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Mensajes - Masacroso

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Cálculo 1 variable / Re: Derivada de una serie
« en: Ayer a las 11:30 pm »
Bueno creo que demostrar que \( \displaystyle \lim_{h \to{}0}{\left |{g(x,h)-g(x,0)}\right |}=0  \) es trivial.

Pero todavía no tengo claro en qué influye que \( x>-1 \) y que \( h>-(x+1) \) para ver si me puede explicar.

Observa que \( x>-1 \) ya que si \( x=-1 \) entonces \( 1+x=0 \), es decir, la serie estaría indeterminada. Igualmente se podría extender el rango de la función a intervalos de números negativos pero es algo laborioso y pesado, es más sencillo asumir (o imponer) que \( x>-1 \). Que \( h>-(1+x) \) es para lo mismo: es la condición que asegura que ningún denominador es cero, dado un \( x>-1 \). A partir de eso tenemos que, eligiendo un rango cerrado de valores de \( h \) (para un \( x \) determinado) entonces las series convergen uniformemente respecto de \( h \).

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Cálculo 1 variable / Re: Derivada de una serie
« en: Ayer a las 02:54 am »
Primero quiero ver si la derivada de la sucesión converge uniformemente.

Entonces, \( \displaystyle f^{\prime}_n(x)=\frac{n(n+x)-nx(n+1)}{n^2(n+x)^2} \)

\( \Longrightarrow{}\displaystyle \lim_{n \to{}\infty}{\frac{n(n+x)-nx(n+1)}{n^2(n+x)^2}}=0 \)

Por lo tanto la sucesión converge localmente a \( f(x)=0 \)

Eso no está bien, que el límite de la sucesión converja a cero no demuestra que la serie converja, lo que tiene que converger es la serie. En verdad es mucho más fácil de lo que suponía ya que sólo te piden confirmar que la derivada existe. Si \( f_n(x):=\frac{x}{n(n+x)} \) entonces tenemos que

\( \displaystyle{
f'(x)=\lim_{h\to 0}\sum_{n\geqslant 1}\frac{f_n(x+h)-f_n(x)}{h}=\lim_{h\to 0}\sum_{n\geqslant 1}\frac{(n+x)(x+h)-(n+x+h)x}{h n(n+x)(n+x+h)}=\lim_{h\to 0}\sum_{n\geqslant 1}\frac1{(n+x)(n+x+h)}
} \)

Ahora simplemente observa que para cada \( x>-1 \) y \( h>-(x+1) \) la serie converge (puntualmente). Si definimos \( g(x,h):=\sum_{n\geqslant 1}\frac1{(n+x)(n+x+h)} \), entonces para demostrar que \( f'(x)=g(x,0) \), para cualqueir \( x>-1 \) elegido, te basta con demostrar que \( \lim_{h\to 0}|g(x,h)-g(x,0)|=0 \). Con lo dicho seguro ya puedes resolverlo, ahí te lo dejo.

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Cálculo 1 variable / Re: Derivada de una serie
« en: 19 Octubre, 2020, 02:11 am »
Sea \( f(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^\infty{\frac{x}{n(n+x)}} \) mostrar rigurosamente que \( f \) es diferenciable.

No tengo claro como realizar la demostración, si me pidieran demostrar en cierto punto tendría más idea pero de manera general no veo el camino.

Utiliza la definición de derivada en un punto y mira si puedes mover el límite dentro de la sumatoria, por ejemplo observando si la sumatoria converge uniformemente, aunque lo haga localmente.


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Análisis Funcional - Operadores / Re: Matriz en \[\ell_2\]
« en: 18 Octubre, 2020, 02:31 am »
Hola.
En ejemplo se pide que \[a_{ij}\geq 0\] para todo \[i, j\]. Por lo que veo problema para el ejercicio en esta expresión,
\[\sum_{j=1}^{\infty} a_{i j} x_{j}=\sum_{j=1}^{\infty} \sqrt{a_{i j}} \sqrt{p_{j}} \frac{\sqrt{a_{i j}} x_{j}}{\sqrt{p_{j}}}\].



