[RDC]

Venimos de aquí:https://foro.rinconmatematico.com/index.php?topic=126400.80

La idea es intentar formalizar el hecho que dado un segmento continuo [0,1], este segmento se puede partir de forma racional indefinidamente, generando con ello un "subconjunto de infinito racionales comprendidos en el segmento [0.1]". El tamaño de este conjunto siempre será aleph o y por tanto, mucho menor que el tamaño del "conjunto de los elementos de un continuo", acaso "el conjunto de todos los elementos del segmento [0,1]".

1) Tenemos, pues, que el conjunto de todos los elementos del segmento [0,1] es mucho mayor que el tamaño de cualquier subconjunto de sus racionales.

2) Tenemos, además, que cualquier partición racional que hagamos en el segmento [0,1], con ello generamos otro segmento continuo (con infinitos elementos).

Entonces, cabe entender que con el segmento [0,1] es possible generar, mediante particiones racionales, infinitos segmentos continuos que serán indivisibles racionalmente.

De hecho, si nos colocamos encima del punto 0, veremos que existe siempre un segmento continuo entre 0 y el racional menor posible. Este segmento, al ser un continuo, estará formado por infinitos reales. Y siempre es posible tomar a dos reales de este segmento, con lo que habrá una distancia no racional entre ambos. Y sin embargo resultará imposible que multiplicando cualquier natural por esta distancia obtengamos un valor mayor que 1, dado que esta distancia es, siempre, muy inferior a cualquier partición racional posible.

De modo que mediante la cardinalidad de conjuntos infinitos se puede demostrar la existencia de entidades infinitesimales, o quizás trazar un lazo entre la teoría de conjuntos y el análisis no estándar.


Teorema 1: Densidad de los Reales entre Racionales

Teorema:
Para cualquier par de números racionales \(q_1\) y \(q_2\) con \(q_1 < q_2\), existe un número real \(r\) tal que \(q_1 < r < q_2\) y \(r\) no es un número racional.

Demostración:
1. Supongamos que \(q_1\) y \(q_2\) son dos números racionales con \(q_1 < q_2\).
2. Por la densidad de los números reales, hay infinitos números reales entre \(q_1\) y \(q_2\).
3. Si \(r\) fuera racional, entonces estaríamos capturando todos los números reales entre \(q_1\) y \(q_2\) con una secuencia numerable de racionales.
4. Sin embargo, debido a que los números reales son no numerables, siempre existe al menos un número real \(r\) tal que \(q_1 < r < q_2\) y \(r\) no es racional.
5. Por lo tanto, para cualquier par de racionales \(q_1\) y \(q_2\), siempre existe un número real no racional \(r\) entre ellos.

Teorema 2: Existencia de Infinitesimales

Teorema:
Para cualquier secuencia numerable de números racionales \(\{q_n\}\) que se aproxima a 0, existe una secuencia de números reales \(\{r_n\}\) tal que \(\lim_{n \to \infty} r_n = 0\) y para cada \(n\), \(r_n \notin \{q_n\}\).

Demostración:
1. Sea \(\{q_n\}\) una secuencia numerable de números racionales que se aproxima a 0.
2. Por la densidad de los números reales, entre cualquier dos \(q_n\) y \(q_{n+1}\) existe un número real \(r_n\) tal que \(q_n < r_n < q_{n+1}\).
3. Construimos la secuencia \(\{r_n\}\) de números reales tal que \(r_n\) está entre \(q_n\) y \(q_{n+1}\) para cada \(n\).
4. Como \(\{q_n\}\) se aproxima a 0, \(\{r_n\}\) también se aproxima a 0.
5. Por construcción, \(r_n \notin \{q_n\}\) para cada \(n\), demostrando que hay números reales arbitrariamente cercanos a 0 que no son alcanzados por la secuencia numerable \(\{q_n\}\).

Proposición: Propiedad de Infinitesimales

Proposición:
Si \(a\) y \(b\) son números reales infinitesimales con \(a < b\), entonces para cualquier número natural \(n\), \(n(b - a) << 1\).

