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Temas - Masacroso

Páginas: [1] 2
1
Traigo una pregunta que vi esta mañana en MSE y me ha dejado "en shock", al plantear algo imposible pero que, al menos a mí, me resulta difícil dilucidar sus causas. Dice así:

Sea \( \{X_n\} \) una sucesión de variables aleatorias con varianza finita e idénticamente distribuidas bajo la medida de probabilidad \( P \). Entonces una de las versiones de la ley fuerte de los grandes números nos dice que "la media muestral" \( \bar X_n:=\tfrac1n\sum_{k=1}^nX_k \) converge hacia la "media teórica" \( \mathrm{E}_P[X_1] \) casi seguro.

Ahora viene el intríngulis: si tenemos otra medida de probabilidad \( Q \) que es equivalente a \( P \) como medida, es decir que un conjunto medible es nulo solo si lo es para ambas medidas a la vez, y que \( f:=\frac{\mathop{}\!d Q}{\mathop{}\!d P}\in L^2(P) \), entonces tenemos que \( \bar X_n \) también converge casi seguro a la media \( \mathrm{E}_Q[X_1] \), definida por la medida \( Q \).

Hay un error oculto (o no tanto para miradas audaces ;)) en el planteamiento de arriba, la posible solución (aunque sin demostración) esgrimida en MSE abajo en spoiler:

Spoiler
Notar que \( \mathrm{E}_P[X_1]=\mathrm{E}_Q[X_1] \) no es cierto en general, como puede comprobarse fácilmente tomando por ejemplo la medida de Lebesgue en \( [0,1] \) y la medida equivalente \( 2x\mathop{}\!d x  \) y una variable aleatoria como \( X(t):=t \) en ese espacio de probabilidad. El error parece estar en asumir que, bajo otra medida equivalente \( Q \), la sucesión \( \{X_n\} \) sigue siendo independiente e idénticamente distribuida.
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Probabilidad / Límite de una sucesión de probabilidades
« en: 20 Septiembre, 2020, 10:37 am »
Me he encontrado un problema que no sé si tiene fácil solución o si es resoluble. Dice así: supongamos que tiramos un dado un número infinito de veces y llamamos \( p_n \) a la probabilidad de que \( n \) aparezca en la sucesión de sumas parciales de haber tirado los dados. ¿Es posible hallar el valor de \( \lim_{n\to\infty}p_n \)?

Ojo que no sé si esto es resoluble más allá de una aproximación numérica. Lo dejo aquí por si alguien sabe cómo resolverlo o al menos decir si la solución es finita y desconocida.

Sé como calcular los valores de \( p_n \) pero es bastante aparatoso y no aclara nada, es decir, no es fácil de ver si la sucesión de \( p_n \) converge a algo.

3
Foro general / El teorema de las disecciones de Dudney
« en: 14 Septiembre, 2020, 10:52 pm »
Os dejo este vídeo que han subido hoy a uno de mis canales de youtube favoritos de matemáticas, seguro os gustará:

https://www.youtube.com/watch?v=kTka84UJp2I

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Dudas y sugerencias del foro / El operador \sen no funciona del todo bien
« en: 03 Septiembre, 2020, 02:50 am »
Pues eso: he observado que si escribimos \sen x se representa como \( \sen x \), es decir, no hay espacio entre la n y la x porque quizá haya sido definida como

Código: [Seleccionar]
\newcommand{\sen}{\rm sen}
o

Código: [Seleccionar]
\newcommand{\sen}{\text{sen}}
o alguna otra cosa semejante. La forma más sencilla y adecuada de definir la función seno sería con algo como

Código: [Seleccionar]
\newcommand{\sen}{\operatorname{sen}}
Con ese comando los espacios entre el nombre de la función y otros elementos es el adecuado. La definición actual debe estar en el archivo de configuración de mathjax de la página web, si no me equivoco.

5
Off-topic / Una forma "paradójica" de concretizar lo abstracto
« en: 12 Agosto, 2020, 03:19 pm »
He descubierto una cosa muy curiosa que desconocía por completo sobre las abstracciones, y es que éstas, en cierta manera, siempre son relativas. Vamos a los detalles, que aquí lo son todo: resulta que me he puesto a estudiar (de nuevo) álgebra abstracta (todo esto a raíz de que me molestaba bastante el no tener un entendimiento suficientemente "intuitivo" del álgebra exterior, es decir, en particular de las razones por las que la noción de volumen está relacionada con un mapa multilineal antisimétrico, las intuiciones y explicaciones habituales sobre este tema me son insuficientes), pero ya había estudiado álgebra abstracta hace años, lo que pasa es que siempre he tendido a olvidarla a pesar de hacer muchas demostraciones y ejercicios, y la razón de esta tendencia es que es demasiado poco intuitiva, demasiado formal y poco visual. En definitiva: demasiado abstracta (como su propio nombre indica).

Pero esta vez para su estudio decidí escoger un camino menos tradicional y me he puesto con el libro de Paolo Aluffi que enseña esta disciplina desde un punto de vista esencialmente categorial. Mi sorpresa es que, si bien al principio tuve que esforzarme hasta que entendí bien el tema de las categorías (al menos en lo básico), después de eso el álgebra abstracta dejó de ser tan abstracta por lo que mi capacidad de entendimiento aumentó notablemente.

Y aquí viene la cuestión del tema: dejó de ser abstracta (o perdió gran parte de su abstracción) precisamente por estudiarla desde un contexto mucho más abstracto aún como es la teoría de las categorías. Y he aquí mi descubrimiento: la abstracción de algo es una percepción relativa a un contexto, como no podía ser de otro modo, que aunque parezca una perogrullada no es algo evidente en inicio, o al menos no para mí. Por tanto hay varias maneras de concretizar un tema: uno es dando ejemplos concretos, para tener una idea de a qué se refiere aquél objeto abstracto del que se habla (dar casos particulares), y la otra manera es dotar a una materia abstracta de un contexto mucho más abstracto aún, de tal forma que las abstracciones primeras aparezcan como concreciones o casos particulares de las segundas.

