[Carlos Ivorra]

Es decir, \( \beth_n=2^{\beth_{n-1}}\,\,\forall\,n\geq 1 \).

En realidad la definición general requiere un apartado más:

\( \beth_0 = \aleph_0,\quad \beth_{\alpha+1}=2^{\beth_\alpha},\quad \beth_\lambda = \sup\limits_{\delta<\lambda}\beth_\delta \),

donde \( \lambda \) recorre los ordinales límite. Así, \( \beth_\omega \) es el supremo de los \( \beth_n \), donde \( n \) recorre los números naturales, tras el cual tienes \( \beth_{\omega+1}=2^{\beth_\omega} \), etc.

Vale, entiendo. Como no sabía que los cardinales están bien ordenados, contemplaba la existencia de cardinales del tipo \( \aleph_{\alpha} \) con \( \alpha\in\mathbb{R}, 0<\alpha<1 \), pero ya veo que carece de sentido.

No es exacto que carezca de sentido. Todo lo que te he dicho supone el axioma de elección, pero sin el axioma de elección pueden ocurrir cosas parecidas a ésa, aunque no exactamente ésa. Los cardinales \( \aleph_\alpha \) se pueden definir sin el axioma de elección, pero sin este axioma no puedes demostrar que sean todos los cardinales, y, en cambio, es consistente que exista un conjunto de cardinales densamente ordenado, pero no se les llama \( \aleph_{\rm nada} \), ni pueden estar por debajo de ningún álef.

[ani_pascual]

Hola:

En realidad la definición general requiere un apartado más:

\( \beth_0 = \aleph_0,\quad \beth_{\alpha+1}=2^{\beth_\alpha},\quad \beth_\lambda = \sup\limits_{\delta<\lambda}\beth_\delta \),

donde \( \lambda \) recorre los ordinales límite. Así, \( \beth_\omega \) es el supremo de los \( \beth_n \), donde \( n \) recorre los números naturales, tras el cual tienes \( \beth_{\omega+1}=2^{\beth_\omega} \), etc.

...
No es exacto que carezca de sentido. Todo lo que te he dicho supone el axioma de elección, pero sin el axioma de elección pueden ocurrir cosas parecidas a ésa, aunque no exactamente ésa. Los cardinales \( \aleph_\alpha \) se pueden definir sin el axioma de elección, pero sin este axioma no puedes demostrar que sean todos los cardinales, y, en cambio, es consistente que exista un conjunto de cardinales densamente ordenado, pero no se les llama \( \aleph_{\rm nada} \), ni pueden estar por debajo de ningún álef.

Gracias por las aclaraciones; todo esto para mí es de otra liga     
Saludos

[RDC]

Hola feriva

Hola otra, RDC.

Amplio un poco lo del otro día.

Es mejor ver la cuestión, primeramente, con puntos y segmentos y después con números.

a___...___... b ...

eso sigue así igual desde un punto “a” a un punto”b”: es decir, un segmento continuo, una cantidad infinita numerable de puntos, un segmento continuo, etc.

El cardinal de puntos de ese discontinuo será menor o igual que el de este segmento continuo

a___________b ...

porque es igual de largo, pero todo continuo.

Si el cardinal es igual, entonces la hipótesis es cierta; si es menor, entonces no.

¿Por qué tratas los puntos y segmentos según su cardinalidad y no según su ordinalidad?

Además, el cardinal del continuo es el de los reales. Por tanto, si tienes un segmento continuo tendrá la cardinalidad de los reales y sus puntos no será numerable. Por tanto, sus puntos no se pueden poner en una secuencia o cadena o lista numerable.

Hay infinitas “islas” de puntos discontinuos; ¿equivale esto a un segmento de puntos continuo?

¿qué quieres decir con esto? ¿Donde hay estas islas?

Sólo hacernos la pregunta, ya se aprecia la gran dificultad que surge para dar una respuesta con rigor (al menos yo tengo esa intuición). Estamos hablando, casi casi, del sexo de los ángeles.

Por axioma, a cada punto le corresponde un número real distinto. Y esto es cierto por axioma porque es un a verdad previa, porque las ideas de continuidad, densidad... nacen directamente del invento que supone el sistema numérico en bases añadiendo el cero.

