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Mensajes - Masacroso

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1
Traigo una pregunta que vi esta mañana en MSE y me ha dejado "en shock", al plantear algo imposible pero que, al menos a mí, me resulta difícil dilucidar sus causas. Dice así:

Sea \( \{X_n\} \) una sucesión de variables aleatorias con varianza finita e idénticamente distribuidas bajo la medida de probabilidad \( P \). Entonces una de las versiones de la ley fuerte de los grandes números nos dice que "la media muestral" \( \bar X_n:=\tfrac1n\sum_{k=1}^nX_k \) converge hacia la "media teórica" \( \mathrm{E}_P[X_1] \) casi seguro.

Ahora viene el intríngulis: si tenemos otra medida de probabilidad \( Q \) que es equivalente a \( P \) como medida, es decir que un conjunto medible es nulo solo si lo es para ambas medidas a la vez, y que \( f:=\frac{\mathop{}\!d Q}{\mathop{}\!d P}\in L^2(P) \), entonces tenemos que \( \bar X_n \) también converge casi seguro a la media \( \mathrm{E}_Q[X_1] \), definida por la medida \( Q \).

Hay un error oculto (o no tanto para miradas audaces ;)) en el planteamiento de arriba, la posible solución (aunque sin demostración) esgrimida en MSE abajo en spoiler:

Spoiler
Notar que \( \mathrm{E}_P[X_1]=\mathrm{E}_Q[X_1] \) no es cierto en general, como puede comprobarse fácilmente tomando por ejemplo la medida de Lebesgue en \( [0,1] \) y la medida equivalente \( 2x\mathop{}\!d x  \) y una variable aleatoria como \( X(t):=t \) en ese espacio de probabilidad. El error parece estar en asumir que, bajo otra medida equivalente \( Q \), la sucesión \( \{X_n\} \) sigue siendo independiente e idénticamente distribuida.
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2
Hola, como se puede demostrar que esta sucesión converge a M.?
Sea \(  I: = [a,b]  \)  supongamos que \(  f : I \rightarrow{} R  \) es continua y que \(  f(x)\geq{0} \) para \(  x\in{R} \)
 si \(  M : = sup{f(x) : x\in{I}}  \)
Demostrar que la sucesión \(  { [ \int_{a}^{b} [ f(x) ] ^ n ] ^ \frac{1}{n} } \) converge a M.

Una pista: si \( M>0 \) divide la sucesión de integrales por \( M \) (si \( M=0 \) es inmediato ver que \( f=0 \)). Entonces intenta demostrar que

\( \displaystyle{
1-\epsilon \leqslant \lim_{n\to\infty}\left(\int_{a}^b g(x)^n \mathop{}\!d x\right)^{1/n}\leqslant 1,\quad \text{  para todo }\epsilon >0
} \)

donde \( g:=f/M \).

3
Tengo de un ejercicio una duda sobre la demostración propuesta por el libro en el que viene. El ejercicio dice:
Sea \( C \) una \( \lambda \)-clase y sea \( G \) una \( \pi \)-clase con \( C \subseteq G \), ambas definidas sobre un conjunto \( \Omega \). Entonces \( \sigma(C) \subseteq G \).

La demostración se apoya en la \( \lambda \)-clase generada por \( C \).

Me parece te estás liando un poco: si \( C \) es una clase de Dinkin (también llamada clase \( \lambda  \)), entonces la clase de Dinkin generada por \( C \) es \( C \), así que no tiene mucho sentido utilizar la notación \( \lambda (C) \) si \( C \) ya que es una clase de Dinkin. Asumo que \( C \) debe ser un subconjunto cualquiera de \( \wp(\Omega ) \).

Citar
Si \( \lambda(C) \) fuera una \( \pi \)-clase, entonces (por un resultado previo demostrado), se tendría que \( \lambda(C) \) es una \( \sigma \)-álgebra, obteniendo la cadena \( C \subseteq \sigma(C) \subseteq \lambda(C) \subseteq G \).

Mi duda viene en cómo se prueba que \( \lambda(C) \) es una \( \pi \)-clase. La demostración construye el conjunto
\( G_{1} = \{ A \subseteq \Omega \ / \ A \cap B \in \lambda(C), \ \forall B \in C \} \)
que afirma que se trata de una \( \lambda \)-clase con \( C \subseteq G_{1} \) y de lo cual se desprende que, si \(  A \in \lambda(C) \) y \( B \in C \), entonces \( A \cap B \in \lambda(C) \) (esto último no sé si estoy entendiendo bien por qué es así).