Puedes asumir sin pérdida de generalidad que los coeficientes son no negativos, simplemente recuerda que

\( \displaystyle{
\sum_{k\geqslant 1}|y_k|<\infty \implies \left| \sum_{k\geqslant 1}y_k \right|<\infty
} \)

Es decir que puedes hacer la demostración asumiendo que los \( a_{ij} \) son todos no-negativos, y al demostrar ese caso demuestras automáticamente el caso general.

Añado: lo clarifico un poco: supongamos que \( B \) es el operador cuyos coeficientes son los valores absolutos de los de \( A \). Entonces como \( B(x)\in \ell ^2 \) para todo \( x\in \ell  \) y \( \| B\|<\infty  \) es fácil de ver que \( \|A(x)\|\leqslant \|B(x)\| \), y por tanto \( \|A\|\leqslant \| B\| \).

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Análisis Funcional - Operadores / Re: Matriz en \[\ell_2\]
« en: 17 Octubre, 2020, 11:52 pm »
Me tenía mosqueado este problema, pero desde luego suponía que no había forma simple de resolverlo porque a los indios les encanta el cálculo (a mí no :P). En la página 43 del libro te describen cómo resolver el ejercicio, simplemente toma \( \beta =\gamma =\sum_{k\geqslant 0}|a_k| \) y \( p_j=1 \) para todo \( j \). El resultado es inmediato, al igual que la cota a la norma del operador.

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Probabilidad / Re: Problema de Función de Distribución Acumulada
« en: 15 Octubre, 2020, 06:33 pm »
Ahora en el caso de la segunda rama, en dado caso que fuera de esta manera
\( -x^3+2x^2 \)   si \( 0\leq{}x<? \)
como haria para encontrar esa cota superior?

La función de distribución te la tienen que dar, es decir, el valor de \( a \) en \( 0\leqslant x<a \) podría ser cualquiera siempre y cuando la función resultante \( f \) sea una función de distribución, es decir, no-decreciente, continua por la derecha en todos sus puntos y tal que \( \lim_{x\to -\infty }f(x)=0 \) y \( \lim_{x\to \infty }f(x)=1 \).

En tu caso particular valdría cualquier valor de \( a \) que cumpliese estas condiciones:

1) Que \( \lim_{x\to a⁻}f(x)\in[0,1] \).

2) Que \( f \) sea creciente en \( [0,a] \).

Vemos que para \( g(x):=-x^3+2x^2 \) se da el caso de que \( g(1)=1 \), y que \( g \) es estrictamente creciente en \( [0,1] \) así que, en principio, cualquier valor en \( [0,1] \) es posible para \( a \). Ahora vemos que no podía ser \( a=5 \) ya que si fuese así existirían valores de \( f \) mayores a uno, por lo que \( f \) no sería creciente en ese tramo y por tanto no cumpliría una de las condiciones para ser una función de distribución.

Si tomamos \( a=1 \) entonces nos queda una función \( f \) continua, en cualquier otro caso sería discontinua.

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Probabilidad / Re: Problema de Función de Distribución Acumulada
« en: 15 Octubre, 2020, 04:30 pm »

Hola amigos, tengo el siguiente problema de función de distribución acumulada.

El número de visitas (en millones) que un vídeo musical subido a la red puede alcanzar en cierto instante de tiempo se define como una variable aleatoria continua cuya función de distribución acumulada se comporta de la siguiente manera:

\( f(x)= \left\{ \begin{array}{lcc}
             0 &   si  & x < 0 \\
             \\ -x^3+2x^2 &  si & 0 \leq{} x < 1 \\
             \\ 1 &  si  & x \geq{} 5
             \end{array}
   \right. \)

Tengo dudas sobre estas preguntas. La primera denota un intervalo que no esta contemplado en la función antes descrita
por lo que me imagino que habrá que hacer algo para que se obtenga unos numeros correspondientes al intervalo \( [0,1] \)
luego de haber calculado la integral. Pero no se si esos números super grandes van en esa integral.

No entiendo bien a qué te refieres, la función de arriba está definida en todo \( \mathbb{R} \). Entiendo que hay un error y la última rama debería ser para \( x\geqslant 1 \) en vez de para \( x\geqslant 5 \), o bien que la rama intermedia esté definida en \( [0,5) \) en vez de en \( [0,1) \). En cualquier caso voy a asumir que debería ser \( x\geqslant 1 \) en la última rama.

