Hola  a todos, mi pregunta es la siguiente:
¿Se puede obtener las ecuaciones de la figura  que se muestra en este link https://www.urbipedia.org/hoja/Restaurante_Los_Manantiales, es el Restaurante los Manantiales, formado por paraboloides hiperbólicos.

Muchas gracias

Hola a todos,  quisiera saber si me pueden dar una sugerencia de como sombrear los circulitos, aquí les dejo el código


[cells={nodes={draw=black, ellipse}}]
   && v_3 \arrow["a_3"', no head, loop, distance=2em, in=125, out=55, color={rgb,255:red,92;green,92;blue,214} ] \arrow["{a_1}", color={rgb,255:red,92;green,92;blue,214}, no head, from=2-1, to=1-3] \\
   {v_1} &&&& {v_5} \\
   & {v_2} && {v_4}
   \arrow["{a_1}", color={rgb,255:red,92;green,92;blue,214}, no head, from=2-1, to=1-3]
   \arrow["{a_2}"', color={rgb,255:red,92;green,92;blue,214}, no head, from=2-1, to=3-2]
   \arrow["{a_4}"', color={rgb,255:red,92;green,92;blue,214}, no head, from=3-2, to=3-4]
   \end{tikzcd}\]


Gracias

Hola a todos.
Sea la ecuación diferencial \( y^{\prime}=(a_1-y)(y-a_2)(y-a_3) \), donde \( 0<a_1<a_2<a_3 \).

a) Encuentre los estados estacionarios de \( y \), e indique si se tratan de puntos estables o inestables.
b) Con el mayor detalle posible, esboce el diagram de fase y describa el comportamiento de la trayectoria \( y(t) \) considerando diversos puntos iniciales \( y(0) \).

Solución: a) La ecuación diferencial es \( y^{\prime}=f(y) \) donde \( f(y)=(a_1-y)(a_2-y)(a_3-y) \). Es fácil ver, que los estados estacionarios que satisfacen  \( f(\overline{y})=0 \) son \( \overline{y_1}=a_1, \overline{y_2}=a_2, \overline{y_3}=a_3 \). Calculamos la pendiente de  \( f(y) \) para evaluar su estabilidad alrededor de esos puntos. Luego  \( f^{\prime}(y)=-(a_2-y)(a_3-y)-(a_1-y)[(a_3-y)+(a_2-y)] \), luego \( f^{\prime}(a_1)<0, f^{\prime}(a_2)>0, f^{\prime}(a_3)<0 \). Se concluye que \( \overline{y}_1, \overline{y}_3 \) son puntos estables y \( \overline{y}_2 \) inestable.

b) para esta parte se entiende el gráfico de \( y^{\prime} \) pero no entiendo porque si \( y(0)<a_1 \), \( y(t) \) será creciente y convergerá al estado estacionario \( \overline{y}_1=a_1 \). Espero alguna sugerencia.  Gracias

Hola a todos.

Para \( a>0 \) se define la función mediante la serie de potencias  \( f(x)=\displaystyle\sum_{k=0}^\infty{\displaystyle\frac{k+1}{a^k}(x+1)^{2k+1}} \) y se sabe que \( \displaystyle\sum_{k=0}^\infty{(k+1)x^k}=\displaystyle\frac{1}{(1-x)^2} \), \( \left |{x}\right |<1 \).

Me piden lo siguiente:
i) radio de convergencia, ya lo conseguí, es \( \sqrt[ ]{a} \).
ii) Determine \( f^{(5)}(-1) \):  no entiendo porque hace que \( 2k+1=5 \), y luego concluya que \( f^{(5)}(-1)=\displaystyle\frac{3(5!)}{a^2} \). (Una explicación por favor, de que propiedad utiliza).
iii) Piden \( f^{(8)}(-1) \): concluyen que es cero ya que la serie no tiene potencias pares (no me queda claro, espero me puedan dar una explicación, muchas gracias)
iv) Piden \( f(0) \), eso si lo conseguí utilice la sugerencia.


Saludos cordiales

Hola a todos, alguien me puede compartir la tesis de doctorado de Peter Freyd 1960, que son los teoremas del functor adjunto.

Muchas gracias.

Hola, estoy queriendo probar lo siguiente:

Sean \( F: C\longrightarrow{D} \) y \( G:D\longrightarrow{C} \) funtores.

Si existe una transformación natural \( \eta:1_C\Longrightarrow{G\circ{F}} \) tal que \( \eta_c \) es un objeto inicial en la categoría \( (c\downarrow G) \), para todo \( c\in C \) entonces existe una transformación natural \( \epsilon:F\circ{G}\Longrightarrow{1_D} \) tal que \( \epsilon_d \) es un objeto final en la categoría \( (F\downarrow d) \), para todo \( d\in D \).

