿cuál es el siguiente? Lo que quieras inventarte, una carita así o así u otro emoji, una mierda con ojos misma, el caso es que sea nuevo.

¿Se pueden biyectar con los naturales? Pues... sí, pero no están todos; y no hace falta llegar al infinito para que no estén todos, a cada paso te tienes que inventar algo.

Y el que no se puedan escribir del todo es lo de menos; esto tampoco se puede escribir del todo 5,000... Y dejando cifras aparte, hay números finitos que nunca escribirá nadie de puro grandes; de hecho hay infinitos más de los que se escribirán.

¿A qué se reduce el problema de la numerabilidad entonces? A que los irracionales no son periódicos, ésa es la verdadera diferencia, y no que no se puedan escribir.

Mi opinión (ya lo he dicho muchas veces por aquí y en otros hilos) es que la cuestión reside en el espacio y la materia física, no en los números, los cuales, pobrecitos, son inocentes. Todo el mundo da crédito a lo que ve como si fuera la única posible verdad, existe lo que se ve, lo que se toca (teorema de Richard; ya vimos la intuición de Richard, ahora el teorema; dicho sin maldad ninguna). Y yo opino que no es así, no tiene por qué ser así. ¿Por qué vemos las cosas pequeñas cuando están lejos? «El “celebro”, la retina, no sé qué...» Sí, lo de siempre, ya me lo sé de toda la vida, soy viejo: cuando no tenemos ni puñetera idea de cuál es la verdadera causa de algo, nos inventamos cualquier cosas echando mano del “celebro”. Pues yo digo que no es el “celebro”, que es que realmente las cosas lejanas son más pequeñas en ese tiempo donde están (confesando, a diferencia de otros, que no lo sé a ciencia cierta, que tampoco tengo ni puñetera idea).

Saludos.

[feriva]

Hola, RDC, me dejé esto en el tintero .

Dado que son dos secuencias ambas se pueden biyectar, de modo que la secuencia aleatoria es numerable, y además, del mismo orden que los naturales. Es decir, se puede determinar si en la posición n de la secuencia aleatoria ha salido cara o cruz.

Ahora bien, el conjunto de todas la secuencias aleatorias numerables posibles es no numerable. Tiene el cardinal de los reales. ¿significa eso que los reales son aleatorios? Así, directamente, diría que no, pero la insinuación es fuerte. Sin embargo sería ir al trabajo de Chaitin.

Con el ejemplo de los números combinatorios y las cajas quería hacer ver que podría parecerse a algo aleatorio, no que lo fuera o no lo fuera.

Digamos que la unión lineal de conjuntos no numerables es numerable (ya estoy inventando expresiones, “unión lineal”, habrá que explicar lo que quiero decir).

El que los irracionales no sean periódicos quiere decir que “rompen” cualquier periodo, donde un periodo es la repetición infinita de una cierta secuencia. Por tanto, al “romperlo”, la cantidad de secuencias ya no son infinitas, no se repiten sin fin, y los números tienen, en consecuencia, una última cifra; y detrás se pueden añadir sin límite las cifras que se quiera (eligiendo formar un periodo o no, pero para el caso en estudio elegimos que no).

Si elegimos al azar esas secuencias infinitas que podemos añadir a la cola, habrá muchas más que no formen un periodo que las que sí formen un perido. Claro, porque cada bloque que se repite funciona como un “elemento largo” al que no le queda tanto sitio para combinarse; de hecho es como si le quedará un sólo lugar donde colocarse a lo largo del infinito.

En cambio, si no es periódico, las “cantidades de infinitos” se reproducen como un cáncer, es mucho más potente.

Así, si en vez de unidades utilizamos paquetes de infinitos números como unidades para intentar numerar los reales, no nos llega, por ser el proceso un tanto lineal.

O sea, imagina que 1 es un paquete numerable infinito, 2 es dos paquetes, etc. En principio, al numerar con eso, no utilizamos potencias, por eso digo que es una “unión lineal”:

\( 1;2;3,...;n;n+1;n+2;...2n...n^{2} \)

Pero en ese proceso vemos que aparecen potencias separadas a las que se “llega” sumando 1 paquete de infitos números cada vez.

Podemos quedarnos con las potencias y despreciar lo demás para visualizar que así podemos considerar una unión “no lineal” de numerables.

Esto supone una super-super-tarea, estamos fantasando, no biyectando nada de verdad, sino imaginando que biyectamos.

Y con esa misma fantasía ponía el ejemplo ése de ir pintando los puntos transparentes de blanco y negro, Llegará un momento en el que los puntos pintados pasarán a ser no numerables o “miedo numerables”, no sé. A partir de ese momento ya no puedo pintar más puntos que no hayan sido pintados (al menos si no recurro a otro método) porque no puedo distinguir el siguiente a un punto dado; no existe, dicho más directamente.

Entonces pueden suceder dos cosas.