En definitiva vuelvo a descubrir (como ya comenté en otros hilos anteriormente) que para mí el entender algo se reduce a tener un buen contexto sobre el objeto de estudio: de poco me sirve estudiar algo poco contextualizado, o me rinde muchísimo menos, lo que no sabía es que se puede concretizar lo abstracto mirando desde más arriba, como es el caso que relato en este hilo.

Bueno, eso es lo que quería compartir, espero que a alguien le resulte útil o interesante. Cualquier queja sobre el asunto que hablen antes con mi abogado  :P

6
Tengo una idea para mejorar la velocidad de carga de la web, lo cual sería interesante para aquellos que suelen postear desde el móvil. La idea es bastante simple, y es dar la opción en las preferencias del foro de utilizar KaTeX como renderizador de las fórmulas de LaTeX en vez de MathJaX:

https://katex.org/

El renderizado en KaTeX es muchísimo más rápido que en MathJaX (como poco cuatro veces más rápido).

Dicho esto habría algunos inconvenientes ya que KaTeX no soporta todas las construcciones de MathJaX pero sí la inmensa mayoría de ellas. Aparte de eso habría que parchear manualmente el plugin de KaTeX para que adapte algunas (muy pocas en verdad) de los comandos que utiliza y hacer las expresiones de LaTeX ya escritas compatibles con KaTeX, me explico, en KaTeX se utiliza "aligned" en vez de "align*" para construir ecuaciones alineadas, que yo sepa aligned no existe en MathJaX ni align* en KaTeX pero hacen básicamente lo mismo.

Para el uso común que se hace de MathJaX en este foro apenas se notaría la diferencia.



EDICIÓN: añado un enlace donde se puede ver una comparativa en velocidad de renderizado entre KaTeX, MathJaX 2.7 y MathJaX 3.0:

https://www.intmath.com/cg5/katex-mathjax-comparison.php

7
Propuestos por todos / ¿Qué distribución es ésta?
« en: 25 Abril, 2020, 09:16 am »
Me he encontrado un ejercicio de teoría de probabilidad que me ha parecido interesante.

Sea \( E \) un conjunto finito con la topología discreta y con \( \sigma  \)-álgebra de Borel (es decir el conjunto potencia en este caso). Entonces podemos definir una medida de probabilidad en \( E \) por \( \mu _p:=\sum_{k=1}^{\# E}p_k \delta _{x_k} \) donde

  • \( \# E \) es la cardinalidad del conjunto \( E \)
  • \( p=(p_1,p_2,\ldots ,p_{\# E}) \) es un vector de probabilidad (es decir que sus coordenadas \( p_k \) toman valores en \( [0,1] \) y \( \sum_{k=1}^{\# E}p_k=1 \))
  • los \( x_k \) son los elementos del conjunto \( E \), donde \( k\in\{1,\ldots ,\# E\} \)
  • \( \delta _y(A) :=\mathbf{1}_{A}(y ) \) es simplemente la medida de Dirac asociada al punto \( y \in E \)

Ahora definimos la topología producto en \( E^{\mathbb{N}}:= \prod_{k\geqslant 1}E_k \), donde \( E_k=E \) para todo \( k\in \mathbb{N} \), y la correspondiente \( \sigma  \)-álgebra de Borel. También definimos la medida producto generada a partir de \( \mu _p \), sea esta medida producto \( P:= \prod_{k\geqslant 1}\mu _{k,p} \) donde \(  \mu _{k,p}= \mu _p \) para todo \( k \in \mathbb{N} \). Se puede verificar que \( P \) es una medida de probabilidad en \( E^{\mathbb{N}} \) al igual que \( \mu _p \) lo es en \( E \).

Ahora tomamos \( E:=\{0,1\} \) y \( \mu _p \) la medida de Bernoulli con \( p=(1/2,1/2) \), y finalmente definimos la variable aleatoria \( X:\{0,1\}^{\mathbb{N}}\to [0,1] \) como \( X:= \sum_{k\geqslant 1}2^{-k}X_k \) donde cada \( X_k(y):=y_k \) es la proyección de la sucesión \( y\in \{0,1\}^{\mathbb{N}} \) a su \( k \)-ésima coordenada.

Ahora, la pregunta del millón: ¿cuál es la distribución de \( X \)? Es decir: ¿cuál es la medida inducida en \( [0,1] \) por \( X \)?

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Off-topic / ¡El coronavirus atacó al rincón matemático!
« en: 16 Marzo, 2020, 01:39 am »
¿Qué pasó hoy con el servidor de rinconmatematico? ¿Fue atacado por el coronavirus?  :o

Intenté conectarme varias veces a lo largo del día pero no hubo manera.

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Propuestos por todos / Hallar polinomio armónico
« en: 13 Febrero, 2020, 02:08 am »
He encontrado un ejercicio que me ha parecido muy interesante, dice así:

Sea \( f:S\to \Bbb R ,\, (x,y)\mapsto x^4y \) donde \( S:=\{(x,y)\in \Bbb R ^2:x^2+y^2=1\} \). Hallar un polinomio armónico \( p:\Bbb R ^2\to \Bbb R  \) tal que \( p|_S=f \).