Demostración:
1. Supongamos que \(a\) y \(b\) son números infinitesimales con \(a < b\).
2. Por definición de infinitesimal, \(b - a\) es un número infinitesimal, es decir, \(b - a\) es un número positivo menor que cualquier número real positivo.
3. Sea \(n\) un número natural. Multiplicando \(b - a\) por \(n\) obtenemos \(n(b - a)\).
4. Dado que \(b - a\) es infinitesimal, \(n(b - a)\) sigue siendo una cantidad muy pequeña.
5. Formalmente, si \(b - a = \epsilon\) donde \(\epsilon\) es un infinitesimal, entonces \(n(b - a) = n\epsilon\).
6. Como \(\epsilon\) es infinitesimal, \(n\epsilon << 1\) para cualquier \(n\), porque si \(n\epsilon \geq{1}\), entonces \(\epsilon\) no sería infinitesimal.
7. Por lo tanto, \(n(b - a) << 1\) se cumple para cualquier número natural \(n\).

Aplicación al Análisis Estándar

Corolario:
La existencia de infinitesimales en el sentido del análisis no estándar sugiere que hay números reales en cualquier intervalo cercano a 0 que no pueden ser alcanzados por particiones numerables de racionales, proporcionando una base intuitiva para la introducción de infinitesimales en el análisis estándar.

Punto 1: Partición Numerable de un Intervalo Cercano a 0

Consideremos una partición numerable de un intervalo cercano a 0 mediante números racionales.

1. Definición de Partición Numerable:
   - Una partición numerable de un intervalo \([0, x]\) (donde \(x\in{\Bbb R} > 0\)) consiste en una secuencia numerable de puntos racionales \( \{q_n\} \) dentro de este intervalo. Por ser numerable, esta secuencia puede ser puesta en correspondencia uno a uno con los números naturales.

2. Ejemplo de Partición:
   - Tomemos el intervalo \([0, 1]\) y consideremos una partición numerable dada por \( \left\{ \frac{1}{n+1} \mid n \in \mathbb{N} \right\} \). Esta secuencia incluye puntos como \( \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \ldots \).

3. Proximidad a 0:
   - A medida que \( n \) crece, los puntos \( \frac{1}{n+1} \) se aproximan cada vez más a 0. Sin embargo, por definición, 0 no está incluido en esta secuencia.

4. Limitaciones de la Partición:
   - Aunque estos puntos se acercan infinitamente a 0, la naturaleza numerable de la secuencia implica que siempre hay "huecos" en la partición. Entre cualquier dos puntos racionales en la partición, hay infinitos números reales que no son alcanzados por la partición.

Punto 2: No Numerabilidad de los Números Reales

Dado que los números reales son no numerables, siempre existirán números reales en el intervalo que no son capturados por las particiones numerables.

1. No Numerabilidad:
   - El conjunto de números reales en cualquier intervalo, por pequeño que sea, es no numerable. Esto significa que no se puede establecer una correspondencia uno a uno entre los números reales en el intervalo y los números naturales.

2. Densidad de los Números Reales:
   - Los números reales son densos en los racionales. Esto significa que entre cualquier dos números racionales \(q_i\) y \(q_{i+1}\) en la partición numerable, hay infinitos números reales \(r\) tales que \(q_i < r < q_{i+1}\).

3. Existencia de Infinitesimales:
   - Al considerar números reales muy cercanos a 0, pero no iguales a los puntos de la partición numerable, estos números pueden ser considerados como infinitesimales. Estos números son mayores que 0 pero menores que cualquier número racional positivo suficientemente pequeño que esté en la partición.

4. Ejemplo:
   - Consideremos la partición numerable \( \left\{ \frac{1}{n+1} \mid n \in \mathbb{N} \right\} \). Entre dos puntos consecutivos \( \frac{1}{n+1} \) y \( \frac{1}{n+2} \), hay infinitos números reales que no pertenecen a esta secuencia. Estos números reales entre los puntos de la partición pueden ser vistos como infinitesimales respecto a los puntos de la secuencia.

Conclusión

1. Conexión con Infinitesimales:
   - La existencia de estos números reales infinitamente cercanos a 0 que no son alcanzados por particiones numerables justifica intuitivamente la idea de infinitesimales en el análisis no estándar.
   
2. Extensión Natural:
   - Los infinitesimales en el análisis no estándar pueden verse como una extensión natural de los números reales, proporcionando una forma de captar estas cantidades infinitesimalmente pequeñas que no pueden ser enumeradas ni alcanzadas por particiones numerables de racionales en el análisis estándar.