Como he intercalado puntos blancos y negros, cada vez más apretados, si el color resultante, llegado a ese punto de no numerabilidad, fuera un gris perfecto (idealmente uniforme en tono, tal que quite el sentío y ya no se pueda más de gris, tal que ni un político medio pueda superarlo) en ese caso ese conjunto de puntos blancos y negros tendría el cardinal del continuo. Y, si no fuera un gris perfecto, si en vez de ser como una plancha de metal pintada con Titanlux (de color gris neutro) fuera como el gris de una tela o algo un poquitín menos perfecto, en ese otro caso tendría un cardinal intermedio; porque al no ser numerable, no sería tampoco el cardinal de los naturales.

Si se puede decidir algún día qué es más de verdad, no vamos a ser ni tú ni yo los que lo consigamos; pero sí saco una conclusión: tampoco lo demostrará ningún matemático masculino.

https://www.elmundo.es/ciencia-y-salud/salud/2019/12/16/5df382f3fc6c8349748b468f.html

Saludos.

[feriva]

Hola otra vez, RDC. Al ir leyendo despacio voy viendo más cosas a las que contestar.

Que la construcción de símbolos no sea aleatoria y siga unas leyes constructivas nos permite tratar el "contar" de forma puramente mecánica, como un simple juego de símbolos. Y funciona sin ni que pensemos!! Si los números los representaramos mediante trazos o símbolos aleatorios no sería posible hacer operaciones complejas como multiplicaciones de más de dos cifras, por ejemplo. Deberíamos memorizar cada suma o multiplicación, una a una. Es decir, una vez sumado el símbolo A con el B, que nos da el C deberíamos memorizarlo, como memorizamos la tabla de multiplicar. Y así cada vez. Pero no crearíamos números diferentes.

En realidad no se estarían biyectando dos conjuntos, sino un conjunto consigo mismo.

La cuestión es que uno se puede inventar una cantidad finita de símbolos y memorizarlos, pero no infinita, ni siquiera finita y todo lo grande que puede ser.

Entonces no se biyecta nada salvo el propio conjunto de los naturales consigo mismo. Porque es un proceso distinto.

A la vez que dices “uno” le pones una bufanda al “uno”, a la vez que dices “dos”, le pones un sombrero al “dos...

El conjunto {bufanda, sombrero,...} se inventa al mismo tiempo que se nombran los naturales, no se biyecta.

En cambio, yo puedo ir escribiendo números en una cierta base en un cuaderno, por ejemplo: 0,a,b,c,d; y llegar hasta ahí; lo tengo memorizado, definido o aprendido, lo que quieras, y es verdad. Son todos los símbolos de la base, no hay más.

Y eso es todo lo que está a bolígrafo en la hoja cuadriculada, no existe por extensión nada más hasta ahí.

De modo que no está el primer número natural de tres cifras, por caso, ni el segundo de tres... No están por extensión, pero sí por comprensión: a00, a0a, a0b, a0c...

¿Importa que no estén por extensión? A mí no, porque entiendo como se construyen.

La diferencia es notable, mientras el conjunto {bufanda, sombrero,...} es en sí mismo un proceso inventivo, no numerativo (aunque después se podría utilizar para numerar cosas hasta donde diera de sí) el conjunto formado por con la base numérica 0,a,b,c,d y sus reglas bien definidas es un proceso inventado, terminado de inventar, con el cual ya está proyectada, prediseñada, la escritura de todos los números naturales; es más. añadiendo la coma y el cero y lo que dije antes, también todos los reales.

No estoy de acuerdo. Me parece que sí podemos representarlo. Imagina un real r, que pertenece al intervalo [0,1]

en base 10 r=0,7. Pues en base 1, respecto a base 10, tenemos que:

0=0 1=00 2=000 3=0000 ... 7=00000000

Por tanto en base 1 tenemos que r=0,00000000

si r=0,14 en base 10, entonces en base 1 será r=0,000000000000000

no le veo problema, pues.

Pues sí da problema. Para los reales es necesario usar dos símbolos y la coma, no vale sólo con un símbolo y la coma.

Con esto 000..., 000.. puedes representar números cuya parte entera es un natural y cuya mantisa es un natural. Pero no puedes poner ceros a la izquierda en la mantisa, porque eso va a representar naturales que no empiezan por cero, es lo mismo que ya tienes (ya que, son los naturales escritos en base 1, con un sólo símbolo, que es el cero). Así que de esa manera no puedes representar todos  los números menores que la unidad y mayores que cero.

Si hay alguna objeción más que me hayas hecho a la que no haya contestado o que no haya quedado clara, dímelo; porque es que se me olvidan cosas después de leer; y además a veces miro todo muy deprisa y no presto la atención necesaria.

Saludos.

[RDC]

Hola otra vez, RDC. Al ir leyendo despacio voy viendo más cosas a las que contestar.