Pista
La parte real o imaginaria de una función holomorfa es una función armónica.
[cerrar]

10
Hace unos días me asaltó una duda existencial: el teorema de Stolz-Cesáro y el de L'Hôpital se pueden ver bajo el prisma de la teoría de la medida y la derivada de Radon-Nikodym respecto de las medidas de Lebesgue y la de conteo, es decir, sean \( f,g:X\to \Bbb R  \) continuas y localmente integrables, \( g> 0 \) y \( (x_n)\to x\in\overline{X} \), y por último supongamos que

\( \displaystyle{
\lim_{n\to \infty }\int_a^{x_n}f\,\mathrm d \mu =\lim_{n\to \infty }\int_a^{x_n}g\,\mathrm d \mu =0,\quad \text{ o sino }\quad \lim_{n\to \infty }\int_a^{x_n}g\,\mathrm d \mu =\pm\infty \tag1
} \)

donde \( a<x_n \) para todo \( n \in \Bbb N  \). Entonces se cumple que

\( \displaystyle{
\lim_{n\to \infty }\frac{f(x_n)}{g(x_n)}=L\in X \implies \lim_{n\to \infty }\frac{\int_a^{x_n}f\,\mathrm d \mu }{\int_a^{x_n}g\,\mathrm d \mu }=L\tag2
} \)

donde \( X \) es un intervalo abierto en \( \Bbb Z \) o en \( \Bbb R  \), y \( \mu  \) es o bien la medida de conteo (en el caso de \( X\subset \Bbb Z \)) o bien la medida de Lebesgue (en el caso de \( X\subset \Bbb R  \)). El primer caso, si no hay error, es una reformulación del teorema de Stolz-Cesàro, y el segundo una reformulación del teorema de L'Hôpital. No he observado si el teorema se sigue cumpliendo (ni en qué condiciones) para una medida arbitraria de Lebesgue-Stieltjes y, además, lo interesante es buscar un operador derivada que generalice el operador \( \Delta  \) (derivada finita) y la derivada estándar, para tener un teorema más práctico.

Entonces yo buscaba una generalización del teorema en el cual los teoremas de Stolz-Cesàro y L'Hôpital apareciesen como casos particulares. Esto me llevó a una pequeña investigación y al descubrimiento del cálculo en escalas de tiempo y las derivadas respecto de una función, que es parte de lo que quería comentar en el tema: una escala de tiempo es un dominio de una función real que es un conjunto cerrado de \( \Bbb R  \), y sobre este tipo de funciones se ha desarrollado todo un cálculo (cálculo en escalas de tiempo, hay bastante bibliografía sobre el tema ya que parece que tiene muchas aplicaciones prácticas) con derivadas, integrales, teoremas análogos de análisis real de una variable (del valor medio, del valor intermedio, del teorema de Rolle, de Taylor, una desigualdad de L'Hôpital, etc...).

Indagando más encontré un concepto muy poderoso que simplifica toda la teoría de escalas de tiempo: la derivada respecto de una función. Sea \( h:\Bbb R \to \Bbb R  \) una función monótona y contínua por la derecha (o por la izquierda), entonces la derivada de \( f:\Bbb R \to \Bbb R  \) respecto de \( h \) en un punto \( x \) se define como

\( \displaystyle{
f'_h(x):=\begin{cases}
\lim_{y\to x}\frac{f(x)-f(y)}{h(x)-h(y)},&\text{ si }h\text{ es continua en }x\\
\lim_{y\to x^-}\frac{f(x)-f(y)}{h(x)-h(y)},&\text{ otra cosa }
\end{cases}\tag3
} \)

y cambiando el límite lateral si asumimos que \( h \) es continua por la izquierda. Aquí viene lo interesante: esta \( h \)-derivada es la derivada de Radon-Nikodym cuando \( f \) es absolutamente continua respecto de \( h \) (que es la generalización obvia de ser absolutamente continua respecto de \( x \)), y es equivalente a la derivada en el cálculo en escalas de tiempo (bajo un simple cambio de variable) por lo que permite utilizar toda la teoría de la medida en el cálculo en escalas de tiempo sin más complicación.

Ahora: las condiciones cuando \( f'_h \) es una derivada de Radon-Nikodym nos permiten pensar el teorema \( \mathrm{(2)}  \) en términos de derivadas si se dan las condiciones adecuadas, lo cual es más práctico. Me queda por comprobar si el teorema de L'Hôpital se cumple en esos casos también, y cuándo no se cumple. Como mencioné antes hay un teorema de desigualdades de L'Hôpital en el cálculo de escalas de tiempo, así que tendría que trasladar el teorema al contexto de la \( h \)-derivada y ver en que condiciones es una igualdad.

Es decir: la generalización de \( \mathrm{(2)}  \) serían las condiciones en las cuales, para una función \( h \) creciente y continua por la derecha (o por la izquierda) se cumple que

\( \displaystyle{
\lim_{n\to \infty }\frac{f'_h(x_n)}{g'_h(x_n)}=L\implies \lim_{n\to \infty }\frac{f(x_n)}{g(x_n)}=L\tag4
} \)

cuando la derecha de \( \mathrm{(4)}  \) constituye una indeterminación del tipo \( 0/0 \) ó \( \infty /\infty  \). Dejo artículos u otros enlaces que exponen de manera básica la teoría de las escalas de tiempo, la \( g \)-derivada y relaciones entre ambas teorías, por si a alguien le interesa:

https://en.wikipedia.org/wiki/Time-scale_calculus
https://www.researchgate.net/publication/277952939_A_New_Unification_of_Continuous_Discrete_and_Impulsive_Calculus_through_Stieltjes_Derivatives
https://arxiv.org/abs/1102.2511

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Off-topic / La naturaleza en las matemáticas
« en: 28 Octubre, 2019, 08:51 pm »
Quería compartir una reflexión que tuve ayer que se produjo después de uno de esos pocos pero maravillosos momentos de "iluminación" cuando uno, de repente, cae en la cuenta. Es un momento de tal felicidad (intelectiva) que uno debe compartirlo.