Citar
¿Cuál es la probabilidad de que un vídeo musical escogido al azar genere entre 500 mil y 850 mil visitas?

En promedio, ¿Cuántas visitas obtendrá un vídeo musical subido a la red?

Agradezco sus comentarios.


Tienes una variable aleatoria \( X \) con distribución \( f \) y te piden

1. Calcular \( \Pr [\frac12\leqslant X\leqslant \frac{17}{20}] \) (ya que 500000 son medio millón, y 850000 son 17/20 millones) .

2. Calcular la esperanza de \( X \), que se suele denotar por \( \mathrm{E}[X] \).

Por definición tienes que \( \Pr [a< X\leqslant b]=f(b)-f(a) \), y en este caso en particular, ya que la función de distribución es continua, tienes que \( \Pr [a<X\leqslant b]=\Pr [a\leqslant X\leqslant b] \), con eso hallas fácilmente lo que te piden en la primera pregunta.

También tienes que, al ser \( f \) diferenciable casi en todas partes (excepto a lo sumo en dos puntos) entonces \( X \) tiene función de densidad dada por la derivada de \( f \) (allá en donde ésta existe, los puntos en los que no existe son ignorados), entonces

\( \displaystyle{
\mathrm{E}[X]=\int_{\mathbb{R}}xf'(x)\mathop{}\!d x=\int_{0}^1 x(-3x^2+4x) \mathop{}\!d x
} \)

ya que más allá del intervalo \( [0,1] \) la función \( f \) es constante y por tanto su derivada es cero.

Corrección: perdón la unidad de \( f \) es el millón.

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Probabilidad / Re: Problema de Distribucion
« en: 14 Octubre, 2020, 08:06 pm »
Muchisimas gracias, claro lo que escribiste, sin embargo aun no tengo claro como identificar que tipo de distribucion.

No necesitas conocer su distribución para resolver el problema, piensa lo siguiente: ¿cuál es la posibilidad de que el primer vídeo sea bueno? ¿Y de que el segundo también sea bueno habiendo sido el primero bueno? Etc...

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Probabilidad / Re: Problema de Distribucion
« en: 14 Octubre, 2020, 07:29 pm »
Jaja... qué gracioso el enunciado ¡adaptado a los tiempos modernos! El número de cervezas es siempre proporcional al número de videos buenos que se hayan elegido. Hay que asumir en el problema que la probabilidad de que un vídeo sea elegido es igual para cualquiera de los seis videos, como tiene que elegir tres vídeos y hay sólo dos defectuosos entonces necesariamente tendrá que pagar al menos dos cervezas, eso responde la última pregunta.

Para la primera: pagar menos de seis cervezas es equivalente a decir que, eligiendo al azar, deben salir menos de tres vídeos perfectos, es decir, que al menos uno de los tres sea defectuoso. Tienes dos posibilidades: o bien tienes dos videos perfectos y uno defectuoso o bien tienes dos vídeos defectuosos y uno bueno, como son dos eventos mutuamente incompatibles la probabilidad que buscas es la suma de la probabilidad de cada uno de ellos, espero que con eso sepas ya resolver el problema (la distribución no es binomial, entiendo que una vez elegido un vídeo no se puede volver a elegir, de otro modo la última de las preguntas no tendría sentido).

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Pero \( a_1 \) no debería dar\(  \frac{2}{11} \)?

Sí, tienes razón, sigue sin cuadrar. Mañana lo reviso.

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Buenas. Seguramente sea algo muy tonto pero no consigo resolverlo. El enunciado dice:

La enésima suma parcial de la serie \( \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_n \) está dada por \( \displaystyle S_n = \frac{n + 1}{n + 10} \)

Escribe una regla para \( a_n \).



Se me ocurre algo como \( \displaystyle  \frac{n + 1}{n + 10} - \frac{n}{n + 9} \)

pero el primer término no me cuadra así (y si intento que cuadre lo que no me cuadra es el resto XD).. Alguna idea?

Saludos.