Estas transformaciones son llamadas la unidad y counidad respectivamente. Esta prueba es parte de una caracterización de par adjunto.

En efecto: Sea \( f:Fc\longrightarrow{d} \) un objeto en la categoría \( (F\downarrow d) \). Por probar que existe un único \( \beta:c\longrightarrow{Gd} \) tal que \( \epsilon_d\circ{F\beta=f} \).
Quiero utilizar el morfismo \( f \) en \( G \) es decir \( Gf:(G\circ{F})c\longrightarrow{Gd} \) ya que es un objeto en la categoría \( (c\downarrow G) \) luego por la hipótesis existe un único morfismo \( \alpha:F\widetilde{c}\longrightarrow{d} \) tal que \( G\alpha\circ{\eta_{\widetilde{c}}}=Gf \) donde \( \widetilde{c}=(G\circ{F})c \). No consigo la existencia de \( \beta \) con esa idea.

Espero una sugerencia.

Muchas gracias

Hola, tengo una propiedad de productos finitos en la cual les pido una sugerencia.
Supongamos que \( \{A_i\}_{i\in I} \) es una familia de objetos en la categoría \( \mathcal{C} \). Vamos a definir la categoría \( \mathcal{C}_{A_i} \) de la siguiente manera: los objetos son de la forma \( \widehat{X}_{f_i}=(X,\{f_i\}_{i\in I}) \), donde \( X\in \mathcal{C} \) y \( \{f_i\}_{i\in I} \) es una familia de morfismos en \( Mor_\mathcal{C}(X,A_i) \). Los morfismos cumplen
\( \widehat{h}\in Mor_{\mathcal{C}_{A_i}}(\widehat{X}_{f_i},\widehat{Y}_{g_i}) \) si y solo si \( h\in Mor_\mathcal{C}(X,Y) \) y  \( g_i\circ{h}=f_i \) para todo \( i\in I \).

Denotaremos por  \( \widehat{X}=(X,\{f_i\}_{i\in I}) \), \( \widehat{Y}=(Y,\{g_i\}_{i\in I}) \) a los objetos de \( \mathcal{C}_{A_i} \)



          \( \xymatrix{
& {A_i} \ar[ld]_{f_i} \ar[rd]^{g_i} & \\
{X} \ar[rr]_{h}& &{Y}} \)
Observación: en el diagrama de arriba, las flechas \( f_i, g_i \) están en dirección errada.

La composición es definida como \( \widehat{f}\circ{}\widehat{g}:=\widehat{f\circ{g}} \) y el morfismo identidad es \( 1_{\widehat{X}}:=\widehat{1}_X \).

Observación: Dos morfismos \( \widehat{f},\widehat{g}\in Mor(\widehat{X},\widehat{Y}) \) en \( \mathcal{C}_{A_i} \)  son tales que \( \widehat{f}=\widehat{g} \) si y solo si \( f=g \)
 en \( \mathcal{C} \).

Definición: Un objeto terminal  \( \widehat{X} \) en \( \mathcal{C}_{A_i} \), cuando existe es llamado un producto de la familia \( \{A_i\}_{i\in I} \). \( X \) será denotado por \( X=\prod_{{i\in I}}^{}A_i \).

Teorema: Si existen los productos \( (\prod_{{i=1}}^{n-1}A_i,\{f_i\})\in \mathcal{C}_{A_i} \) con \( i=1,2,...,n-1 \), \( ((\prod_{{i=1}}^{n-1}A_i)\times{A_n},\{p_1,p_n\})\in \mathcal{C}_{A_{\prod_{{i=1}}^{n-1}A_i,A_n}} \) y \( (\prod_{{i=1}}^{n}A_i,\{a_i\})\in \mathcal{C}_{A_i} \)  con \( i=1,2,...,n \) entonces \( (\prod_{{i=1}}^{n-1}A_i)\times{A_n}\approx{\prod_{{i=1}}^{n}A_i} \).
Demostración: De las hipótesis tenemos que \( f_i:\prod_{{i=1}}^{n-1}A_i\longrightarrow{A_i} \), \( i=1,2,...,n-1 \); \( p_1:(\prod_{{i=1}}^{n-1}A_i)\times{A_n}\longrightarrow{\prod_{{i=1}}^{n-1}A_i} \); \( p_n:(\prod_{{i=1}}^{n-1}A_i)\times{A_n}\longrightarrow{A_n} \) y \( a_i:\prod_{{i=1}}^{n}A_i\longrightarrow{A_i} \) con \( i=1,2,...,n \).