Por tanto (para mí) considerar conjuntos de elementos así {a,c,b,...} asignando un “monosímbolo” distinto a cada número, oscurece el análisis de lo que pueda pasar; hay que considerar números con cifras, en algún sistema numérico, si no, yo no sé de qué se está hablando (con los puntos sí se ve, con un dibujo sí, pero con eso no hago nada; porque eso sí que es puramente intuitivo, no sirve por sí solo).

Así que queda claro, hay que etiquetar todos los puntos, es completamente necesario. ¿Cómo lo hacemos, con infinitos monosímbolos distintos?

No, es imposible identificar con un símbolo cada uno de los reales. Es una de las consecuencias de que no sean numerables. Pero es que tampoco es posible colocarlos como representamos normalmentes los elementos de los conjuntos:

$$\Bbb R\neq \left\{{0,(0,000001),(0,119999...), ..}\right\}$$

El conjunto de los reales es simplemente todos los valores que satisfacen la definición de "ser número real". Es un conjunto que no se puede "construir" ni tan siquiera teóricamente. Pero se puede definir.

La hipótesis del continuo es muy interesante, pero, para mí, etiquetar los números con infinitos monosímbolos todos distintos es un error, da lugar a paradojas; supone usar una base infinita de símbolos sin que muchos matemáticos, quizá, se haya percatado (tú mismo me lo sugeriste sin darte cuenta, después lo explico).

Quién ha hecho eso?

Por mi parte precisamente he dicho que es imposible representar los reales como una secuencia numerada y por tanto etiquetada -si lo prefieres.

No se necesitan números más largos literalmente hablando, se necesitan más símbolos para poder etiquetarlos de forma ordenada. No existen los números no numerables; o tienen infinitas cifras numerables o no tienen cifras.

Si lo dices porque podemos simbolizar la idea de "todos los naturales en secuencia bien ordenada" con el símbolo $$w$$, o la idea de "todos los reales de forma bien ordenada" con el símbolo $$w_1$$, continuo diciendo: no te fijes en el símbolo sino en la idea.

La idea de $$w$$ tiene lógica, porque $$w=\left\{{0,1,2,3,4,5,...}\right\}$$ es un conjunto donde sus elementos están claramente bien ordenados: dados dos naturales siempre está muy claro cuál es mayor y cual menor.

Pero con $$w_1=\left\{{\textrm{todos los reales bien ordenados}}\right\}$$, eso no está nada claro. Nos hemos acostumbrado a aceptar que debe de estarlo (axioma de elección), porque entonces dados 2 reales debería de ser posible distinguir cuál es mayor y cual menor, pero eso sería en un plano sumamente abstracto. Es imposible hacerlo.

De hecho aceptar eso implica aceptar una manera de hacer listas o secuencias de forma mucho más compleja que las que nosotros podemos pensar y comprender intuitivamente.

Y digo que todos tienen infinitas cifras porque considerarlos “truncados” sin los ceros añadidos y las comas da muchísima guerra.

Es que decir que los reales pueden tener infinitas cifras decimales es simplemente decir que para estos reales es imposible contar sus cifras de una a una (iterativamente). No es incorrecto, pero es quedarse muy corto.

Ahora bien, cuando decimos que los decimales de los reales siempre tendrán, a lo sumo, el orden de $$w$$ cifras, también aceptamos que será imposible contarlas de una en una, pero a la vez decimos que sus cifras se pueden enumerar directamente con el conjunto de naturales, sin cambiarles el orden.

En cambio si decimos que los infinitesimales tienen una cantidad de decimales donde las primeras  $$w$$ cifras son 0, y luego presentarán otras cifras distintas de cero, simplemente estamos diciendo que contando, una a una (iterativamente), las cifras de los decimales de un infinitesimal nunca jamás veremos una cifra distinta de cero. Y sin embargo ese número no es cero, puesto que tiene decimales más allá de lo que se pueda contar uno a uno.

Y la cardinalidad de las cifras de un real de infinitas cifras es la misma que la cardinalidad de un infinitesimal, $$\aleph_0$$; sImplemente el conjunto de infnitas cifras de un infinitesimal es de un orden superior al conjunto de infinitas cifras de un real.

Prueba de esto último la tenemos en un matemático francés llamado Richard. No tiene nada que ver con nuestro amigo, el cual es capaz de intuir un axioma de la teoría de conjuntos que la mayoría de las personas son incapaces de intuir.