Yo lo veo bien, ¿a qué te refieres con que el primer término no te cuadra? ¿Te refieres a \( a_1 \)? El término general viene dado, como has visto, como \( a_n=S_n-S_{n-1} \), entendiendo que \( S_n=\sum_{k=1}^n a_k \), lo que nos deja

\( \displaystyle{
a_n=\frac{n+1}{n+10}-\frac{n}{n+9}=\frac{(n+1)(n+9)-n(n+10)}{(n+10)(n+9)}=\frac{9}{n^2+19n+90}, \quad \color{red}{\text{ para }n\geqslant 2}
} \)

está mal
Por tanto \( a_2=\frac{9}{12\cdot 11} \), y como \( a_1+a_2=S_2 \) entonces necesariamente \( a_1=S_2-a_2=\frac{3}{12}-\frac{9}{12\cdot 11}=\frac{3\cdot 11-9}{12\cdot 11}=\frac{12}{11} \).

CORREGIDO: cierto, había truco... no podemos utilizar la fórmula para el primer elemento de la serie ya que la fórmula sólo es válida para \( n\geqslant 2 \).
[cerrar]

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Buenas,

Este año, acabaré el colegio. Mis clases han sido en modo virtual y en este modo descubrí mi gusto por los números; pero hay mucho temas que no comprendo y peor aún siento que la base matemática necesaria para el paraíso matemático no es suficiente; desearía que me puedan recomendar libros, artículos, blogs para empezar este camino numérico... por favor, en español antes que inglés, aún no domino ese idioma a la perfección.

Gracias

En la academia de Khan tienes un montón de cursos interactivos en castellano. Hay muchas cosas ahí de matemáticas que seguro desconoces.

Luego, para ver cosas más avanzadas tienes el excelentísimo blog de Fernando Revilla, ahí hay cosas muy avanzadas pero otras que quizá sí puedas abordar. También puedes probar a descargarte algunos apuntes de primer año de matemáticas universitarias, suelen estar disponibles en muchas universidades, puedes buscar con google, ir descargando y ver si es demasiado avanzado o no, etc...

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Probabilidad / Re: Esperanza condicional
« en: 12 Octubre, 2020, 09:48 am »
Me pueden ayudar con este problema  :banghead:

Sean \( X \) y \( Y \) variables aleatorias con densidad conjunta dada por:

\( f(x,y)=\begin{cases}e^{-x(y+1)}&\text{si } x>0, 0<y<e-1\\0 & \text{en otro caso} \end{cases} \)

Encuentra:
* La densidad condicional \( f(x|y) \) de \( X \) dado que \( Y=y \)
*El valor de \( \mathbb{E}(X|Y=y) \), ¿cómo se distribuye \( \mathbb{E}(X|Y) \)
*El valor de \( \mathbb{E}(X) \) de dos formas distintas: Utilizando las propiedades de la esperanza
condicional y de la manera usual.


¿Qué has intentado? ¿En qué parte de la teoría te has bloqueado?

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Estructuras algebraicas / Re: Generado por dos conjuntos.
« en: 09 Octubre, 2020, 04:45 am »
Hola a todos, tengo esta pregunta.

Si tengo   \( H \) y \( K \) subgrupos normales de un grupo \( G  \), entonces  \( \left<{H\cup{K}}\right> \) es un grupo abeliano.
pdta:  No sé si esta bien formulada la pregunta para que tenga sentido.

No, no tiene por qué. Supón que \( H \) es un subgrupo normal de \( G \), entonces \( G \) también es normal y \( H\cup G=G \), que no tiene por qué ser abeliano.

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La identidad a demostrar es falsa, un contraejemplo sencillo es la función \( f: \mathbb{R}\to \mathbb{R},\, x\mapsto x+1 \), la cual es cóncava y convexa pero no es lineal.

P.D.: se me adelantó Luis por unos segundos. También es coincidencia que nos dé por contestar a esto al mismo tiempo a estas horas de la mañana  :D

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Cálculo de Varias Variables / Re: Unicidad de la serie de Taylor.
« en: 05 Octubre, 2020, 05:20 am »
Hola a todos.
Me piden demostrar que la serie de Taylor es única, el problema es que intente pensar en otra serie de Taylor con resto distinto, pero no llego a nada. Gracias.