Actualmente estoy leyendo el pre-print de éste libro, el cual me está gustando muchísimo. Aparte de teoría de la integración de Lebesgue, cosa que ya conocía de otras lecturas, tiene algo de análisis funcional, cosa en la que hasta ahora no me había adentrado casi nada.

El análisis funcional, según he entendido grosso modo, es el análisis de los espacios vectoriales de dimensión infinita, especialmente los espacios de Banach. Y de pronto caí en la cuenta, haciendo diversos ejercicios del libro, que era natural el crear el concepto de espacio de Banach ya que es algo que, de un modo u otro, es consecuencia del desarrollo matemático anterior. Es decir, no es una creación fortuita creada por el genio de Banach sino una creación necesaria que, si no la hubiese creado Banach, la hubiese terminado creando cualquier otro debido a la presencia cada vez más corriente del concepto de "espacio de funciones".

Lo mismo que pasa con este concepto pasa con muchos otros. Es decir: tal y como lo veo ahora las creaciones matemáticas suelen ser procesos naturales, para nada fortuitos: son la proyección de una intuición universal y sencilla que nace de nuestra relación con el medio y nuestro interés por comprenderlo. Si esto es "obvio" a veces no lo parece tanto cuando uno se ve expuesto por primera vez a teorías y conceptos abstractos.

Dicho de otro modo: la abstracción matemática suele ocultar a la vista su profundo origen natural y su sencillez. No sencillez en su manifestación sino en las intuiciones en las que se funda todo su pensar y la naturalidad del camino que da lugar a esas ideas.

Es decir: mi momento de felicidad intelectiva fue observar la naturalidad de lo que parece artificial, la tremenda sencillez de intuiciones e ideas que dan lugar a la abstracción y formalidad compleja.

La verdadera belleza de las matemáticas está en el fondo más que en su apariencia.



Por cierto, leí este pequeño artículo que me fascinó por completo: es una analogía entre los conceptos de Baire y los de Lebesgue. También da una idea de la similitud de ideas y sencillez de fondo que da lugar a objetos abstractos y teoremas.

12
Me he encontrado otro ejercicio con el que no tengo idea de cómo meterle mano. Dice así: demostrar que existe una función Borel medible \( f:\Bbb R \to (0,\infty ) \) tal que \( \int \chi _I f\,\mathrm d \lambda =\infty  \) para todo intervalo \( I \) no vacío (ahí \( \lambda  \) es la medida de Lebesgue).

He intentado un batiburrillo de cosas pero no doy con la clave ya que, si bien puedo hacer todo tipo de construcciones, o bien me resulta difícil ver que lo construído es una función Borel medible (por ejemplo usando las clases de equivalencia de \( \Bbb R /\Bbb Q  \)), o bien no atino a ver si los valores en los que la función toma el valor infinito es un conjunto de medida nula (por ejemplo usando sumas de funciones cada una definida en un conjunto abierto y denso en \( \Bbb R  \)).

Es un ejercicio que aparece en un libro después de un breve tema sobre la convergencia monótona, así que he pensado en construcciones que sean límite de sucesiones de funciones Borel medibles pero no he hallado nada. Como dice el chavo del ocho: me doy  :D.

AÑADIDO: lo único que acierto a ver es que si eso ocurre en todo intervalo entonces debe ser una definición sobre un subconjunto denso y con medida positiva.

13
He encontrado otro ejercicio interesante en este libro en estado de pre-impresión, al final de la sección 2D, y dice así:

Mostrar que existe una función \( f:\Bbb R \to \Bbb R  \) tal que la imagen bajo \( f \) de todo intervalo abierto no vacío es \( \Bbb R  \).

Esto viene después de un tema mostrando algunas propiedades elementales de la medida de Lebesgue en \( \Bbb R  \) y de la relación del álgebra de Borel con el álgebra de Lebesgue. También hay una pequeña sección sobre el conjunto y la función de Cantor. De hecho ese ejercicio aparece después de unos pocos relacionados con la función de Cantor, lo que podría hacer sospechar de que tiene alguna relación.

Lo cierto es que no veo la forma. Se me ocurrió intentar definir tal función como el límite puntual de una sucesión de funciones basadas en la función tangente, que mapeara intervalos abiertos de tamaño fijo pero arbitrariamente pequeño a \( \Bbb R  \), pero el problema que encuentro es que se hace dificultoso encontrar unos valores adecuados para los tamaños de los intervalos y luego para corroborar que el límite puntual está bien definido y que además cumple con lo pedido.

La solución quizá sea algo más abstracto y no constructivo, pero no doy con la clave. ¿Alguna idea?

EDICIÓN: ok, creo que he dado con la idea clave: si tal función existe entonces, dado un número real cualquiera, existe otro número arbitrariamente cercano cuya imagen es cualquier valor real (por ejemplo uno). Por ahí creo que se puede pensar algo que lleve a la solución.

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Traigo un ejercicio curioso que he encontrado en un libro, dice así

(a) Mostrar que el conjunto de números en \( (0,1) \) cuya expansión decimal contiene una lista de cien cuatros consecutivos es boreliano.

(b) Calcular su medida de Lebesgue.

El interés por plantear el ejercicio es ver si hay una forma de resolverlo mejor que la que he encontrado, que es algo aparatosa. Dejo mi solución (presuntamente correcta :P) en un spoiler.