Resumen

La partición numerable de un intervalo cercano a 0 no puede capturar todos los números reales debido a la no numerabilidad y densidad de los reales. Esto justifica la existencia de infinitesimales, que son números reales infinitamente cercanos a 0 no alcanzados por particiones numerables. Este razonamiento proporciona una base intuitiva para la integración de infinitesimales en el análisis estándar, conectando así con el análisis no estándar.

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En fin, ¿cómo lo veis?

[ani_pascual]

Hola:

...
La idea es intentar formalizar el hecho que dado un segmento continuo [0,1], este segmento se puede partir de forma racional indefinidamente, generando con ello un "subconjunto de infinito racionales comprendidos en el segmento [0.1]". El tamaño de este conjunto siempre será aleph o y por tanto, mucho menor que el tamaño del "conjunto de los elementos de un continuo", acaso "el conjunto de todos los elementos del segmento [0,1]".

1) Tenemos, pues, que el conjunto de todos los elementos del segmento [0,1] es mucho mayor que el tamaño de cualquier subconjunto de sus racionales.

2) Tenemos, además, que cualquier partición racional que hagamos en el segmento [0,1], con ello generamos otro segmento continuo (con infinitos elementos).

Entonces, cabe entender que con el segmento [0,1] es possible generar, mediante particiones racionales, infinitos segmentos continuos que serán indivisibles racionalmente.
...

Pero en cada partición ¿hay un número finito de subintervalos de \( [0,1] \)?

De hecho, si nos colocamos encima del punto 0, veremos que existe siempre un segmento continuo entre 0 y el racional menor posible.

¿Qué es eso del racional menor posible? ¿Se refiere al menor racional de la partición?
Saludos

[RDC]

Hola:

...
La idea es intentar formalizar el hecho que dado un segmento continuo [0,1], este segmento se puede partir de forma racional indefinidamente, generando con ello un "subconjunto de infinito racionales comprendidos en el segmento [0.1]". El tamaño de este conjunto siempre será aleph o y por tanto, mucho menor que el tamaño del "conjunto de los elementos de un continuo", acaso "el conjunto de todos los elementos del segmento [0,1]".

1) Tenemos, pues, que el conjunto de todos los elementos del segmento [0,1] es mucho mayor que el tamaño de cualquier subconjunto de sus racionales.

2) Tenemos, además, que cualquier partición racional que hagamos en el segmento [0,1], con ello generamos otro segmento continuo (con infinitos elementos).

Entonces, cabe entender que con el segmento [0,1] es possible generar, mediante particiones racionales, infinitos segmentos continuos que serán indivisibles racionalmente.
...

Pero en cada participación ¿hay un número finito de subintervalos de \( [0,1] \)?

De hecho, si nos colocamos encima del punto 0, veremos que existe siempre un segmento continuo entre 0 y el racional menor posible.

¿Qué es eso del racional menor posible? ¿Se refiere al menor racional de la participación?
Saludos

Hola ani_pascual, creo que puedo responder a las dos preguntas con una misma idea:

tomado el segmento continuo [0,1], podemos hacer muchos tipos de particiones racionales de forma indefinida y cada una nos dará un conjunto de infinitos elementos, llamado A. por ejemplo, podemos obtener el conjunto de todas las particiones del tipo $$1/(n+1), A=\left\{{1/2,1/3,1/4,1/5,...}\right\}$$. Esta serie es un subconjunto de los racionales, pero tiene la peculiaridad de que ningún otro subconjunto de los racionales tiene un elemento que sea menor que cualquiera de los suyos.

Estas particiones son numerables, dado que siguen el orden de una secuencia infinita de valores:

1º: 1/2
2º: 1/3
3º: 1/4
...
Vemos como el 0 nunca formará parte de A. Esto significa que siempre existirá una distancia $$\delta$$ entre 0 y todas las particiones numerables posibles; con lo cual es una distancia indivisible. Y esta distancia sigue siendo un continuo, es decir, es un conjunto con infinitos números reales -innaccesibles mediante particiones.

Entonces, siempre es posible coger dos reales de esta distancia $$\delta$$, y entre ellos habrá otra distancia infinitesimal $$\epsilon$$ mucho menor aún e inaccesible mediante particiones. Y es una distancia infinitesimal porque resulta imposible que al multiplicarla por un natural $$n$$ ni tan siquiera se acerque a 1.  Con ello se demostraría la existencia de infinitesimales alrededor de cualquier valor a partir de la teoría de conjuntos.