Por el contrario, el citado matemático francés no intuía nada útil, sino que entendía equivocadamente la prueba de la diagonal de Cantor y por ello inventó una “paradoja” (cuando alguien entiende algo mal, normalmente no se le llama paradoja, pero en este caso sí, y se conoce como “la paradoja de Richard”, de Jules Richard, no de Richard R Richard).

Se ve que a él no se le ocurrió pensar eso que he repetido varias veces de la tabla \( \aleph_{0}\times\aleph_{0} \) donde todos los números reales, todos, tienen infinitas cifras. Con ello, en la diagonal podremos encontrar sólo números de infinitas cifras, ya sean racionales o irracionales, pues no tiene nada que ver que sean una cosa u otra para que estén o no estén. Aparte, todos son de valor finito aunque sean infinitos en cantidad, tanto los que están en la tabla como los que no están, la coma y las mantisas de ceros lo posibilita (es cierto que en “actual” aparecen “números” de “valor” infinito, pero no hace falta considerar ninguna “actualidad”, simplemente hay que considerar la idea por comprensión; no hay un recinto, no hay diagrama de Venn ni leches; el “tiempo futuro” ya está considerado. No importa pensar en que la recta se está expandiendo sin fin; no influye porque no lo vemos, no podemos usarlo, nos da igual matemáticamente. No es ni una definición ni nada, pero sí me sirve para justificar “visualmente” la falta de “recinto” y evitar la paradoja del conjunto de todos los conjuntos). Aclaro esto para que ningún matemático se lleve las manos a la cabeza; no estoy definiendo nada, no estoy pretendiendo cambiar nada, es un enfoque que yo utilizo para intentar visualizarlo.

Insisto de nuevo, usas la noción de infinito, que es muy preliminar. Y la idea de la diagonalización es concebir, en abstracto, una lista con todos los naturales emparejados con todos los reales, para demostrar que en tal lista es posible crear, al menos un real, que no pueden estar en ella, contradiciendo que tal lista pueda tener todos los reales.

Spoiler

Ahora pongo unas citas, ya que estamos (a veces, personas religiosas se han molestado con esta comparación porque han entendido que desvirtúo la interpretación. No es mi intención molestar a nadie, es sólo un ejemplo).

Cristo habla del reino de Dios, cuya expresión podemos cambiar aquí por “Universo”:

«El Reino de Dios es semejante a la levadura que una mujer toma y la mete en tres medidas de harina hasta que fermenta toda la masa»

*El que ha hecho sus pinitos de cocinilla pastelero, sabe que la masa con levadura dobla su tamaño (más o menos) cuando fermenta del todo.

«El Reino de Dios es como un grano de mostaza que toma un hombre y lo siembra en su campo. Es la más pequeña de todas las semillas; pero cuando crece es la mayor de las hortalizas y se hace árbol, de tal suerte que las aves vienen y anidan en sus ramas»

Nada me impide pensar que, aparte de otras cosas puramente religiosas, se estuviera refiriendo a algo físico que el creía relacionado con la naturaleza del Universo. Cristo reconoce que hay cosas que “no nos han sido dadas en saber”, que “sólo el Padre sabe”, por lo que entiendo que bien pudiera teorizar de vez en cuando (pero no digo que sea necesariamente así, que nadie se enfade).

[cerrar]

El reino de Dios es un mundo perfecto e ideal donde no existe la mortalidad (el pecado existencial), el dolor, la ignorancia, etc. Es el mundo de las ideas de Platón pero versión cristiana. Kant lo identifica con "la cosa en sí" y por tanto, con el mundo que alcanzaríamos si la metafísica fuera posible para la humanidad.

Sin embargo, el matemático francés se lió a pensarlo con un ejemplo finito y “estacionario”, y con combinaciones en vez de variaciones, donde estas cosas tan claras quedan oscurecidas (porque los propios números quedan desnaturalizados) y no entendió de qué se trataba el problema.

No tiene gran importancia que ese matemático lo entendiera mal, porque, que yo sepa, no formuló ningún teorema crucial. Lo que sí me escama es que en Wikipedia pone “Kurt Gödel citó específicamente la antinomia de Richard como un análogo semántico a su resultado de incompletitud”. Quiero suponer que sólo se parecería algo a ese malentendido, ya imagino que Gödel no cometió un error tan burdo (sería dramático que finalmente las matemáticas no conllevaran esos supuestos riesgos de incosistencia y demás; con la de divulgadores que se ganan el pan vendiendo libros y vídeos metiendo miedo con eso).