Las series de Taylor no tienen restos, dirás un polinomio de Taylor con el resto correspondiente asociado. No es tan difícil: dado un polinomio de Taylor de grado \( n \) de una función \( f \) (al menos \( n \) veces diferenciable) entonces la función resto es necesariamente única ya que tanto la función como el polinomio lo son, es decir, si

\( \displaystyle{
P_n(f,a)(x):=\sum_{k=0}^n f^{(k)}(a) \frac{(x-a)^k}{k!}\quad \text{ y }\quad f(x)=P_n(f,a)(x)+R_n(f,a)(x)
} \)

entonces necesariamente \( R_n(f,a)(x)=f(x)-P_n(f,a)(x) \), y como \( f \) y \( P_n(f,a) \) son únicas entonces \( R_n(f,a) \) también lo es.

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Foro general / Re: Quino
« en: 01 Octubre, 2020, 01:32 pm »
Alguien que hacía pensar sobre las tribulaciones humanas... pocas cosas tan admirables como esa se me ocurren. Ochenta y ocho años, ahí es . DEP.

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Los signos negativos en las expresiones de \( E(X) \) y \( E(X^2) \) son erróneos, fíjate que la varianza te sale negativa, lo cual es imposible.

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Foro general / Re: Linealidad
« en: 27 Septiembre, 2020, 03:58 pm »
Pero la realidad, en general, no es lineal, es más bien caótica y muestra casi siempre fenómenos no lineales como la saturación o el retardo (la histéresis) o la plasticidad de los materiales, y su comportamiento dista mucho de un comportamiento tan sencillo como la linealidad. No será que buscamos la linealidad en los modelos porque son mucho más fáciles de tratar e incluso forzamos la tecnología para que las máquinas funcionen dentro de rangos de trabajo en los que la linealidad es razonable, como el comportamiento elástico de los materiales, evitar la saturación de los materiales, obtención ciclos de histéresis mínimos, etc. Cuando oigo decir que las matemáticas se ajustan bien a la naturaleza de las cosas tengo que sonreir porque no existe probablemente nada más lejos de la realidad que una afirmación como esa. Quizás sea más correcto decir que las matemáticas se ajustan bien a nuestra percepción o incluso que nuestra percepción se ajusta más bien a las matemáticas pero la realidad es otra cosa.

Salu2

Sí, así es, la "realidad" es esencialmente no-lineal, y si se me permite el término, en general no es susceptible de ser analizada. Sin embargo nuestra noción de continuidad y suavidad (al menos en los espacios euclídeos) permite reducir la complejidad de movimientos no-lineales a movimientos aproximadamente lineales en el corto plazo.

En general los fenómenos que más nos interesan suelen ser modelados en espacios reales o complejos, y las funciones que los describen ser suficientemente suaves como para que podamos pensar el fenómeno como localmente lineal, que es justamente nuestra idea de derivada. Raro es el fenómeno que no se puede aproximar con un modelo suave y continuo, que implica la noción de linealidad en cada punto, es decir, de derivada. Básicamente lo lineal es la manera más sencilla que tenemos de aproximar y analizar lo no lineal.

También ocurre que nuestros sentidos están diseñados para percibir estos tipos de fenómenos continuos y suaves, es decir, la "realidad" común que nos rodea suele tener estar características: no vemos teletransportes ni cambios bruscos de dirección, por ejemplo, las pocas "discontinuidades" o brusquedades suelen ser el principio e inicio de un fenómeno, como al encender la televisión o poner un tema musical para escuchar, pero en general todo suele ser bastante continuo y suave.

Tal es así para nosotros que, incluso aunque no hubiesen tales condiciones de continuidad y suavidad, nosotros las ponemos ahí, como es por ejemplo el fenómeno de ver y observar causalidad en lo que ocurre (aunque no la haya).

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Hola, tengo que demostrar lo siguiente:
Sea \(  p: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} , \ x \rightarrow p(x)=ax^{2n} + q(x)  \) con \( a \in \mathbb{R}^{+}, \ n \in  \mathbb{N}  \) y \(  q  \) un polinomio de grado menor o igual que \(  2n-1  \). Probar que existe \(  min_{x \in \mathbb{R}} \ p(x)  \).

¿Alguien podría darme una pista de cómo empezar?
Gracias por adelantado.

Mira a ver lo que pasa cuando \( x\to \infty  \) y cuando \( x\to -\infty  \).

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