Hola.
En teoría un matemático no debería entender las definiciones de elemento diferencial de longitud, de área y de volumen que se exponen en la mayoría de los libros de física y si los entiende no debería utilizarlos ya que al parecer y según parece no son suficientemente rigurosos o no se ajustan a la ortodoxia.
¿Puedes poner un ejemplo de esas definiciones?
Como ejemplo citaría el calculo que se hace para establecer el campo magnético de un elemento de corriente, cálculo que viene en cualquier libro de física que contenga el electromagnetismo. O el que se realiza para calcular el campo eléctrico de una distribución de cargas. Etc.
No sé si te refieres a esto:
Si tenemos una intensidad estacionaria \[ I \] que circula por una curva \[ \gamma \] parametrizada por una función \[ r(t) \] que la recorre en el sentido de la intensidad, entonces el campo magnético \[ \overrightarrow{B} \] generado en un punto de coordenadas \[ r_0 \] viene dado por (si no recuerdo mal):
\[ \overrightarrow{B}=\int_{\gamma}\displaystyle\frac{\mu_0I}{4\pi}\cdot{}\displaystyle\frac{r'(t)\times{(r_0-r)dt}}{\left\|{r_0-r}\right\|^3} \]
Esto a veces se muestra así:
\[ d{\overrightarrow{B}}=\displaystyle\frac{\mu_0I}{4\pi}\cdot{}\displaystyle\frac{d\overrightarrow{r}\times{(r_0-r)}}{\left\|{r_0-r}\right\|^3} \]
Ambas expresiones vienen a querer decir lo mismo. En mi opinión, la diferencia que pueda haber entre ambas es puramente notacional. Es decir, representan lo mismo y para mí es una manera de definir parcialmente (las leyes de Maxwell generalizan el concepto) el campo magnético. Otra manera equivalente de hacerlo es mediante la ley de Ampere. Pero cualquiera de ellas puede ser tomada como empírica y deducir a partir de ella la otra. Quiero decir que en esto hay poco que entender, la comunidad científica asume que estas leyes sirven para describir razonablemente bien fenómenos que tienen lugar en la naturaleza y ya está.
Por otro lado, no sé a quién incluyes cuando hablas de los matemáticos, pero yo no veo nada en ninguna de las expresiones anteriores que resulte desconocido a alguien mínimamente familiarizado con el cálculo integral. Bueno, quizás el de intensidad o el de campo magnético, pero no creo que vayan por ahí los tiros.
Me intriga lo que has dicho sobre la longitud, el área, el volumen, etc. Insisto, ¿podrías explicarte un poco más?
Y si tienes interés puedo exponer aquí una interpretación del cálculo infinitesimal que no encontraras ni en libros de matemática ni de física y que en mi opinión es suficientemente rigurosa como para ser al menos tenida en cuenta.
Vale. Si es muy larga esa interpretación igual ves poco a poco.
Un saludo.
