Cálculo Infinitesimal
La base del cálculo infinitesimal son los infinitésimos y sus equivalentes los infinitos. Pero qué son esos objetos matemáticos?
Históricamente se ha debatido mucho sobre su concepto y su existencia siendo muchos los matemáticos que los han cuestionado, aunque hoy en dia sabemos lo que realmente son.
Lo primero que debe decirse es que no puede hablarse de cálculo infinitesimal sin la existencia previa de un proceso de paso al límite. Dicho proceso es esencial para poder hablar de infinitésimos e infinitos, y por lo tanto la existencia de tales objetos sólo tiene sentido cuando se establecen en el seno de un proceso tal.
Así pues podemos ya definir los infinitésimos como funciones matemáticas que al ser arrastradas por un proceso de paso al límite alcanzan el valor nulo. Análogamente los infinitos son funciones que crecen o decrecen indefinidamente en el mismo proceso alcanzando valores infinitamente grandes, positivos o negativos.
La característica más importante de dichas funciones no es su valor límite que suele ser conocido sino la rapidez con la que alcanzan dicho valor. Y los resultados más característicos del cálculo infinitesimal se obtienen al comparar la variación de unos respecto de otros. Así por ejemplo el concepto de derivada se obtiene al comparar en el límite 0 la variación de una función respecto de la variación de su variable independiente. Se sabe que si la función es continua dicho incremento es un infinitésimo, es decir se anula, pero al comparar el incremento de la función con el de su variable es cuando en el paso al límite aparece la magia del cálculo infinitesimal. El concepto de integral se obtiene como el límite de la suma de un número creciente de infinitésimos lo que no hace otra cosa que comparar el valor total de un conjunto de infinitésimos cuando su número crece indefinidamente. Y así sucesivamente.
Consideremos una funcion de la forma \( y=f(x) \) y su incremento cuando la variable independiente se incrementa una cantidad igual a \( \Delta x \). Sea dicho incremento:
\( \Delta y=f(x+\Delta x)- f(x) \)
Si la función es continua se puede demostrar que al establecer un proceso de paso al límite en el que \( \Delta x \rightarrow{0} \), es decir es un infinitésimo, entonces \( \Delta y \) también lo será. Y ya tenemos las condiciones adecuadas para poder aplicar el cálculo infinitesimal, puesto que podemos comparar la evolución de ambos infinitésimos. Como realizar la comparación? Pues sencillo basta con ver la evolución del cociente entre ambos infinitésimos, claro está en el límite:
\( y'=\displaystyle\lim_{\Delta x \to 0}{\displaystyle\frac{\Delta y}{\Delta x}} \)
Si dicho límite existe, hay que tener en cuenta que puede no existir, obtenemos así el valor de la derivada de la función \( f(x) \) respecto de su variable \( x \) como consecuencia de un proceso establecido en el seno del cálculo infinitesimal. Cuando dicho límite vale 1 se dice que ambos infinitésimos son equivalentes. Cuando dicho límite no existe se dice que la función no es derivable, aunque esa cuestión ya forma parte de otro tema que no consideraré aquí.
No es difícil darse cuenta de que lo único que se ha hecho aquí es crear dos infinitésimos en el seno de un proceso de paso al límite y establecer un criterio de comparación entre ellos, que es el que nos conduce a la definición de derivada del cálculo diferencial. Pero existen otras formas de comparar infinitésimos, y veremos como algunas de ellas conducen a otras cuestiones que son también pilares básicos de otras ramas del cálculo, como las integrales.
Veamos otras formas de comparar dos infinitésjmos entre si. Puede calcularse el logaritmo de uno de ellos usando como base del logaritmo el otro infinitésimo:
\( r=\displaystyle\lim_{\Delta x \to 0}{Log}_{\Delta x}\Delta y=\displaystyle\lim_{\Delta x \to 0}\displaystyle\frac{Log \Delta y}{Log \Delta x} \)
Conforme a las reglas del álgebra para los logaritmos. Expresion que nos devuelve el orden relativo entre ambos infinitésimos, es decir si el infinitésimo del numerador es un infinitesimo de tercer orden y el del denominador lo es de segundo orden, en el proceso de paso al límite común, dicha expresión nos devolverá 3/2. Cuando ambos infinitésimos son del mismo orden dicha expresión devuelve el valor 1. No puedo todavía adelantar la utilidad de dicha expresión pero la tiene, y mucha.