¿cómo lo ves?

[Luis Fuentes]

Hola

Consideremos una partición numerable de un intervalo cercano a 0 mediante números racionales.

1. Definición de Partición Numerable:
   - Una partición numerable de un intervalo \([0, \epsilon]\) (donde \(\epsilon > 0\)) consiste en una secuencia numerable de puntos racionales \( \{q_n\} \) dentro de este intervalo. Por ser numerable, esta secuencia puede ser puesta en correspondencia uno a uno con los números naturales.

2. Ejemplo de Partición:
   - Tomemos el intervalo \([0, 1]\) y consideremos una partición numerable dada por \( \left\{ \frac{1}{n+1} \mid n \in \mathbb{N} \right\} \). Esta secuencia incluye puntos como \( \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \ldots \).

3. Proximidad a 0:
   - A medida que \( n \) crece, los puntos \( \frac{1}{n+1} \) se aproximan cada vez más a 0. Sin embargo, por definición, 0 no está incluido en esta secuencia.

Este punto  (3) no queda claro si se refiere al ejemplo concreto; o pretendes que lo cumpla cualquier "partición numerable".

Desde luego tal como has definido "partición numerable" no tiene porque cumplirse. Simplemente defines la partición numerable de un intervalo \( [0,\epsilon] \) como una sucesión de racionales contenida en el intervalo; pero esa sucesión podría no tener límite, no ser ni creciente, ni decreciente. Siempre se cumple que tiene una subsucesión convergente que converge a algún número; pero incluso podría tener subsucesiónes convergentes a cualquier número real del intervalo (por ejemplo si como sucesión tomamos todos los racionales contenidos en el intervalo).

4. Limitaciones de la Partición:
   - Aunque estos puntos se acercan infinitamente a 0, la naturaleza numerable de la secuencia implica que siempre hay "huecos" en la partición. Entre cualquier dos puntos racionales en la partición, hay infinitos números reales que no son alcanzados por la partición.

De nuevo esto de acercarse a cero, no se si era una exigencia que pretendías poner a toda partición (y que no has puesto) o sólo se refiere al ejemplo \( 1/n \).

Punto 2: No Numerabilidad de los Números Reales

Dado que los números reales son no numerables, siempre existirán números reales en el intervalo que no son capturados por las particiones numerables.

Intenta usar términos cuyo significado preciso esté definido en la matemática usual o que hayas definido previamente. ¿Qué quieres decir con "capturados"?.

1. No Numerabilidad:
   - El conjunto de números reales en cualquier intervalo, por pequeño que sea, es no numerable. Esto significa que no se puede establecer una correspondencia uno a uno entre los números reales en el intervalo y los números naturales.

Bien.

2. Densidad de los Números Reales:
   - Los números reales son densos en los racionales. Esto significa que entre cualquier dos números racionales \(q_i\) y \(q_{i+1}\) en la partición numerable, hay infinitos números reales \(r\) tales que \(q_i < r < q_{i+1}\).

Bien.

3. Existencia de Infinitesimales:
   - Al considerar números reales muy cercanos a 0, pero no iguales a los puntos de la partición numerable, estos números pueden ser considerados como infinitesimales. Estos números son mayores que 0 pero menores que cualquier número racional positivo suficientemente pequeño que esté en la partición.

Esto ya es un brindis al sol. No se de donde te sacas "esos números mayores que 0 pero menores que cualquier número racional positivo suficientemente pequeño que esté en la partición".

Por ejemplo si tomas las partición \( 1/n \) no existe ningún número real mayor que cero pero menor que cualquier \( 1/n \).

4. Ejemplo:
   - Consideremos la partición numerable \( \left\{ \frac{1}{n+1} \mid n \in \mathbb{N} \right\} \). Entre dos puntos consecutivos \( \frac{1}{n+1} \) y \( \frac{1}{n+2} \), hay infinitos números reales que no pertenecen a esta secuencia. Estos números reales entre los puntos de la partición pueden ser vistos como infinitesimales respecto a los puntos de la secuencia.

Por ejemplo entre \( 1/2 \) y \( 1/3 \) está \( 5/12 \); no sé que sentido tiene verlo como infinitesimal y que aporta.