Aquí no tengo mucho que decir

Así que los números son números o no son números, no hay más; sí que hay símbolos y cosas que se pueden biyectar o inyectar o lo que sea con los números.

Vale, y qué son para ti los números?

Digo lo que digo no por imponer mi idea a nadie, sino porque me parece muy claramente que es como digo y sería bueno que los investigadores empezaran a verlo de otra manera: es un error asignar a cada número un monosímbolo, supone que haya infinitos símbolos distintos como si fuera una base numérica de infinitos símbolos; y no tiene por qué ser así, nunca fue así para los matemáticos anteriores a la teoría de conjuntos.

No creo que eso se haga. Insisto, se usan símbolos para designar o identificar ideas.

Los “w” no son números, son paquetes de una cantidad infinita numerable de números; los cuales se pueden representar todos con una cantidad finita arbitraria de símbolos (y siempre con una cantidad infinita de cifras).

Bueno, dependerá de cómo definas "número". En todo caso $$w$$ permite contar elementos de conjuntos, con lo cual ¿por qué no tratarlo como un número si nos permite contar?

No se puede escapar al hecho de que la cantidad de símbolos de la base cambie el cardinal, hay que especificarla; al igual que las coordenadas de un vector no tienen sentido sin estar referidas a una base. Creer que con “monosímbolos” se escapa de esto, es un error.

Tú mismo me diste pie a que me diera cuenta de esto cuando me dijiste que podías biyectar las partes de un conjunto con números; así, por ejemplo

\( \{1,2,3\}\rightarrow0,123 \)

y te dije que había que tener cuidado porque estabas usando los elementos como cifras y que, si tuvieras un conjunto parte así, \( \{10,13\} \), habría que biyectarlo tomando los monosímbolos como cifras, sin separar: \( \{10,13\}\rightarrow(0,(10)(13) \).

Claro, los monosímbolos implican una base de infinitos símbolos, que aumenta el cardinal infinitamente, pero como son combinaciones sin repetición en vez de variaciones con repetición, se compensa; y esto lo puedo afirmar no porque lo visualice (que es muy difícil) sino porque el cardinal coincide con el del conjunto de partes al usar una tabla nxn y los números expresados en base dos.

Además, esta gran idea tuya (porque es tuya) pone en evidencia que los propios naturales tampoco se puedan asociar a todos los naturales expresados así “actualmente”; puesto que al ser la base de infinitos símbolos y no terminar de estar todos, también faltarán los naturales asociados a esos símbolos de la base que están “en el futuro”.

No he entendido bien todo esto, si me lo puedes aclarar. Gracias.

Todo eso es cuestión metódica operativa, pero en esta cuestión sí influye en cuanto a que cambia la forma de entender la el asunto.

Para precisar más, y verlo de forma más simple, supongamos números en base 10 y una tabla de \( 4\times4 \) (más simple por la costumbre que tenemos de usar base 10, no es que sea más simple).

4 hace las veces aquí del cardinal de los naturales; cantidad de cifras que es siempre la misma que de números.

La cantidad de variaciones con repetición, expresada en la misma base 10, es 1048576.

Esto quiere decir que si 4 es el máximo de cifras (el infinito numerable) tenemos un conjunto cuyo cardinal se expresa con un número de 3 cifras más. Pero por medio hay unos cardinales con 1 cifra más y 2 cifras más.

Claro, el usar una base u otra no sólo nos dará una cantidad distinta de variaciones (lo cual no es decisivo, no importa, es simbólico, pero no deja de ser necesario precisarlo) sino que influirá en los cardinales que puedan quedar por medio a partir de la diferencia de cifras del “n” de la tabla y las cifras del cardinal de las variaciones.

Además, al usar base binaria o la que sea, la distancia en cifras no se va, es decir, ahí parecerían siempre unos cardinales intermedios, infinitos de ellos, de hecho (que se podrán considerar “fantasmas” o no, no lo sé).

Por tanto, antes de nada, si te parece, hay que definir bien que se considera ahí; y, ya, después, nos ponemos a pensar en qué condiciones puede haber para considerar cardinales intermedios o no considerarlos.