No tengo acceso a la demostración que estás viendo así que no puedo saber si lo estás entiendo bien o mal. En cualquier caso, asumiendo que \( C \) es un subconjunto de \( \wp (\Omega ) \) y no una clase de Dinkin, entonces trivialmente de la definición de \( G_1 \) tenemos que \( C\subset G_1 \) ya que \( B\cap B=B \) para cualquier \( B\in C \), y \( C\subset \lambda (C) \).

Ahí lo importante es ver que \( G_1 \) es una clase de Dinkin, es decir que \( G_1 \) está cerrado por complementación y por unión contable de elementos disjuntos a pares, y finalmente que \( \Omega \in G_1 \).

Citar
Después, construye otro conjunto
\( G_{2} = \{ A \subseteq \Omega \ / \ A \cap B \in \lambda(C), \ \forall B \in \lambda(C) \} \)
que afirma que se trata de otra \( \lambda \)-clase con \( C \subseteq G_{2} \) y de lo cual se desprende que, si \(  A, B \in \lambda(C) \), entonces \( A \cap B \in \lambda(C) \) (otra vez, esto último no sé si estoy entendiendo bien por qué es así).

Y así se concluye el ejercicio como acabado.

Esto se desprende de la definición de \( G_2 \). Aquí la parte importante de nuevo vuelve a ser comprobar que \( G_2 \) es una clase de Dinkin. Del final tenemos que \( \pi(\lambda (C))\subset G_2 \), y por tanto \( \sigma (C) \subset G_2 \).

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Probabilidad / Re: Demostrar que una función es de distribución
« en: 23 Octubre, 2020, 12:36 pm »
Hola! ¿Me pueden ayudar a demostrar que la siguiente función es de distribución?:

\( F(x,y)= 1-e^{-xy}   \) para   \(  x,y>0  \)

Puedes utilizar la caracterización multidimensional de funciones de distribución, es decir, tienes que partir de una definición de lo que es una función de distribución. Algo de notación antes:

1. Para vectores \( a, b\in \mathbb{R}^n \) con \( a=(a_1,a_2,\ldots ,a_n) \) y \( b=(b_1,\ldots b_n) \) se dice que \( a\leqslant b \) si y solo si \( a_k\leqslant b_k \) para cada \( k=1,\ldots ,n \).

2. Dada una función \( G:\mathbb{R}^n\to \mathbb{R} \) definimos el operador \( \Delta _{b_k,a_k} \) como

\( \displaystyle{
\Delta _{b_k,a_k}G(x_1,\ldots ,x_n):=G(x_1,\ldots ,b_k,\ldots ,x_n)-G(x_1,\ldots ,a_k,\ldots ,x_n)
} \)

3. Con lo anterior, dados \( a,b\in \mathbb{R}^n \) tales que \( a\leqslant b \), definimos \( F(a,b]:=\Delta_{b_1,a_1}\Delta _{b_2,a_2}\cdots \Delta _{b_n,a_n}F(x_1,\ldots ,x_n) \)

Entonces se dice que \( F \) es una función de distribución si y solo si cumple las siguientes tres condiciones:

1. Que \( F \) es creciente, que en este contexto quiere decir que que \( F(a,b]\geqslant 0 \) para todo \( a,b\in \mathbb{R}^n \) tal que \( a\leqslant b \).

2. Que \( F \) es continua por la derecha, que en este contexto quiere decir que si tenemos una sucesión de vectores \( \{x^n\}_{n\in \mathbb N} \) en \( \mathbb{R}^n \) cuyo límite es \( x\in \mathbb{R}^n \) y \( x_k^m\geqslant x_k \) para todo \( m\in \mathbb{N} \) (donde \( x=(x_1,\ldots ,x_n) \)) entonces \( \lim_{n\to\infty}F(x^n)=F(x) \) (ahí la notación \( x^n \) no es una potencia, es simplemente el índice de los elementos de la sucesión).