Conclusión

1. Conexión con Infinitesimales:
   - La existencia de estos números reales infinitamente cercanos a 0 que no son alcanzados por particiones numerables justifica intuitivamente la idea de infinitesimales en el análisis no estándar.

No le veo sentido a la relación que has pretendido plantear.
   
Saludos.

[RDC]

Hola Luís

Hola

Spoiler

Consideremos una partición numerable de un intervalo cercano a 0 mediante números racionales.

1. Definición de Partición Numerable:
   - Una partición numerable de un intervalo \([0, \epsilon]\) (donde \(\epsilon > 0\)) consiste en una secuencia numerable de puntos racionales \( \{q_n\} \) dentro de este intervalo. Por ser numerable, esta secuencia puede ser puesta en correspondencia uno a uno con los números naturales.

2. Ejemplo de Partición:
   - Tomemos el intervalo \([0, 1]\) y consideremos una partición numerable dada por \( \left\{ \frac{1}{n+1} \mid n \in \mathbb{N} \right\} \). Esta secuencia incluye puntos como \( \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \ldots \).

3. Proximidad a 0:
   - A medida que \( n \) crece, los puntos \( \frac{1}{n+1} \) se aproximan cada vez más a 0. Sin embargo, por definición, 0 no está incluido en esta secuencia.

[cerrar]

Este punto  (3) no queda claro si se refiere al ejemplo concreto; o pretendes que lo cumpla cualquier "partición numerable".

Desde luego tal como has definido "partición numerable" no tiene porque cumplirse. Simplemente defines la partición numerable de un intervalo \( [0,\epsilon] \) como una sucesión de racionales contenida en el intervalo; pero esa sucesión podría no tener límite, no ser ni creciente, ni decreciente. Siempre se cumple que tiene una subsucesión convergente que converge a algún número; pero incluso podría tener subsucesiónes convergentes a cualquier número real del intervalo (por ejemplo si como sucesión tomamos todos los racionales contenidos en el intervalo).

La idea es que cualquier segmento real, por ejemplo [0,1], es un continuo -un conjunto de infinitos elementos cuyo cardinal será el del continuo. Si este segmento lo vamos partiendo, entonces obtendremos segmentos que también serán un continuo.

A partir de esta situación tenemos que el conjunto de los elementos de un segmento continuo cualquiera siempre es mayor que el conjunto de particiones que hagamos sobre un segmento. Uno tiene el cardinal del continuo y el otro el de los naturales.

Por tanto, por intuición me inclino a pensar que por más que parta un segmento hasta el infinito, entonces siempre habrá un segmento del continuo $$\delta$$ que estará por partir. De modo que, ¿acaso no se demuestra con ello la existencia de un segmento $$\delta$$ que resulta indivisible racionalmente?

Mi idea es, pues, que sí existe este $$\delta$$ por la diferencia de tamaño de las cardinalidades entre el continuo y las particiones; y a partir de aquí viene lo demás.

Spoiler

4. Limitaciones de la Partición:
   - Aunque estos puntos se acercan infinitamente a 0, la naturaleza numerable de la secuencia implica que siempre hay "huecos" en la partición. Entre cualquier dos puntos racionales en la partición, hay infinitos números reales que no son alcanzados por la partición.

[cerrar]

De nuevo esto de acercarse a cero, no se si era una exigencia que pretendías poner a toda partición (y que no has puesto) o sólo se refiere al ejemplo \( 1/n \).

Porque la idea, igual no ha quedado muy bien explicado esto, es buscar un subconjunto de racionales que represente las particiones que se van aproximando a cero tanto como sea posible. Se intenta buscar la partición menor posible para cualquier segmento continuo dado.

Un ejemplo de ello sería el conjunto A, como el conjunto de todas las particiones del tipo $$\displaystyle\frac{|\delta|}{(1+n)}$$, siendo $$n$$ el número de iteración de la partición. Dado un segmento unidad, $$\delta=[0,1]; |\delta|=1$$, entonces:

$$A=\left\{{\displaystyle\frac{1}{2},\displaystyle\frac{1}{3},\displaystyle\frac{1}{4},...}\right\}$$

Punto 2: No Numerabilidad de los Números Reales

Dado que los números reales son no numerables, siempre existirán números reales en el intervalo que no son capturados por las particiones numerables.