Pero en principio, si uno dice que una secuencia de elementos tiene $$w$$ elementos, lo que está diciendo es que es imposible contar una a una todas todos sus elementos, porque no hay uno de último y definitivo. Por eso, si tienes las secuencias:

$$A=\left\{{n:n\in{\Bbb N}}\right\}$$
$$B_p=\left\{{p^n:\textrm{p es un primo}}\right\}$$

Ahora uno puede escoge un primo tan grande como quiera, pero $$B_p$$ siempre tendrá las mismas cifras y el mismo orden que $$A$$; $$w$$ (y por tanto el mismo cardinal).

Con lo cual, no me parece correcta la analogía que haces mediante números naturales para entender lo que significa $$w$$.

Una vez bien acordado eso, la hipótesis sigue existiendo como algo a considerar, porque partimos de esa idea de los puntos con la que empezaba a escribir esto. No es una cuestión simbólica en sí misma; pero primero habrá que entender bien la cuestión numérica, digo yo, dado que, si no, nos puede llevar a ver paradojas añadidas y no necesarias, paradojas que no lo son, “paradojas” tan tontas como, por ejemplo, la de los que no entienden que 1 y 0,9999.. representan con toda exactitud el mismo valor en base diez (y, a la vez, no representan el mismo valor en otras bases, que ésa es otra).

Entiendo que te resulta muy cómodo pensar mediante la idea de punto, y que identificas un número con un punto.  De aquí lo que comentabas con Richard:

que si entre 2 puntos, a y b, no hay un 3 punto c entonces a=b (a y b son el mismo punto). Por tanto, de aquí surge que entre 2 puntos siempre habrán infinitos puntos, y por tanto un segmento continuo que será divisible.

Sin embargo en el mundo físico se da lo que se conoce como la ley de weber-feschner. Que aquí podemos concebir como:

Dados 3 puntos, a,b,c  a=c, b=c pero b>a. 

Como esto es una violación de la ley de transitividad, y una contrdicción, se establece que las igualdades a=c y b=c deben ser imprecisiones de medida y que C, en realidad debe ser a<c<b. Y bajo esta necesidad lógica de mantener el principio de transitividad se construye la recta del continuo.

Por tanto, es perfectamente posible definir el continuo como 3 puntos donde a=c, b=c y a<b, siempre y cuando aceptemos que el principio de transitividad no se cumpla. En tal caso, los números, como puntos del continuo, pasarían a concebirse de forma muy diferente y exótica.

Un saludo

[sugata]

Nos hemos acostumbrado a aceptar que debe de estarlo (axioma de elección), porque entonces dados 2 reales debería de ser posible distinguir cuál es mayor y cual menor, pero eso sería en un plano sumamente abstracto. Es imposible hacerlo.

¿Por que no?
Solo habría que comparar la primera cifra distinguible después de la coma.

Por tanto, es perfectamente posible definir el continuo como 3 puntos donde a=c, b=c y a<b, siempre y cuando aceptemos que el principio de transitividad no se cumpla.

Si cambias los axiomas.... Lo mismo si no se cumple la asociatividad....

[RDC]

Nos hemos acostumbrado a aceptar que debe de estarlo (axioma de elección), porque entonces dados 2 reales debería de ser posible distinguir cuál es mayor y cual menor, pero eso sería en un plano sumamente abstracto. Es imposible hacerlo.

¿Por que no?
Solo habría que comparar la primera cifra distinguible después de la coma.

No parece tan fácil si tenemos número incomputables.

Pero, supongamos que dados dos reales cualesquiera pudiéramos distinguir cual es mayor o menor. Entonces también lo podríamos hacer con 3 reales, y con 4 y con 5.... Pero hasta cuando podríamos hacerlo? Porque sí sabemos que resulta imposible poder ordenar a todos los reales de menor a mayor. Y eso representaría un buen orden para todos os reales, que es lo que supone el axioma de elección.


un saludo

[feriva]

¿Por qué tratas los puntos y segmentos según su cardinalidad y no según su ordinalidad?

Además, el cardinal del continuo es el de los reales. Por tanto, si tienes un segmento continuo tendrá la cardinalidad de los reales y sus puntos no será numerable. Por tanto, sus puntos no se pueden poner en una secuencia o cadena o lista numerable.

Hola RDC.

Ólvidate del dibujo ése, no representa bien la cuestión.