Consideremos a continuacion el caso de las series infinitesimales, problema en el que se suma un numero creciente de infinitésimos. La suma de infinitos infinitésimos puede adoptar en principio cualquier valor, finito, infinito, positivo o negativo. Y dicho valor dependerá de como varíen los infinitésimos en función de como crezca en numero de sumandos, es decir es una expresión de la forma:
\( \displaystyle\lim_{n \to\infty}{\displaystyle\sum_{i=1}^n{\epsilon}_i} \)
En la que el proceso de paso al limite hace que el numero de sumandos crezca indefinidamente hasta hacerse infinito pero cada uno de los sumando tienda a anularse ya que todos ellos son infinitésimos. Resulta evidente que el resultado de la[ suma dependerá de la forma en que varíen cada una de los sumandos cuando su numero crece indefinidamente. Con objeto de simplificar la exposición supondré que todos los sumandos son infinitésimos del mismo orden. Lo que hace que dicha serie sea infinitesimal homogénea. Puede demostrarse, aunque no lo haré aquí, que este tipo de series, las homogéneas, solo son sumables cuando la comparación logaritmica entre uno cualquiera de los sumandos y el infinitésimo obtenido como el inverso del numero de sumandos devuelve un orden relativo igual a 1, o lo que es lo mismo:
\( 1+\displaystyle\lim_{n \to\infty}log_{n}{\epsilon_i}=0 \)
resultado importantísimo en la geometria fractal, ya que permite definir la dimensión fractal, y establecer su valor para muchos fractales, aunque esto es otra historia que no contaré aquí.
Consideremos ahora una funcion continua \( y(x) \) definida en un intervalo \( [a, b] \) y dividamos dicho intervalo en n partes iguales, que denominare \( \Delta_i x \) y consideremos el incremento de la función en cada uno de ellos, incremento que llamaré \( \Delta_i y \), y ahora realicemos la suma de todos ellos, se tiene entonces que:
\( \Delta y=\displaystyle\sum_{i=1}^n{\Delta_i y}=y(b)-y(a) \)
Igualdad que define la integral como límite de la suma de infinitos infinitésimos, y que junto con la definición de derivada que ya expuse, sientan las bases del calculo diferencial e integral:
\( y'=\displaystyle\lim_{\Delta x \to 0}{\displaystyle\frac{\Delta y}{\Delta x}}=\displaystyle\frac{dy}{dx} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\\ \\\ \\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \Delta y=\displaystyle\sum_{i=1}^n{\Delta_i y}=y(b)-y(a)=\displaystyle\int_{a}^{b}dy \)
En resumen, cabe decir que el cálculo infinitesimal, es una rama de las matemáticas tan rigurosa como puedan serlo otras, que los infinitésimos son objetos matemáticos precisos, y que su uso conduce a la demostración de muchos teoremas fundamentales de la matemática, en cálculo y en otras ramas, tales como la geometría. Lo que es necesario es saber que son, conocer su definición, sus propiedades, y aplicar las reglas que los regulan correctamente, sino se expone uno al riesgo de decir la
sarta de barbaridades que sobre ellos se ha dicho en este hilo. Fueron Newton y Leibniz quienes establecieron los fundamentos de dicho cálculo, aunque su uso es muy anterior, ya en la antigua Grecia se usaron con éxito y todavía hoy conservan la frescura y el rigor que encontraron en ellos quienes los utilizaron. Por favor respetemos la historia de las matemáticas, si ni siquiera somos capaces de respetar eso, que nos queda?
En la actualidad, salvo unos matices que haré después, es que si tomas un libro y ves que hablan de infinitésimos, lo que puedes concluir sobre él es que no es un libro riguroso, y que las demostraciones que aparezcan en él involucrando infinitésimos no son realmente demostraciones, en el sentido de que con infinitésimos se puede demostrar cualquier cosa, tanto si es verdadera como si es falsa
Por favor ...