Intenta usar términos cuyo significado preciso esté definido en la matemática usual o que hayas definido previamente. ¿Qué quieres decir con "capturados"?.

Sí, tienes razón con eso. Simplemente significa que se pueda acceder a ellos mediante una partición. Por ejemplo, si tenemos el segmento [0,1] podemos "capturar" el 0.25 o el 0.1 mediante la partición 1/3 y la 1/10 respectivamente.

Con ello, se queire decir que habrá números reales que siempre nos resultarán imposibles de obtener mediante particiones, pues formarán parte de segmentos continuos ya indivisibles. Y esta es, precisamente, la idea intuitiva de fondo de todo el razonamiento.

Spoiler

3. Existencia de Infinitesimales:
   - Al considerar números reales muy cercanos a 0, pero no iguales a los puntos de la partición numerable, estos números pueden ser considerados como infinitesimales. Estos números son mayores que 0 pero menores que cualquier número racional positivo suficientemente pequeño que esté en la partición.

[cerrar]

Esto ya es un brindis al sol. No se de donde te sacas "esos números mayores que 0 pero menores que cualquier número racional positivo suficientemente pequeño que esté en la partición".

Por ejemplo si tomas las partición \( 1/n \) no existe ningún número real mayor que cero pero menor que cualquier \( 1/n \).

De nuevo, precisamente esa es la idea de fondo. Que al ser el conjunto de todas las particiones racionales que se aproximan a 0 de cardinal Aleph 0, mientras que cualquier segmento es siempre un conjunto de reales cuyo tamaño es el continuo, ello implica que siempre habrá una distancia o un segmento $$\delta$$ indivisible formado por reales que no podemos acceder mediante partición.

Spoiler

4. Ejemplo:
   - Consideremos la partición numerable \( \left\{ \frac{1}{n+1} \mid n \in \mathbb{N} \right\} \). Entre dos puntos consecutivos \( \frac{1}{n+1} \) y \( \frac{1}{n+2} \), hay infinitos números reales que no pertenecen a esta secuencia. Estos números reales entre los puntos de la partición pueden ser vistos como infinitesimales respecto a los puntos de la secuencia.

[cerrar]

Por ejemplo entre \( 1/2 \) y \( 1/3 \) está \( 5/12 \); no sé que sentido tiene verlo como infinitesimal y que aporta.

No es que se vea el 5/12 como un infinitesimal. La idea es que para "todo" racional $$q_1$$ y racional $$q_2$$, entre ambos siempre existirán infinitos REALEs que se "verán" como ifninitesimales porque no se puede acceder a ellos mediante partición alguna. Es evidente que 5/12 no es uno de estos reales que se "ven" como ifninitesimales, dado que sí se puede acceder a él mediante partición. Pero hay infinitos reales (irracionales) que no.


Un saludo

[feriva]

Teorema 2: Existencia de Infinitesimales

Teorema:
Para cualquier secuencia numerable de números racionales \(\{q_n\}\) que se aproxima a 0, existe una secuencia de números reales \(\{r_n\}\) tal que \(\lim_{n \to \infty} r_n = 0\) y para cada \(n\), \(r_n \notin \{q_n\}\).

Demostración:
1. Sea \(\{q_n\}\) una secuencia numerable de números racionales que se aproxima a 0.
2. Por la densidad de los números reales, entre cualquier dos \(q_n\) y \(q_{n+1}\) existe un número real \(r_n\) tal que \(q_n < r_n < q_{n+1}\).
3. Construimos la secuencia \(\{r_n\}\) de números reales tal que \(r_n\) está entre \(q_n\) y \(q_{n+1}\) para cada \(n\).
4. Como \(\{q_n\}\) se aproxima a 0, \(\{r_n\}\) también se aproxima a 0.
5. Por construcción, \(r_n \notin \{q_n\}\) para cada \(n\), demostrando que hay números reales arbitrariamente cercanos a 0 que no son alcanzados por la secuencia numerable \(\{q_n\}\).

Hola, RDC.

Ahí, en resumen, estás considerando esto \( (x+\Delta x)-x=\Delta x \), done dices que \( \Delta x \) es una variación infinetesimal. Pero en el modelo estándar un “infinitesimal” no es más que una representación del cero así, 0,000... donde “detrás" del infinito” no puede venir nada porque, para que hubiera “detrás”, tendrían que acabar los decimales, y ya no habría infinitos. Y, si antes de “llegar al infinito”, (cosa imposibles) hay alguna cifra distinta de cero, entonces es un número real, ya sea racional o irracional.