Es que es muy complicado encontrar un ejemplo; si no se puede ni decidir, cómo va a ser fácil buscar un paradigma “inconográfico”

Imagino un intervalo de extremos a,b continuo y con puntos invisibles. Ahora supongo que pinto de blanco una cantidad infinita numerable de puntos. Después, pinto, de los no pintados, otra cantidad infinita numerable de color negro; y luego de blanco otros infinitos... y así. Puede que llegue un momento en donde ya no distinga huecos pero distinga zonas blancas, negras o grises; y, al seguir pintado más, todo acabe siendo gris uniforme. En otro caso, puede pasar a ser gris uniforme directamente, sin transitar por la fase del “jaspeado”, sin que exista esa zona de distintos tonos en cuanto al color.

Buenas noches (ya sigo mañana).

[RDC]

¿Por qué tratas los puntos y segmentos según su cardinalidad y no según su ordinalidad?

Además, el cardinal del continuo es el de los reales. Por tanto, si tienes un segmento continuo tendrá la cardinalidad de los reales y sus puntos no será numerable. Por tanto, sus puntos no se pueden poner en una secuencia o cadena o lista numerable.

Hola RDC.

Ólvidate del dibujo ése, no representa bien la cuestión.

Es que es muy complicado encontrar un ejemplo; si no se puede ni decidir, cómo va a ser fácil buscar un paradigma “inconográfico”

Imagino un intervalo de extremos a,b continuo y con puntos invisibles. Ahora supongo que pinto de blanco una cantidad infinita numerable de puntos. Después, pinto, de los no pintados, otra cantidad infinita numerable de color negro; y luego de blanco otros infinitos... y así. Puede que llegue un momento en donde ya no distinga huecos pero distinga zonas blancas, negras o grises; y, al seguir pintado más, todo acabe siendo gris uniforme. En otro caso, puede pasar a ser gris uniforme directamente, sin transitar por la fase del “jaspeado”, sin que exista esa zona de distintos tonos en cuanto al color.

Buenas noches (ya sigo mañana).

Hola feriva,

en principio el continuo es mucho mayor que el conjunto de números numerables que tienes en un intervalo. De hecho, la probabilidad de encontrar un elemento de un conjunto numerable de puntos en medio del continuo es nulo. Por tanto, ese segmento seguiria siendo invisible porque la inmensa mayoría de puntos no se han pintando.

Que tomes un conjunto numerable de puntos de ese intervalo continuo y lo pintes de blanco, seguidamente otro conjunto numerable de puntos y lo pintas de negro, luego otro conjunto numerable de puntos y lo pintes de nuevo de blanco, y así haciendo trazas blancas y negras con conjuntos numerables de puntos del intervalo es imposible que cubres todos los números del intervalo. Lo que obtienes es un conjunto numerable, que respecto al conjunto de los demás puntos que no son numerables, es ridículamente pequeño.

La unión o suma de conjuntos numerables nunca dará un conjunto de un cardinal mayor. Ni mucho menos obtendremos un conjunto del tamaño del continuo, sino que siempre dará un conjunto numerable.

Es decir, si al conjunto de los racionales del tipo $$1/n; n\in{\Bbb N}$$, que es numerables, le sumamos el conjunto de todos los números pares, que también es numerable,  no obtenemos un conjunto de cardinalidad mayor, sino que sigue teniendo la misma cardinalidad, $$\aleph_0$$. Si a esta suma le agregamos el conjunto de los números impares, seguimos teniendo un conjunto con la misma cardinalidad, tambien $$\aleph_0$$. Etc.

Ya te comenté que no puedes tomar los cardinalidades y ordinales transfinitos como meros símbolos. No se llega "ahí" simplemente agregando símbolos. Si así fuera nunca se llegaría allí porque agregar símbolos es un proceso uno a uno (iterativo o proceso por extensión), con lo cual resulta imposible mediante tal proceso alcanzar la totalidad de los naturales. A la totalidad de los naturales se llega por comprensión. 

Lo que se hace es tomar símbolos para representar una idea que es muy peculiar. En el caso del símbolo $$w$$ representa la idea de un conjunto que tiene el mismo tamaño y el mismo orden que el conjunto de todos los naturales, es decir, sin cambiarle el orden y tomándolo tal cual se puede biyectar directamente con el conjunto de los naturales. En el caso del símbolo $$\aleph_0$$ representa un conjunto para el cual existe alguna manera de biyectarlo con los naturales.