Mi solución
En lo siguiente \( a_k \) cuenta el número de listas de \( k \) dígitos, del cero al nueve, donde no hay una sublista con cien cuatros seguidos

\( \displaystyle{
\begin{align*}
&a_{k+1}=9a_k-8a_{k-100}[k\geqslant 100]-[k=99],\quad a_0=1,\quad A(x):=\sum_{k\geqslant 0}a_kx^k\\
&\therefore\, \sum_{k\geqslant 0}a_{k+1}x^k=9A(x)-8\sum_{k\geqslant 100}a_{k-100}x^k-x^{99}\\
&\iff A(x)-1=9xA(x)-8x^{101}A(x)-x^{100}\\
&\iff A(x)=\frac{1-x^{100}}{1-9x+8x^{101}}
\end{align*}
} \)

Ahora definimos \( B_k \) como el conjunto de números en \( (0,1) \) cuya expansión decimal \( 0,d_1d_2\ldots  \) tiene la primera sublista de cien cuatros seguidos a partir del dígito \( d_{k+1} \). Eso significa que \( d_k \) no es un cuatro y que en la lista \( d_1\ldots d_{k-1} \) no hay una sublista de cien cuatros consecutivos.

Entonces los números en \( B_k \) tienen la forma

\( \displaystyle{
\underbrace{0,d_1d_2\ldots d_{k-1}}_{\text{ sin sublistas de cien cuatros consecutivos }}\overbrace{d_k}^{\text{ cualquier dígito excepto el cuatro }}
\underbrace{d_{k+1}\ldots d_{k+100}}_{\text{ todos son cuatros }}\overbrace{d_{k+101}\ldots }^{\text{ cualquier tipo de dígitos }}
} \)

y por tanto es fácil de ver que

\( \displaystyle{
\lambda (B_k)=\frac{8a_{k-1}[k\geqslant 1]+[k=0]}{10^{k+100}}
} \)

Como el conjunto con alguna sublista de cien cuatros seguidos en su expansión decimal es \( \bigcup_{k\geqslant 0}B_k \) y \( B_k\cap B_k=\emptyset  \) siempre que \( j \neq k \) entonces

\( \displaystyle{
\begin{align*}
\lambda \left(\bigcup_{k\geqslant 0}B_k\right)&=\frac1{10^{100}}+\frac{8}{10^{101}}\sum_{k\geqslant 1}\frac{a_{k-1}}{10^{k-1}}\\
&=\frac1{10^{100}}+\frac{8}{10^{101}}\left[\sum_{k\geqslant 0}a_kx^k\right]_{x=1/10}\\
&=\frac1{10^{100}}+\frac{8}{10^{101}}A(1/10)\\
&\approx 9\cdot 10^{-100}
\end{align*}
} \)

si no hay ningún error por ahí.
[cerrar]

EDICIÓN: he corregido la solución que había dejado originalmente, ya que tenía algunos errores.

15
Post principal actualizado a 03/06/2020.

He escrito un script con el programa de scripting autohotkey cuya función es poder escribir código \( \LaTeX \) lo más rápido posible. Lo que hace el script es reemplazar unos tecleos por otros.

Además de la versión de autohotkey, que sólo funciona bajo sistemas windows, he creado scripts básicamente idénticos para otros sistemas de scripting como autokey que funciona bajo sistemas GNU/linux, y espanso que funciona tanto en sistemas de windows 10, GNU/linux o macOS. Recomiendo la versión de autohotkey para sistemas windows y ya sea la de autokey o la de espanso para sistemas GNU/linux.

Aquí en esta dirección se puede encontrar todo el material referente al script en sus diferentes versiones.

Cómo funciona:

El script, en sus versiones de autohotkey o espanso, es un archivo de texto donde se define una lista de reemplazos automáticos de tecleos, es decir, al escribir una cadena de texto ésta es reemplazada automáticamente por otra cadena de texto. He diseñado el script de tal manera que las cadenas que desencadenan los reemplazos suelen terminar en ñ y en total tener menos de cinco caracteres.

Para conocer los reemplazos que he ido definiendo hay que ver el texto del script, es decir, abrir el archivo TeX.yml (en la versión del script para espanso), o el archivo TeX.ahk (en la versión del script para autohotkey) con cualquier editor de texto.

Qué significa lo que hay escrito en los archivos TeX.yml o TeX.ahk:

En el archivo TeX.yml las sustituciones se definen así:

Código: [Seleccionar]
  - trigger: "str1"
    replace: "str2"

donde str1 es la cadena de teclas que es sustituida por str2. Algunas cadenas que aparecen como reemplazos necesitan ser "escapadas" para ser sustituidas correctamente, por ejemplo la barra \ debe escribirse como \\. Para más detalles mejor consultar aquí. La cadena especial \n significa salto de línea, y la cadena $|$ define la posición del cursor después de la sustitución.

En el archivo TeX.ahk las sustituciones se definen en una línea así

Código: [Seleccionar]
::str1::str2
En autohotkey también necesitamos escapar algunas cadenas, por ejemplo caracteres como { } ! ^ necesitan ser escritos entre corchetes, es decir como {{} {}} {!} {^} respectivamente. La cadena especial {Space} significa la pulsación de la tecla espaciadora, y las cadenas del tipo {left x}, donde x es un número natural, representa un movimiento del cursor x pasos atrás.

La versión de script de autokey funciona de otra manera: cada sustitución está definida en un par de archivos de texto, uno de ellos oculto. La definición de las sustituciones se hacen dentro de la interfaz del programa no en archivos de texto, es más lento de hacer pero más ordenado.

Instalación y puesta en marcha del script en cualquiera de sus versiones:

Detallado aquí.



