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Geometría y Topología / Re: Convergencia en espacios métricos
« en: Ayer a las 05:52 pm »HolaPor ejemplo: no se puede demostrar matemáticamente que el símbolo \( 2 \) denota el número dos, porque en principio \( 2 \) no es una proposición lógica sino simplemente un símbolo que representa al dos. Del mismo modo no se puede demostrar que la cadena de símbolos \( \lim_{n\to \infty }x_n=a \) significa lo mismo que \( \forall \epsilon >0,\exists N\in \mathbb{N}: n\geqslant N\implies d(x_n,a)<\epsilon \), porque la primera es un sinónimo de la segunda.
Pero creo que no estamos liando otra vez.
Tenemos estas dos definiciones:
Definición 1. Dada \( \{x_n\}\subset (X,d) \)
\( \displaystyle\lim_{n\to \infty }x_n=a \) significa que \( \forall \epsilon >0,\exists N\in \mathbb{N}: n\geqslant N\implies d(x_n,a)<\epsilon \)
Definición 2: Dada \( \{y_n\}\subset \Bbb R \)
\( \displaystyle\lim_{n\to \infty }y_n=y \) significa que \( \forall \epsilon >0,\exists N\in \mathbb{N}: n\geqslant N\implies |y_n-y|<\epsilon \)
La segunda definición aplicada a \( y_n=d(x_n,a) \) e \( y=0 \) dice que:
Definición 2':
\( \displaystyle\lim_{n\to \infty }d(x_n,a)=0 \) significa que \( \forall \epsilon >0,\exists N\in \mathbb{N}: n\geqslant N\implies |d(x_n,a)-0|<\epsilon \)
Entonces concuerdo con lo dicho por ani_pascual y que ya se había comentado antes en el hilo: si tiene sentido demostrar que:
\( \{x_n\}\subset X\stackrel{d}{\longrightarrow} a \Longleftrightarrow \{d(x_n.a)\}\subset\mathbb{R}\stackrel{|\cdot |}{\longrightarrow } 0 \)
aunque la demostración se prácticamente inmediata.
Es decir, lo que piden demostrar no es EXACTAMENTE la definición.
Saludos.
Ok, me he liado, tienes razón, he perdido el hilo del tema, paso a censurar mi anterior mensaje. Por el último mensaje de FedeFrontera creí que pedía demostrar la definición, pero viendo el mensaje original, el primero del tema, veo que no es así.
FedeFrontera, para demostrar que \( x_n\to a\iff \lim_{n\to\infty }d(x_n,a)=0 \) es suficiente con demostrar que \( |d(x_n,a)-0|=d(x_n,a) \), ya que la definición de \( \lim_{n\to\infty }d(x_n,a)=0 \) es
\( \displaystyle{
\displaystyle{ \forall \epsilon >0,\exists N\in \mathbb{N}: n\geqslant N\implies |d(x_n,a)-0|<\epsilon }
} \)
\displaystyle{ \forall \epsilon >0,\exists N\in \mathbb{N}: n\geqslant N\implies |d(x_n,a)-0|<\epsilon }
} \)
Y la definición usual de \( x_n\to a \) en un espacio métrico es
\( \displaystyle{
\displaystyle{ \forall \epsilon >0,\exists N\in \mathbb{N}: n\geqslant N\implies d(x_n,a)<\epsilon }
} \)
\displaystyle{ \forall \epsilon >0,\exists N\in \mathbb{N}: n\geqslant N\implies d(x_n,a)<\epsilon }
} \)