Ahora bien, si hablas de un enfoque de ver el modelo no estándar, pues ahí no puedo opinar nada, porque no conozco ese modelo (algo vi por internet, pero sólo me lo miré por encima).

Yo también creía hasta hace no mucho que los infinitesimales “estaban” en el modelo estándar pero no se manejaban, sólo estaban. Y no es así (fue Juan Pablo el que un buen día me sacó del malentendido que arrastraba).

Saludos.

[RDC]

Otra cosa, Luís, respecto al último comentario tuyo de si entre dos racionales hay o no infinitos reales que se "ven" como infinitesimales:

si la idea es plausible ello conlleva, quizás, que el continuo (la recta de los reales) fuera una estructura mucho más compleja de lo que nos indican las cortaduras de Dedekind.

[Luis Fuentes]

Hola

A partir de esta situación tenemos que el conjunto de los elementos de un segmento continuo cualquiera siempre es mayor que el conjunto de particiones que hagamos sobre un segmento. Uno tiene el cardinal del continuo y el otro el de los naturales.

Pues no sé; depende de a que llames "conjunto de particiones". Con la definición que diste de partición como una sucesión de racionales, eso no es cierto. El conjunto de particiones tendría el mismo cardinal que el de los números reales de cualquier intervalo.

Por tanto, por intuición me inclino a pensar que por más que parta un segmento hasta el infinito, entonces siempre habrá un segmento del continuo $$\delta$$ que estará por partir. De modo que, ¿acaso no se demuestra con ello la existencia de un segmento $$\delta$$ que resulta indivisible racionalmente?

pssss..  no veo que se demuestra nada con eso. Concreta y vemos...

De nuevo, precisamente esa es la idea de fondo. Que al ser el conjunto de todas las particiones racionales que se aproximan a 0 de cardinal Aleph 0, mientras que cualquier segmento es siempre un conjunto de reales cuyo tamaño es el continuo, ello implica que siempre habrá una distancia o un segmento $$\delta$$ indivisible formado por reales que no podemos acceder mediante partición.

Como dije antes, con la definición de partición que diste, eso que he marcado en rojo es falso.

En lo demás sobre lo que a mi entender son vaguedades e ideas supuestamente intuitivas que no veo por ningún lado, pues no entro. Si me he metido es porque dabas unas definiciones concretas y hacías afirmaciones sobre ellas que no estaban bien.

Saludos.

[RDC]

Teorema 2: Existencia de Infinitesimales

Teorema:
Para cualquier secuencia numerable de números racionales \(\{q_n\}\) que se aproxima a 0, existe una secuencia de números reales \(\{r_n\}\) tal que \(\lim_{n \to \infty} r_n = 0\) y para cada \(n\), \(r_n \notin \{q_n\}\).

Demostración:
1. Sea \(\{q_n\}\) una secuencia numerable de números racionales que se aproxima a 0.
2. Por la densidad de los números reales, entre cualquier dos \(q_n\) y \(q_{n+1}\) existe un número real \(r_n\) tal que \(q_n < r_n < q_{n+1}\).
3. Construimos la secuencia \(\{r_n\}\) de números reales tal que \(r_n\) está entre \(q_n\) y \(q_{n+1}\) para cada \(n\).
4. Como \(\{q_n\}\) se aproxima a 0, \(\{r_n\}\) también se aproxima a 0.
5. Por construcción, \(r_n \notin \{q_n\}\) para cada \(n\), demostrando que hay números reales arbitrariamente cercanos a 0 que no son alcanzados por la secuencia numerable \(\{q_n\}\).

Hola, RDC.

Ahí, en resumen, estás considerando esto \( (x+\Delta x)-x=\Delta x \), done dices que \( \Delta x \) es una variación infinetesimal. Pero en el modelo estándar un “infinitesimal” no es más que una representación del cero así, 0,000... donde “detrás" del infinito” no puede venir nada porque, para que hubiera “detrás”, tendrían que acabar los decimales, y ya no habría infinitos. Y, si antes de “llegar al infinito”, (cosa imposibles) hay alguna cifra distinta de cero, entonces es un número real, ya sea racional o irracional.