3. Que cumple que

\( \displaystyle{
\lim_{x\to \infty }F(x)=1\quad \text{ y } \quad \lim_{x_k\to -\infty }F(x_1,\ldots ,x_k,\ldots ,x_n)=0\quad \text{ para cada }k\in\{1,\ldots ,n\}
} \)

donde entendemos que \( x\to \infty  \) si cada coordenada de \( x \) tiende a infinito, y donde el segundo límite donde \( x_k\to -\infty  \) se entiende para cualesquiera otras coordenadas fijas.

Si \( F \) cumple las tres condiciones anteriores entonces \( F \) es una función de distribución. Cuando \( F \) es una función de distribución entonces existe una única medida de probabilidad \( \mu  \) en \( \mathbb{R}^n \) tal que \( \mu ((a,b])=F(a,b] \).

La fuente de donde he sacado todo esto es el libro de probabilidad de Robert Ash.

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Cálculo 1 variable / Re: Demostrar si la serie converge o diverge
« en: 22 Octubre, 2020, 06:33 am »
Pista: multiplica y divide cada sumando por su conjugado, es decir, por \( \sqrt{n^{\alpha }+1}+\sqrt{n^{\alpha }} \).

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Cálculo 1 variable / Re: Derivada de una serie
« en: 20 Octubre, 2020, 11:30 pm »
Bueno creo que demostrar que \( \displaystyle \lim_{h \to{}0}{\left |{g(x,h)-g(x,0)}\right |}=0  \) es trivial.

Pero todavía no tengo claro en qué influye que \( x>-1 \) y que \( h>-(x+1) \) para ver si me puede explicar.

Observa que \( x>-1 \) ya que si \( x=-1 \) entonces \( 1+x=0 \), es decir, la serie estaría indeterminada. Igualmente se podría extender el rango de la función a intervalos de números negativos pero es algo laborioso y pesado, es más sencillo asumir (o imponer) que \( x>-1 \). Que \( h>-(1+x) \) es para lo mismo: es la condición que asegura que ningún denominador es cero, dado un \( x>-1 \). A partir de eso tenemos que, eligiendo un rango cerrado de valores de \( h \) (para un \( x \) determinado) entonces las series convergen uniformemente respecto de \( h \).

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Cálculo 1 variable / Re: Derivada de una serie
« en: 20 Octubre, 2020, 02:54 am »
Primero quiero ver si la derivada de la sucesión converge uniformemente.

Entonces, \( \displaystyle f^{\prime}_n(x)=\frac{n(n+x)-nx(n+1)}{n^2(n+x)^2} \)

\( \Longrightarrow{}\displaystyle \lim_{n \to{}\infty}{\frac{n(n+x)-nx(n+1)}{n^2(n+x)^2}}=0 \)

Por lo tanto la sucesión converge localmente a \( f(x)=0 \)

Eso no está bien, que el límite de la sucesión converja a cero no demuestra que la serie converja, lo que tiene que converger es la serie. En verdad es mucho más fácil de lo que suponía ya que sólo te piden confirmar que la derivada existe. Si \( f_n(x):=\frac{x}{n(n+x)} \) entonces tenemos que

\( \displaystyle{
f'(x)=\lim_{h\to 0}\sum_{n\geqslant 1}\frac{f_n(x+h)-f_n(x)}{h}=\lim_{h\to 0}\sum_{n\geqslant 1}\frac{(n+x)(x+h)-(n+x+h)x}{h n(n+x)(n+x+h)}=\lim_{h\to 0}\sum_{n\geqslant 1}\frac1{(n+x)(n+x+h)}
} \)

Ahora simplemente observa que para cada \( x>-1 \) y \( h>-(x+1) \) la serie converge (puntualmente). Si definimos \( g(x,h):=\sum_{n\geqslant 1}\frac1{(n+x)(n+x+h)} \), entonces para demostrar que \( f'(x)=g(x,0) \), para cualqueir \( x>-1 \) elegido, te basta con demostrar que \( \lim_{h\to 0}|g(x,h)-g(x,0)|=0 \). Con lo dicho seguro ya puedes resolverlo, ahí te lo dejo.

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Cálculo 1 variable / Re: Derivada de una serie
« en: 19 Octubre, 2020, 02:11 am »
Sea \( f(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^\infty{\frac{x}{n(n+x)}} \) mostrar rigurosamente que \( f \) es diferenciable.

No tengo claro como realizar la demostración, si me pidieran demostrar en cierto punto tendría más idea pero de manera general no veo el camino.