A continuación unos ejemplos de los tipos de reemplazos que hace el script:

Letras griegas y hebreas:

Para escribir letras griegas el intercambio es una letra seguido del sufijo gg, por ejemplo, la cadena agg es intercambiada por \alpha seguido de un espacio, es decir, el símbolo de alfa (minúscula) escrito en \( \LaTeX \) y luego seguido de un espacio (no un espacio de \( \LaTeX \) sino una pulsación de la tecla espaciadora).

Las letras mayúsculas van en mayúsculas, es decir que Ggg es intercambiada por \Gamma, etc... Además si una letra tiene una variación ésta se escribe colocando una v delante de la cadena, es decir que vfgg se intercambia por \varphi seguido de un espacio.

He añadido además unas cuatro letras hebreas o así, éstas se escriben con el sufijo hh en vez de gg, es decir que ahh deja el texto \aleph seguido de un espacio.

Operadores y relaciones:

En general son dos o tres letras (generalmente letras significativas del texto en \( \LaTeX \) al que reemplazan) seguidas de ñ, por ejemplo la cadena es sustituida por \lim_{} con el cursor entre los corchetes. O por ejemplo que sustituye a \sum_{} dejando el cursor entre el par de corchetes, o que es reemplazada por \int_{} dejando de nuevo el cursor entre los corchetes.

Otros formas en los reemplazos son por ejemplo cadenas como xx que es sustituida por \times seguido de un espacio, == por \equiv seguido de un espacio, etc... Lo he ido configurando a mi gusto de tal forma que me resulte sencillo recordar los reemplazos y sea rápido de teclear.

Otro tipo de reemplazos:

Por ejemplo los símbolos comúnmente asociados a conjuntos comunes siguen el patrón de letra en mayúsculas repetida, por ejemplo CC por \Bbb{C} o SS por \mathbb S seguido de un espacio, etc...

Funciones comunes utilizan el sufijo ¡ (un signo de exclamación) en vez de ñ, por ejemplo sustituye a \sin seguido de un espacio, y sustituye a \log seguido de un espacio, o por ejemplo es reemplazado por \mathbf{1}_{} donde el cursor se queda entre los corchetes, otro ejemplo sería fl¡ que sustituye a \lfloor  \rfloor quedando el cursor entre medias. Etc...

También hay sustituciones para etiquetas de bbcode, que se utilizan con el sufijo bb. Y dos sustituciones específicas para rincón matemático: çç por [tex][/tex] colocándose el cursor entre medias, y ññ para una sustitución similar para escribir matemáticas en modo \display y centrado.

O sustituciones para construcciones comunes como que es reemplazada por \frac{}{} (con el cursor entre el primer par de corchetes), o pxL que es sustituida por \partial/\partial x^1,\ldots,\partial/\partial x^n, que representa una base local para campos vectoriales, etc...



Filosofía en el diseño del script:

La filosofía que tiene el script es posibilitar una velocidad de tecleo de \( \LaTeX \) máxima a aquellos que ya saben escribir en \( \LaTeX \), usando cadenas de texto muy cortas (menos de cinco pulsaciones, de medio tres), fáciles de asociar a las cadenas de \( \LaTeX \) que sustituyen, y muy accesibles en un teclado con distribución española.

La elección de cada cadena corta proviene, en general salvo excepciones, de dos o tres letras (a veces una) del código en \( \LaTeX \) que sustituye.

Alguna cadena podría entrar en conflicto con la escritura normal (es raro que esto ocurra pero puede ocurrir alguna vez) como por ejemplo la cadena que está contenida en la palabra niño, por eso cuando se escribe texto lo mejor es desactivar momentáneamente el script.

El script no pretende ser exhaustivo sino sólo simplificar la escritura de código \( \LaTeX \) de uso común. Va evolucionando conforme su uso lo demande, y cada uno puede retocar o escribir un script a su gusto, el mío es sólo un ejemplo que puede servir como punto de partida para que cada uno haga un script adecuado a su propio gusto.

La ventaja de un script como éste frente a otro tipo de sistemas para escribir \( \LaTeX \) más rápido como macros en editores de texto y semejantes es que puede utilizarse en cualquier editor o caja de texto ya que sólo sustituye una cadena de tecleos por otros tecleos. Puede usarse en este foro, en MSE o en cualquier editor de texto (obviamente también en cualquier editor de \( \LaTeX \)).

Errores de ejecución o de diseño:

Iré mejorando el script poco a poco a medida que lo vaya usando. Ya llevo usándolo a diario desde que lo creé, hace algo menos de diez meses, y he ido haciendo pequeñas variaciones para mejorar mi experiencia personal, añadiendo construcciones comunes como listas de elementos o cosas así.

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Probabilidad / El problema (estocástico) de la rana
« en: 09 Julio, 2019, 04:09 pm »
El siguiente problema ha sido una de las motivaciones principales (aunque no la única) para que empezase a estudiar matemáticas hace unos años. Yo lo llamo el problema de la rana, ahora sabrán por qué.

Sea una rana en un plano (en el suelo, vamos), con una distancia de salto fija (es decir, siempre salta la misma distancia), y cada vez que salta la dirección es elegida al azar (es decir, uniformemente). Entonces las preguntas que me hago son las siguientes:

1. Después de \( n \) saltos, ¿cuál es la probabilidad de que la distancia al punto de partida sea menor a un valor dado? (Es decir: ¿cuál es la distribución de probabilidad de la distancia al origen?)

2. Después de \( n \) saltos, ¿cuál es la distancia media esperada respecto al origen?

3. ¿A qué tiende la distancia media conforme \( n \) tiende a infinito?