Luego \( f_i\circ{}p_1:(\prod_{{i=1}}^{n-1}A_i)\times{A_n}\longrightarrow{A_i} \), con \( i=1,2,...,n-1 \) entonces \( ((\prod_{{i=1}}^{n-1}A_i)\times{A_n},\{f_i\circ{p_1},p_n\})\in \mathcal{C}_{A_i} \), con \( i=1,2,...,n \) y dado que \( (\prod_{{i=1}}^{n}A_i,\{a_i\})\in \mathcal{C}_{A_i} \)  con \( i=1,2,...,n \) es un producto entonces existe un único \( h\in Mor((\prod_{{i=1}}^{n-1}A_i)\times{A_n},\prod_{{i=1}}^{n}A_i) \) y \( a_n\circ{h}=p_n, a_i\circ{h}=f_i\circ{p_1} \), con \( i=1,2,...,n-1 \).

Por otro lado \( (\prod_{{i=1}}^{n}A_i,\{a_i\})\in \mathcal{C}_{A_i} \) con \( i=1,2,...,n-1 \)

luego existe un único morfismo \( g\in Mor(\prod_{{i=1}}^{n}A_i,\prod_{{i=1}}^{n-1}A_i) \) y  \( f_i\circ{g}=a_i \) con \( i=1,2,...,n \). Ahora conseguimos que \( (\prod_{{i=1}}^{n}A_i,\{g,a_n\})\in \mathcal{C}_{A_{\prod_{{i=1}}^{n-1}A_i,A_n}} \) luego existe un único \( \phi\in Mor(\prod_{{i=1}}^{n}A_i,(\prod_{{i=1}}^{n-1}A_i)\times{A_n}) \) y \( p_1\circ{\phi=g; p_n\circ{\phi=a_n}} \).

De los resultados anteriores obtenemos que \( a_i\circ{(h\circ{\phi})=a_i} \) con \( i=1,2,...,n-1 \) y además \( a_n\circ{(h\circ{\phi})=a_n} \).

Denotemos \( A=\prod_{{i=1}}^{n}A_i \) y \( B=(\prod_{{i=1}}^{n-1}A_i)\times{A_n} \).
 
Tenemos que \( h\circ{\phi=1_A} \) pues \( a_i\circ{(h\circ{\phi})=a_i} \) con \( i=1,2,...,n-1 \) y  \( a_n\circ{(h\circ{\phi})=a_n} \).

Lo que no consigo es que \( \phi \circ{h}=1_B \). Espero alguna sugerencia.

Saludos.

Hola estoy viendo la proposición que adjunto como imagen.
No entiendo que quiere decir: \( \gamma \) is the morfihisrn into
the pullback induced by the two morphisms \( u:K\longrightarrow{A_1} \)  and  \( 0:K\longrightarrow{A_2} \).
Viendo la prueba del libro me parece que esta hipótesis es para probar que \( \beta _2\circ \gamma=0 \), por otro lado estoy casi seguro que necesitamos que   \( \beta_1 \)  sea un monomorfismo para concluir la prueba, pero no estoy consiguiendo ver ese resultado.

Espero una sugerencia.

Gracias

Sea \( P_A(x):=det(xI_n-A) \) el polinomio característico de la matriz \(  A\in M_n(\mathbb{K})\cong \mathbb{K}^{n\times{}n} \) .

Para cada \(  A\in \mathbb{K}^{n\times{}n} \)  existen \( P_0,P_1,...,P_{n-1}\in \mathbb{K}[x_{ij}] \) con \( =1,2,...,n \)  tales que \( P_A(x)=x^n+P_{n-1}(A)x^{n-1}+...+P_1(A)x+P_0(A) \).

Inducción sobre \( n \).

Para \( n=2 \). Si  \( A=\bigl(\begin{smallmatrix}a & b\\ c & d\end{smallmatrix}\bigr) \) entonces \( P_A(x)=x^2+(-a-d)x+(ad-bc) \), luego existen polinómios \( P_1(x_1,x_2.x_3,x_4)=-x_1-x_4, P_0(x_1,x_2.x_3,x_4)=x_1x_4-x_2x_3 \) en \( \mathbb{K}[x_1,x_2,x_3,x_4] \) tales que \( P_A(x)=x^2+P_1(A)+P_0(A) \).

Luego para el caso n se me hace dificil usar la hipótesis inductiva  con n-1.

Espero alguna sugerencia.

gracias

Hola  a todos.

Quería saber donde puedo encontrar información sobre el discriminante de un polinomio de grado n de la forma \( P(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+...+a_nx^n\in K[x]  \) donde K es un cuerpo cualquiera. Hay otra expresión del discriminante donde intervienen las raíces.

Muchas gracias.