Utiliza la definición de derivada en un punto y mira si puedes mover el límite dentro de la sumatoria, por ejemplo observando si la sumatoria converge uniformemente, aunque lo haga localmente.


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Análisis Funcional - Operadores / Re: Matriz en \[\ell_2\]
« en: 18 Octubre, 2020, 02:31 am »
Hola.
En ejemplo se pide que \[a_{ij}\geq 0\] para todo \[i, j\]. Por lo que veo problema para el ejercicio en esta expresión,
\[\sum_{j=1}^{\infty} a_{i j} x_{j}=\sum_{j=1}^{\infty} \sqrt{a_{i j}} \sqrt{p_{j}} \frac{\sqrt{a_{i j}} x_{j}}{\sqrt{p_{j}}}\].



Puedes asumir sin pérdida de generalidad que los coeficientes son no negativos, simplemente recuerda que

\( \displaystyle{
\sum_{k\geqslant 1}|y_k|<\infty \implies \left| \sum_{k\geqslant 1}y_k \right|<\infty
} \)

Es decir que puedes hacer la demostración asumiendo que los \( a_{ij} \) son todos no-negativos, y al demostrar ese caso demuestras automáticamente el caso general.

Añado: lo clarifico un poco: supongamos que \( B \) es el operador cuyos coeficientes son los valores absolutos de los de \( A \). Entonces como \( B(x)\in \ell ^2 \) para todo \( x\in \ell  \) y \( \| B\|<\infty  \) es fácil de ver que \( \|A(x)\|\leqslant \|B(x)\| \), y por tanto \( \|A\|\leqslant \| B\| \).

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Análisis Funcional - Operadores / Re: Matriz en \[\ell_2\]
« en: 17 Octubre, 2020, 11:52 pm »
Me tenía mosqueado este problema, pero desde luego suponía que no había forma simple de resolverlo porque a los indios les encanta el cálculo (a mí no :P). En la página 43 del libro te describen cómo resolver el ejercicio, simplemente toma \( \beta =\gamma =\sum_{k\geqslant 0}|a_k| \) y \( p_j=1 \) para todo \( j \). El resultado es inmediato, al igual que la cota a la norma del operador.

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Probabilidad / Re: Problema de Función de Distribución Acumulada
« en: 15 Octubre, 2020, 06:33 pm »
Ahora en el caso de la segunda rama, en dado caso que fuera de esta manera
\( -x^3+2x^2 \)   si \( 0\leq{}x<? \)
como haria para encontrar esa cota superior?

La función de distribución te la tienen que dar, es decir, el valor de \( a \) en \( 0\leqslant x<a \) podría ser cualquiera siempre y cuando la función resultante \( f \) sea una función de distribución, es decir, no-decreciente, continua por la derecha en todos sus puntos y tal que \( \lim_{x\to -\infty }f(x)=0 \) y \( \lim_{x\to \infty }f(x)=1 \).

En tu caso particular valdría cualquier valor de \( a \) que cumpliese estas condiciones:

1) Que \( \lim_{x\to a⁻}f(x)\in[0,1] \).

2) Que \( f \) sea creciente en \( [0,a] \).

Vemos que para \( g(x):=-x^3+2x^2 \) se da el caso de que \( g(1)=1 \), y que \( g \) es estrictamente creciente en \( [0,1] \) así que, en principio, cualquier valor en \( [0,1] \) es posible para \( a \). Ahora vemos que no podía ser \( a=5 \) ya que si fuese así existirían valores de \( f \) mayores a uno, por lo que \( f \) no sería creciente en ese tramo y por tanto no cumpliría una de las condiciones para ser una función de distribución.

Si tomamos \( a=1 \) entonces nos queda una función \( f \) continua, en cualquier otro caso sería discontinua.

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Probabilidad / Re: Problema de Función de Distribución Acumulada
« en: 15 Octubre, 2020, 04:30 pm »

Hola amigos, tengo el siguiente problema de función de distribución acumulada.

El número de visitas (en millones) que un vídeo musical subido a la red puede alcanzar en cierto instante de tiempo se define como una variable aleatoria continua cuya función de distribución acumulada se comporta de la siguiente manera:

\( f(x)= \left\{ \begin{array}{lcc}
             0 &   si  & x < 0 \\
             \\ -x^3+2x^2 &  si & 0 \leq{} x < 1 \\
             \\ 1 &  si  & x \geq{} 5
             \end{array}
   \right. \)

Tengo dudas sobre estas preguntas. La primera denota un intervalo que no esta contemplado en la función antes descrita
por lo que me imagino que habrá que hacer algo para que se obtenga unos numeros correspondientes al intervalo \( [0,1] \)
luego de haber calculado la integral. Pero no se si esos números super grandes van en esa integral.