Este ejercicio es algún tipo de proceso estocástico browniano o similar (aún no he tenido tiempo para estudiar procesos estocásticos, así que mi capacidad de análisis del problema es muy limitada). A lo más que he llegado es a tener una idea del proceso, cómo se desarrolla.

esto estaba MUY erróneo
Si \( X\sim U[0,2\pi] \) es la variable aleatoria que modela la dirección de salto y \( g_n(X) \) es la variable aleatoria que modela la distancia al origen después de \( n \) saltos (asumiendo una distancia de salto de uno) entonces se puede ver que

\( \displaystyle g_n(X)=\|g_{n-1}(X)+e^{i X}\|_2=\sqrt{g_{n-1}(X)^2+2 g_{n-1}(X)\cos(X)+1},\quad\text{ con }g_0:=0 \)

La distribución de \( g_n(X) \) se complica muy rápido conforme \( n \) se incrementa, así que con técnicas elementales de teoría de probabilidad no parece muy atacable el problema (otra cosa es ver lo que pasa usando una simulación en el ordenador). Por ejemplo si \( g_n(X)\sim F_n \) entonces vemos que \( F_0(x)=\chi_{[0,\infty)}(x) \), \( F_1(x)=\chi_{[1,\infty)}(x) \), pero

\( \displaystyle F_2(x)=(1-\pi^{-1}\arccos(x^2/2-1))\chi_{[0,2]}(x) \)

(suponiendo que los cálculos sean correctos). No me he atrevido a calcular \( F_3 \). Y en general:

\( \displaystyle F_n(x)=\frac1{2\pi}\cdot\lambda_1(\{ s\in[0,2\pi]: g_n(s)\le x\}) \)

donde \( \lambda_1 \) es la medida de Lebesgue en \( \Bbb R \).
[cerrar]

¿Alguien más se atreve a atacar (ya sea una aproximación analítica) el problema?

CORRECCIÓN: ufff... he cometido un error gordísimo en el planteamiento anterior (ahora en el spoiler)... y es que estaba considerando que los saltos dependían de una única variable aleatoria, cuando cada salto es independiente del anterior. En verdad la variable aleatoria que define la posición de la rana en el plano después de \( n \) saltos es la suma de \( n \) variables aleatorias \( e^{i X} \) idénticamente distribuidas, entonces la variable aleatoria que rige la distancia después de \( n \) saltos viene dada por

\( \displaystyle Y_n:=\left|\sum_{k=1}^n e^{i X_k}\right|,\quad\text{donde } X_k\sim U[0,2\pi]\text{ i.i.d.} \)

En relación al desarrollo erróneo anterior tenemos también la identidad \( Y_{n+1}=\|Y_n+e^{i X_{n+1}}\|_2 \). La distribución de \( \sum_{k=1}^n e^{i X_k} \) tiende a una binormal conforme \( n \) aumenta, de ahí deducimos que la respuesta del punto 3 del problema es cero.

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Off-topic / Misterios del entendimiento
« en: 15 Mayo, 2019, 07:33 pm »
Quería comentar una cosa que ya me ha pasado bastantes veces al estudiar algo de matemáticas, a ver si a alguien más le ha pasado algo parecido.

Digamos que tengo curiosidad por algún tema o rama de las matemáticas, entonces busco algún libro (o libros) sobre el tema, veo por encima y selecciono el que me parece más adecuado. A veces el tema elegido, y la bibliografía consultada, me parecen difíciles de digerir, ya sea porque hay muchos conceptos nuevos, demasiados teoremas a recordar, una exposición no demasiado motivada, demostraciones enfarragosas o demasiado ad hoc, etc., lo que sea. Entonces al poco me puedo cansar o aburrir y abandono ese estudio.

Y hete aquí el misterio que quería comentar: pasan algunos meses, a veces años, sin contacto alguno con esa temática y, por H o por B vuelvo a tener interés en lo mismo. Vuelvo a mirar la bibliografía sobre ese tema y... ¡sorpresa! Lo que antes me parecía difícil de digerir ahora aparece ante mis ojos como claro y cristalino casi como el agua, una diferencia más que notable de entendimiento.

Me volvió a ocurrir ayer: tenía curiosidad (de nuevo) por tener unas ideas elementales de teoría de categorías, un tema que ya había mirado unos meses atrás pero había dejado por aburrimiento y porque no le veía sentido o era demasiado abstracto. Pues bueno: me pongo ayer a leer y... ¡sorpresa! Ahora lo veo todo claro como el agua (me refiero a que entiendo y retengo con claridad lo que leo), lo que hace unos meses era una abstracción casi absurda ahora me parece algo casi necesario y además totalmente comprensible.

Me pregunto, ¿qué ha cambiado de ahora a antes? No ha sido precisamente el conocimiento general de matemáticas lo que ha cambiado (aunque sí algo) sino más bien la perspectiva sobre el objeto de estudio, el enfoque... Antes recuerdo que dificultaba mi comprensión el hablar de "objetos" así a secas, sin definir muy bien lo que son... ahora mi perspectiva es diferente y no veo necesario concretar lo que es un "objeto", es decir, asimilé la definición de categoría al volverla a leer (la había olvidado desde la última vez).

Sospecho que me ocurriría lo mismo si volviese a estudiar cosas ahora que hasta hace un tiempo me parecían difíciles de asimilar.

Es decir, he llegado a la conclusión de que es fundamental conocer el sentido de lo que se lee, es decir, hacia dónde apunta o porqué existe tal teoría. No es que antes no supiera esto sino que me sorprende mucho el hecho de la enorme diferencia de entendimiento que puede provocar el tener una perspectiva diferente, cosa que en otros ámbitos de la vida no se percibe con tanta claridad. Es que no es sólo "entendimiento" sino asimilación y retención, no se trata sólo de entender los objetos de estudio sino de tener como un contexto y, no sólo un contexto, un entendimiento o intuición de su necesidad y utilidad. Es difícil de transcribir en palabras.