Por tanto, cuando digo que podemos justificar la existencia de números de un orden de cifras $$w+n$$, donde las primeras $$w$$ cifras son cero, y luego ya no tienen porque ser cero, no estoy diciendo que uno pueda ir contando uno a uno todos los ceros y cuando llega "a infinito", entonces encuentra ya otras cifras diferentes de cero, porque eso sería como decir que contando uno a uno se puede alcanzar lo infinito y entonces se alcanza un valor más grande que cualquier natural. Eso no es cierto.

Es evidente que contando uno a uno los naturales, por ejemplo, nunca se llega a ningún elemento último. Por tanto cabe cambiar la forma de pensar. Hay que dejar de pensar los elementos de estos conjuntos de forma extensiva y hacerlo de forma comprensiva. Por ejemplo, cabe pensar, simplemente, en la totalidad de los naturales. Y pensando en todos los naturales, que son incontables uno a uno, se puede determinar que empleando biyecciones entre conjuntos encontramos conjuntos con los mismos elementos que los naturales, y también encontramos conjuntos con más elementos, . 

El punto es que en teoría de conjuntos ya no se cuentan los elementos uno a uno, por eso la idea de infinito se desvanece y queda relegada a una idea muy simplona. Es cierto que nada impide seguir diciendo que el conjunto de los naturales es infinito, porque no se pueden contar uno a uno todos sus elementos, pero ahora podemos contarlo de otra forma mucho más "compresiva" .

Así pues, el conjunto de los naturales tiene tamaño, aunque no tenga un último elemento.  Y su tamaño es, por definición, el de todos los naturales. Nada más. Y por eso se emplea como "unidad básica" transfinita sobre la cual comparar el tamaño de otros conjuntos cuyos elementos tampoco se pueden contar uno a uno. Lo que ocurre es que eso, luego, nos genera la antinomia de la hipótesis del continuo.

Un saludo

[RDC]

Por tanto, es perfectamente posible definir el continuo como 3 puntos donde a=c, b=c y a<b, siempre y cuando aceptemos que el principio de transitividad no se cumpla.

Si cambias los axiomas.... Lo mismo si no se cumple la asociatividad....

Bueno, si no cumple la transitividad, entonces no cumple tampoco la asociativa

$$(a+c)+b=2a+b$$ difiere de $$a+(c+b)=a+2b$$, dado que $$2a+b<a+2b$$


Lo que ocurre es que no se trata de cambiar los axiomas sin más, es que el continuo físico parece comportarse de este modo ilógico (la ley de weber-feschner está en todos sitios). Y para hacerlo lógico y comprensible le hemos impuesto el principio de transitividad con el que hemos creado nuestro continuo matemático.

[feriva]

Hola, RDC, sigo.

No, es imposible identificar con un símbolo cada uno de los reales. Es una de las consecuencias de que no sean numerables.
...

El conjunto de los reales es simplemente todos los valores que satisfacen la definición de "ser número real". Es un conjunto que no se puede "construir" ni tan siquiera teóricamente. Pero se puede definir.

Claro que se pueden identificar, no es lo mismo que numerar.

Evidentemente, si piensas en identificar “todos” uno a uno, pues evidente que así nunca tenemos todos. Pero se trata de una idea sencillísima: si todos los elementos de un conjunto son distintos por definición (los que no son distintos son representantes de un mismo elemento) entonces se pueden identificar todos con un símbolo distinto. Porque se puede construir un sistema numérico tal que sea capaz de eso sin ambigüedades.

Cuando estuve en la UNED me distraía del temario para ponerme a pensar en cosas básicas de números. Una de ellas fue precisamente en el tema de las bases.

El sistema decimal tiene diez símbolos distintos, 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9, es decir, una cantidad finita ellos; y mucho menor que la de muchos valores finitos que puede representar, donde la cantidad de valores finitos es infinita. Esto último no es paradójico, porque la forma de construir los números es cíclica, digamos, es un sistema que queda definido para identificar todos los valores que puedan considerarse.

Toda base de más de un símbolo lleva al cero como tal; es obligatorio, es clave en la invención del sistema numérico.

Si, por ejemplo, pensamos en base 11, tendremos 11 símbolos distintos, digamos 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A, y la idea en cuanto a la construcción es exactamente la misma:

0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,10,11...19,1A,...etc...99,9A, A0, A1,A2..., AA, 100, 101...