No entiendo bien a qué te refieres, la función de arriba está definida en todo \( \mathbb{R} \). Entiendo que hay un error y la última rama debería ser para \( x\geqslant 1 \) en vez de para \( x\geqslant 5 \), o bien que la rama intermedia esté definida en \( [0,5) \) en vez de en \( [0,1) \). En cualquier caso voy a asumir que debería ser \( x\geqslant 1 \) en la última rama.

Citar
¿Cuál es la probabilidad de que un vídeo musical escogido al azar genere entre 500 mil y 850 mil visitas?

En promedio, ¿Cuántas visitas obtendrá un vídeo musical subido a la red?

Agradezco sus comentarios.


Tienes una variable aleatoria \( X \) con distribución \( f \) y te piden

1. Calcular \( \Pr [\frac12\leqslant X\leqslant \frac{17}{20}] \) (ya que 500000 son medio millón, y 850000 son 17/20 millones) .

2. Calcular la esperanza de \( X \), que se suele denotar por \( \mathrm{E}[X] \).

Por definición tienes que \( \Pr [a< X\leqslant b]=f(b)-f(a) \), y en este caso en particular, ya que la función de distribución es continua, tienes que \( \Pr [a<X\leqslant b]=\Pr [a\leqslant X\leqslant b] \), con eso hallas fácilmente lo que te piden en la primera pregunta.

También tienes que, al ser \( f \) diferenciable casi en todas partes (excepto a lo sumo en dos puntos) entonces \( X \) tiene función de densidad dada por la derivada de \( f \) (allá en donde ésta existe, los puntos en los que no existe son ignorados), entonces

\( \displaystyle{
\mathrm{E}[X]=\int_{\mathbb{R}}xf'(x)\mathop{}\!d x=\int_{0}^1 x(-3x^2+4x) \mathop{}\!d x
} \)

ya que más allá del intervalo \( [0,1] \) la función \( f \) es constante y por tanto su derivada es cero.

Corrección: perdón la unidad de \( f \) es el millón.

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Probabilidad / Re: Problema de Distribucion
« en: 14 Octubre, 2020, 08:06 pm »
Muchisimas gracias, claro lo que escribiste, sin embargo aun no tengo claro como identificar que tipo de distribucion.

No necesitas conocer su distribución para resolver el problema, piensa lo siguiente: ¿cuál es la posibilidad de que el primer vídeo sea bueno? ¿Y de que el segundo también sea bueno habiendo sido el primero bueno? Etc...

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Probabilidad / Re: Problema de Distribucion
« en: 14 Octubre, 2020, 07:29 pm »
Jaja... qué gracioso el enunciado ¡adaptado a los tiempos modernos! El número de cervezas es siempre proporcional al número de videos buenos que se hayan elegido. Hay que asumir en el problema que la probabilidad de que un vídeo sea elegido es igual para cualquiera de los seis videos, como tiene que elegir tres vídeos y hay sólo dos defectuosos entonces necesariamente tendrá que pagar al menos dos cervezas, eso responde la última pregunta.

Para la primera: pagar menos de seis cervezas es equivalente a decir que, eligiendo al azar, deben salir menos de tres vídeos perfectos, es decir, que al menos uno de los tres sea defectuoso. Tienes dos posibilidades: o bien tienes dos videos perfectos y uno defectuoso o bien tienes dos vídeos defectuosos y uno bueno, como son dos eventos mutuamente incompatibles la probabilidad que buscas es la suma de la probabilidad de cada uno de ellos, espero que con eso sepas ya resolver el problema (la distribución no es binomial, entiendo que una vez elegido un vídeo no se puede volver a elegir, de otro modo la última de las preguntas no tendría sentido).

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Pero \( a_1 \) no debería dar\(  \frac{2}{11} \)?

Sí, tienes razón, sigue sin cuadrar. Mañana lo reviso.

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Buenas. Seguramente sea algo muy tonto pero no consigo resolverlo. El enunciado dice:

La enésima suma parcial de la serie \( \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_n \) está dada por \( \displaystyle S_n = \frac{n + 1}{n + 10} \)

Escribe una regla para \( a_n \).