¿A alguien le ha pasado algo semejante? Comenten.



Una manera sintética de exponerlo, al menos a cierto nivel subjetivo: antes la teoría de categorías me parecía interesante pero, por su complejidad, nivel de abstracción u otras razones, terminaba aburriéndome. Ahora, ya sea por un cambio de enfoque u otra cosa, me parece muy excitante y divertido.

Hay un abismo de diferencia en que algo sea aburrido o sea muy divertido, aunque la dimensión aburrido/divertido parece ser más bien un síntoma que una causa.

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- Otros - / Crítica al sistema educativo
« en: 11 Diciembre, 2018, 04:44 am »
A ver qué os parece este vídeo (sé que en este foro hay educadores que conocerán mejor el tema que yo):

https://www.youtube.com/watch?v=ny61lc2xiZk

Es una crítica bastante severa, aunque basada en hechos reales, sobre muchos métodos del sistema educativo actual, tanto a nivel universitario como pre-universitario. Yo comparto algunas de las experiencias que relata el vídeo, creo que a muchos también nos ha acontecido algo similar en diferentes formas y grados, en el sentido de que mi experiencia universitaria fue bastante mala en general (de hecho terminé mi carrera y me desligué por completo de lo que había estudiado, no quise tener ningún contacto nunca más con nada relacionado con el tema), al igual que la de bachiller, y mi educación musical fue pésima (tendría que fusilar a los que han diseñado el sistema educativo que aparece en los conservatorios españoles de hoy en día).

Hoy en día casi carece de sentido el sistema actual de las universidades y otras instituciones de enseñanza españolas, para casi cualquier carrera. No le veo sentido alguno, pudiendo aprender más y mejor por tu cuenta gracias al advenimiento de internet.

Los centros de educación deberían ser lugares donde poner en práctica el conocimiento adquirido, o donde poder tener una guía sobre cómo moverte, tutorías, etc..., o recibir enseñanza práctica fundamentalmente.

Bueno, ahí lo dejo. Haciendo amigos con los educadores del foro  :D, jaja.

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Análisis Matemático / Sumas fraccionarias
« en: 12 Noviembre, 2018, 04:33 pm »
He descubierto un tema que me ha parecido curioso y sumamente interesante, debido a su potencial uso práctico, y es el desarrollo de una teoría de sumas fraccionales.

Una suma fraccional es una generalización del operador \( \sum \) para índices complejos, es decir, se trata de extender la definición de \( \sum_{k=a}^b g(k) \) al mayor subconjunto posible de \( \Bbb C \), es decir, donde \( a \) y \( b \) son complejos.

Por supuesto muchas generalizaciones son posibles, pero si añadimos las restricciones siguientes

\( \displaystyle{\begin{align*}&1.\quad \sum_{k=x}^y g(k)=\sum_{k=0}^y g(k)-\sum_{k=0}^{x-1} g(k)\\
&2.\quad\sum_{k=x}^x g(k)=g(x)\\&3.\quad \sum_{k=x}^y g(k)=\sum_{k=x+w}^{y+w} g(k-w)\end{align*}} \)

entonces, la generalización posible, es única (si \( g \) es analítica en el origen). No sólo eso: dentro de estas teorías (hay varias muy similares, unas más generales que otras) es muy fácil derivar e integrar respecto del índice, y tendríamos que

\( \displaystyle {\frac{d}{dn}\sum_{k=0}^n g(k)=\sum_{k=0}^n g'(k)+c'\\\int^x\sum_{k=0}^{n-1} g(k)\, dn=\sum_{k=0}^{x-1}\int^k g(t)\, dt+c_1 n+c_2} \)

donde \( c_2 \) es la constante de integración (arbitraria) y \( c_1=-\frac{d}{dn}\sum_{k=0}^{n-1}\int^k g(t)\, dt\Big|_{n=0} \) y \( c' \) también es una constante (no arbitraria). Lo curioso es que se puede derivar e integrar sin necesidad de conocer la función (analítica) que se define por la generalización de \( f(n):=\sum_{k=0}^{n-1}g(k) \).

Por ejemplo, la función gamma, la función zeta de Riemann, y muchas otras funciones especiales son generalizaciones de esta forma, aunque no fueran creadas así. Esto permite hallar valores, identidades o estudiar convergencia asintótica y mil cosas más de manera mucho más sencilla que por métodos clásicos.

Incluso generaliza muchas fórmulas conocidas del análisis y el cálculo como la regla de la cadena o la fórmula de la suma de Euler y MacLaurin. Dejo la bibliografía relevante por si alguien tiene curiosidad:

https://arxiv.org/abs/math/0502109
https://arxiv.org/abs/1001.4695
https://arxiv.org/abs/1209.5739
https://www.springer.com/gp/book/9783319746470

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Temas de Física / Entrevista a Miguel Alcubierre en Date un VLog
« en: 28 Octubre, 2018, 02:46 am »
Desde hace tiempo sigo a Javier Santaolalla en sus diversos canales de youtube, es un gran divulgador y para alguien profano en física como yo es muy interesante lo que dice, especialmente cuando habla del mundo real de trabajo de ingenieros y físicos.

Les dejo una entrevista reciente a Miguel Alcubierre, un físico mejicano especializado en simulaciones de agujeros negros y métodos numéricos en relatividad general:

https://www.youtube.com/watch?v=hy0d6Eq7fwI

El vídeo me ha "atrapado", dura casi una hora pero al escuchar los dos primeros minutos fui incapaz de dejar de verlo o dejarlo para después, realmente me pareció fascinante (me gustan mucho las biografías de científicos, o las biografías en general).

P.D.: no sé si he dejado el tema en el subforo adecuado.

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