Que la construcción de símbolos no sea aleatoria y siga unas leyes constructivas nos permite tratar el "contar" de forma puramente mecánica, como un simple juego de símbolos. Y funciona sin ni que pensemos!! Si los números los representaramos mediante trazos o símbolos aleatorios no sería posible hacer operaciones complejas como multiplicaciones de más de dos cifras, por ejemplo. Deberíamos memorizar cada suma o multiplicación, una a una. Es decir, una vez sumado el símbolo A con el B, que nos da el C deberíamos memorizarlo, como memorizamos la tabla de multiplicar. Y así cada vez. Pero no crearíamos números diferentes.

En realidad no se estarían biyectando dos conjuntos, sino un conjunto consigo mismo.

La cuestión es que uno se puede inventar una cantidad finita de símbolos y memorizarlos, pero no infinita, ni siquiera finita y todo lo grande que puede ser.

Entonces no se biyecta nada salvo el propio conjunto de los naturales consigo mismo. Porque es un proceso distinto.

A la vez que dices “uno” le pones una bufanda al “uno”, a la vez que dices “dos”, le pones un sombrero al “dos...

El conjunto {bufanda, sombrero,...} se inventa al mismo tiempo que se nombran los naturales, no se biyecta.

En cambio, yo puedo ir escribiendo números en una cierta base en un cuaderno, por ejemplo: 0,a,b,c,d; y llegar hasta ahí; lo tengo memorizado, definido o aprendido, lo que quieras, y es verdad. Son todos los símbolos de la base, no hay más.

Y eso es todo lo que está a bolígrafo en la hoja cuadriculada, no existe por extensión nada más hasta ahí.

De modo que no está el primer número natural de tres cifras, por caso, ni el segundo de tres... No están por extensión, pero sí por comprensión: a00, a0a, a0b, a0c...

¿Importa que no estén por extensión? A mí no, porque entiendo como se construyen.

La diferencia es notable, mientras el conjunto {bufanda, sombrero,...} es en sí mismo un proceso inventivo, no numerativo (aunque después se podría utilizar para numerar cosas hasta donde diera de sí) el conjunto formado por con la base numérica 0,a,b,c,d y sus reglas bien definidas es un proceso inventado, terminado de inventar, con el cual ya está proyectada, prediseñada, la escritura de todos los números naturales; es más. añadiendo la coma y el cero y lo que dije antes, también todos los reales.

No estoy de acuerdo. Me parece que sí podemos representarlo. Imagina un real r, que pertenece al intervalo [0,1]

en base 10 r=0,7. Pues en base 1, respecto a base 10, tenemos que:

0=0 1=00 2=000 3=0000 ... 7=00000000

Por tanto en base 1 tenemos que r=0,00000000

si r=0,14 en base 10, entonces en base 1 será r=0,000000000000000

no le veo problema, pues.

Pues sí da problema. Para los reales es necesario usar dos símbolos y la coma, no vale sólo con un símbolo y la coma.

Con esto 000..., 000.. puedes representar números cuya parte entera es un natural y cuya mantisa es un natural. Pero no puedes poner ceros a la izquierda en la mantisa, porque eso va a representar naturales que no empiezan por cero, es lo mismo que ya tienes (ya que, son los naturales escritos en base 1, con un sólo símbolo, que es el cero). Así que de esa manera no puedes representar todos  los números menores que la unidad y mayores que cero.

Si hay alguna objeción más que me hayas hecho a la que no haya contestado o que no haya quedado clara, dímelo; porque es que se me olvidan cosas después de leer; y además a veces miro todo muy deprisa y no presto la atención necesaria.

Saludos.

Hola feriva

pues otra forma de arreglarlo :

Tenemos un real $$r: r\in{[0,1]}$$ escrito en basse 10:

$$r=0,0092$$

para pasarlo a base 1 hacemos lo siguiente:

1) pasamos 0092 a 2900

2) 2900 en base 1 es 2899 ceros.

Por tanto 0,0092 en base 1 es:

0,000..0 (2899 ceros).

Otro ejemplo:

$$r=0,0445$$

1) Pasamos 0445 a 5440

2) 5440 en base 1 es 5439 ceros

por tanto, 0,0445 en base 1 es:

0,00...0 (5439 ceros)

Edito

Ahora veo una singularidad a esta representación: 

todos los irracionales terminan expresándose igual: con infinitos ceros. No hay forma de distinguirlos.

Aunque también es cierto que es imposible representar cadenas de decimales con infintas cifras. Con lo cual a nivel práctico se pueden distinguir los diferentes irracionales mediante aproximaciones.

Pero es cierto que en base 1, y empleando este método, parece imposible distinguir irracinales entre sí, y también distinguir cualqueir irracional de cualquier racional periodico. Es imposible, además, generar el argumento de diagonalización.


Y pensar que la humanidad empezó a contar en base 1 (contando palitos, como se aprecia en el hueso de Ishango).

Un saludo