Se me ocurre algo como \( \displaystyle  \frac{n + 1}{n + 10} - \frac{n}{n + 9} \)

pero el primer término no me cuadra así (y si intento que cuadre lo que no me cuadra es el resto XD).. Alguna idea?

Saludos.

Yo lo veo bien, ¿a qué te refieres con que el primer término no te cuadra? ¿Te refieres a \( a_1 \)? El término general viene dado, como has visto, como \( a_n=S_n-S_{n-1} \), entendiendo que \( S_n=\sum_{k=1}^n a_k \), lo que nos deja

\( \displaystyle{
a_n=\frac{n+1}{n+10}-\frac{n}{n+9}=\frac{(n+1)(n+9)-n(n+10)}{(n+10)(n+9)}=\frac{9}{n^2+19n+90}, \quad \color{red}{\text{ para }n\geqslant 2}
} \)

está mal
Por tanto \( a_2=\frac{9}{12\cdot 11} \), y como \( a_1+a_2=S_2 \) entonces necesariamente \( a_1=S_2-a_2=\frac{3}{12}-\frac{9}{12\cdot 11}=\frac{3\cdot 11-9}{12\cdot 11}=\frac{12}{11} \).

CORREGIDO: cierto, había truco... no podemos utilizar la fórmula para el primer elemento de la serie ya que la fórmula sólo es válida para \( n\geqslant 2 \).
[cerrar]

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Buenas,

Este año, acabaré el colegio. Mis clases han sido en modo virtual y en este modo descubrí mi gusto por los números; pero hay mucho temas que no comprendo y peor aún siento que la base matemática necesaria para el paraíso matemático no es suficiente; desearía que me puedan recomendar libros, artículos, blogs para empezar este camino numérico... por favor, en español antes que inglés, aún no domino ese idioma a la perfección.

Gracias

En la academia de Khan tienes un montón de cursos interactivos en castellano. Hay muchas cosas ahí de matemáticas que seguro desconoces.

Luego, para ver cosas más avanzadas tienes el excelentísimo blog de Fernando Revilla, ahí hay cosas muy avanzadas pero otras que quizá sí puedas abordar. También puedes probar a descargarte algunos apuntes de primer año de matemáticas universitarias, suelen estar disponibles en muchas universidades, puedes buscar con google, ir descargando y ver si es demasiado avanzado o no, etc...

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Probabilidad / Re: Esperanza condicional
« en: 12 Octubre, 2020, 09:48 am »
Me pueden ayudar con este problema  :banghead:

Sean \( X \) y \( Y \) variables aleatorias con densidad conjunta dada por:

\( f(x,y)=\begin{cases}e^{-x(y+1)}&\text{si } x>0, 0<y<e-1\\0 & \text{en otro caso} \end{cases} \)

Encuentra:
* La densidad condicional \( f(x|y) \) de \( X \) dado que \( Y=y \)
*El valor de \( \mathbb{E}(X|Y=y) \), ¿cómo se distribuye \( \mathbb{E}(X|Y) \)
*El valor de \( \mathbb{E}(X) \) de dos formas distintas: Utilizando las propiedades de la esperanza
condicional y de la manera usual.


¿Qué has intentado? ¿En qué parte de la teoría te has bloqueado?

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Estructuras algebraicas / Re: Generado por dos conjuntos.
« en: 09 Octubre, 2020, 04:45 am »
Hola a todos, tengo esta pregunta.

Si tengo   \( H \) y \( K \) subgrupos normales de un grupo \( G  \), entonces  \( \left<{H\cup{K}}\right> \) es un grupo abeliano.
pdta:  No sé si esta bien formulada la pregunta para que tenga sentido.

No, no tiene por qué. Supón que \( H \) es un subgrupo normal de \( G \), entonces \( G \) también es normal y \( H\cup G=G \), que no tiene por qué ser abeliano.

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La identidad a demostrar es falsa, un contraejemplo sencillo es la función \( f: \mathbb{R}\to \mathbb{R},\, x\mapsto x+1 \), la cual es cóncava y convexa pero no es lineal.

P.D.: se me adelantó Luis por unos segundos. También es coincidencia que nos dé por contestar a esto al mismo tiempo a estas horas de la mañana  :D

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