Ahora bien, si hablas de un enfoque de ver el modelo no estándar, pues ahí no puedo opinar nada, porque no conozco ese modelo (algo vi por internet, pero sólo me lo miré por encima).

Yo también creía hasta hace no mucho que los infinitesimales “estaban” en el modelo estándar pero no se manejaban, sólo estaban. Y no es así (fue Juan Pablo el que un buen día me sacó del malentendido que arrastraba).

Saludos.

Hola feriva, que yo sepa los infinitesimales no existen en la estandar, pero sí en la no estandar. Esto sería una posibilidad para hacerlos posible en la estandar al demostrar su existencia a partir de la diferencia de cardinalidad entre cualquier conjunto de infinitas particiones racionales del continuo y el propio continuo. Nada más.

[RDC]

Hola

Spoiler

A partir de esta situación tenemos que el conjunto de los elementos de un segmento continuo cualquiera siempre es mayor que el conjunto de particiones que hagamos sobre un segmento. Uno tiene el cardinal del continuo y el otro el de los naturales.

[cerrar]

Pues no sé; depende de a que llames "conjunto de particiones". Con la definición que diste de partición como una sucesión de racionales, eso no es cierto. El conjunto de particiones tendría el mismo cardinal que el de los números reales de cualquier intervalo.

Bueno, pues llamo conjunto de particiones de un segmento continuo a cualquier subconjunto de racionales que esté contenido en ese segmento. "El conjunto de las particiones de la forma $$\displaystyle\frac{|\delta|}{(n+1)}$$" es un conjunto de particiones posible. Otro sería, no sé, el conjunto de las particiones de la forma $$\displaystyle\frac{|\delta|}{1+\sqrt[ ]{n}}$$. Lo que sí busco es que los elementos de estos conjuntos tiendan indefinidamente a 0.

Es evidente que cualquiera de estos conjuntos de particiones tiene cardinalidad Aleph 0, que es inferior a la cardinalidad del continuo.

Por tanto, por intuición me inclino a pensar que por más que parta un segmento hasta el infinito, entonces siempre habrá un segmento del continuo $$\delta$$ que estará por partir. De modo que, ¿acaso no se demuestra con ello la existencia de un segmento $$\delta$$ que resulta indivisible racionalmente?

pssss..  no veo que se demuestra nada con eso. Concreta y vemos...

Ahora mismo no sé como puedo concretar mucho más, más allá de indicar, por inducción, que si dado un segmento $$\delta$$ tomo el conjunto de particiones de $$\delta$$ del tipo $$\displaystyle\frac{|\delta|}{(1+n)}$$, entonces siempre existirá un segmento continuo $$\beta$$ tal que $$\beta$$<$$\displaystyle\frac{|\delta|}{(1+n)}$$. De modo que, al ser este segmento $$\beta$$ continuo y ya indivisible por partición racional alguna, entonces contendrá reales que podemos considerar como infinitesimales, dado que si tomo cualquier real de estos y lo multiplico por cualquier natural, por más grande que sea tal natural, entonces el producto siempre será mucho más pequeño de 1.

¿Sirve?

De nuevo, precisamente esa es la idea de fondo. Que al ser el conjunto de todas las particiones racionales que se aproximan a 0 de cardinal Aleph 0, mientras que cualquier segmento es siempre un conjunto de reales cuyo tamaño es el continuo, ello implica que siempre habrá una distancia o un segmento $$\delta$$ indivisible formado por reales que no podemos acceder mediante partición.

Como dije antes, con la definición de partición que diste, eso que he marcado en rojo es falso.

En lo demás sobre lo que a mi entender son vaguedades e ideas supuestamente intuitivas que no veo por ningún lado, pues no entro. Si me he metido es porque dabas unas definiciones concretas y hacías afirmaciones sobre ellas que no estaban bien.

Saludos.

No, no, no. Clarifico:

Como he puntualizado arriba, el conjunto de todas las particiones racionales que se aproximan a 0 es, dado un segmento $$\delta$$, sólo un subconjunto de los racionales que contiene tal segmento. Por tanto, es un conjunto numerable. Lo que ocurre es que buscamos un subconjunto de racionales donde sus elementos tiendan indefinidamente a cero, nada más; tal y como ocurre, por ejemplo, con el conjunto de particiones de un segmento del tipo $$\displaystyle\frac{|\delta|}{(1+n)}$$.

Un saludo