Cuando se acaban los símbolos de la base, en este caso con A, aparece la necesidad de formar un número de dos símbolos y, como el cero a la izquierda no tiene valor, lo hacemos empezando por el siguiente más pequeño posible, 1, y ya detrás si puede ir el más pequeño, el cero. Este número, 10, coincidirá siempre con el cardinal de símbolos de la base; en este caso, entonces, once se escribe 10 (ó, mejor para el tema éste, 10,000..., con infinitos ceros, como ya dije. Con infinitas cifras; donde “cifras” no es lo mismo que símbolos de la base).

Y así se sigue hasta que aparecen los de cuatro cifras, cinco... sin que esto tenga un límite. Pero no importa que no tenga límite, el sistema numérico está inventado para que cualquier número quede correspondido con un símbolo expresado en una base numérica. Ahí están todos los números que puedan existir (cuando necesitemos coma, con coma). Está es la idea, comprendemos cómo lo hacemos y sabemos, seguro, que todo número real se corresponderá con sólo uno de estos símbolos compuestos ( compuestos con una cantidad finita de símbolos individuales) porque la construcción del sistema sí está terminada; no es un sistema a medio inventar.

Y ahora viene la diferencia entre comprensión (como la que supone entender un sistema numérico de estas características) y extensión.

Si, por el contrario, a los números reales les asignamos garabatos distintos sin más ley que ésa, la de que sean garabatos distintos para cada número distinto, entonces sí que surge un problema; porque es equivalente a una base de infinitos símbolos distintos.

Fíjate en que en el sistema numérico cíclico de finitos símbolos, ya están todos concebidos, todos los números, aunque no hayan “llegado”, porque la cantidad de símbolos si ha llegado, al ser finita, y con ello ya están “ahí” todos los símbolos necesarios y las reglas para la construcción de cada número.

Además, esos símbolos de la base representan siempre números naturales: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C...10... una cantidad finita de números naturales.

No importa que la cantidad de números sea infinita, los números escritos en una base de símbolos finita siempre representaran valores finitos gracias a la coma y los ceros añadidos donde corresponda; no hay problema, el que quiera que lo analice por sí mismo; es claro.

En cambio, con infinitos garabatos aleatorios que no dependen de ninguna construcción, ocurre que, si hay infinitos, nunca están todos; porque como la cantidad de símbolos es infinita, siempre hay algunos (infinitos, de hecho) que no aparecen, y encima dejan de aparecer números naturales, no sólo reales en general. El sistema es incompleto por falta de definición.

Con un sistema númerico en una base finita, no están todos escritos, pero sí están todos concebidos; es decir, cuando necesitemos escribirlos, podremos hacerlo, porque conocemos unas reglas bien definidas para hacerlo. Y de la otra manera sólo podemos inventar un nuevo garabato aleatorio; con lo que será un “sistema” (una falta de sistema, mejor dicho) con el cual no se podrán sacar conclusiones matemáticas rigurosas (como mucho serán conclusiones filosóficas, donde todo puede ser cualquier cosa a gusto del pensador).

Es que con eso no se pueden ni representar los naturales.
Para escribir los naturales sin considerar los reales, basta base 1 (con cualquier símbolo vale, sólo necesitamos uno): 0=0; 1=00; 2=000...

¿Hay algún natural que no esté concebido ahí? No, porque sólo hay un símbolo, no están todos escritos, pero están todos entendidos por comprensión.

Ahora bien, si queremos considerar reales (que incluyen a los naturales) necesitamos dos símbolos y la coma, y, con ello, un sistema algo más elabarado; ése de un solo símbolo no sirve tampoco.

...

Ya seguiré

...

Saludos.

[feriva]

La hipótesis del continuo es muy interesante, pero, para mí, etiquetar los números con infinitos monosímbolos todos distintos es un error, da lugar a paradojas; supone usar una base infinita de símbolos sin que muchos matemáticos, quizá, se haya percatado (tú mismo me lo sugeriste sin darte cuenta, después lo explico).

Quién ha hecho eso?

Tú (sin saber lo que hacías) aquí:

https://foro.rinconmatematico.com/index.php?topic=127079.msg522620#msg522620

Mi contestación aquí:

https://foro.rinconmatematico.com/index.php?topic=127079.msg522625#msg522625

Saludos.