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Temas - malboro

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Categorías / Objetos en la. Categoría Mod_A
« en: 14 Octubre, 2020, 07:08 pm »
Hola.

En la Categoría de los R-módulos, si R=0 es el anillo trivial ¿Cuántos objetos tiene dicha categoría?

Muchas gracias

2
Hola.

Si \( f:[a,b]\to \mathbb{R} \) es una función derivable en \( [a,b] \)  y \( f^{\prime}(a)=f^{\prime}(b) \) entonces existe \( c\in <a,b> \) tal que \( f^{\prime}(c)=\frac{f(c)-f(a)}{c-a} \).

Espero alguna idea de como aplicar el teorema del valor medio.

gracias

3
Categorías / ¿Cómo definir subobjetos minimales?
« en: 20 Agosto, 2020, 08:42 am »
Hola de nuevo.

Algunas definiciones: Sean  una C categoría y \(  A \) un objeto fijo de C. Dados los monomorfismos \( f:X\rightarrow{A} \), \( g:Y\rightarrow{A}  \) en C, diremos que
\( g<f  \) si existe  una flecha \( h:Y\rightarrow{X}  \) en C tal que \( f\circ{h}=g  \).
Ahora vamos a definir una relación de equivalencia en el conjunto de los monomorfismos  que van hacia el objeto \( A  \): \( f\sim{g}  \) si y solo si \(  f<g \) y \( g<f  \). Dado \( h:Z\rightarrow{A}  \) un monomorfismo, entonces la clase \( \overline{h}=\left\{{f \mid  f\sim{h}}\right\}  \) es el conjunto de los subobjetos de \( A  \). Al conjunto de los monomorfismos  que van hacia el objeto \( A  \) lo vamos a denotar por \( Mon_A  \).

Sea C una categoría localmente pequeña (para cada \( A, B \) en C, se tiene que  \( Mor(A,B)  \) es un conjunto) y denotaremos por  \( \overline{Mon}_A  \) al conjunto de las clases de equivalencia  \( \overline{h}=\left\{{f \mid  f\sim{h}}\right\}  \).

Mi pregunta es: ¿Cómo defino un subobjeto minimal en un subconjunto de \( \overline{Mon}_A  \)?

Muchas gracias






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Categorías / Subobjetos de un A-módulo
« en: 17 Julio, 2020, 04:38 am »
Hola a todos.

Algunas definiciones: Sean  una C categoría y \(  A \) un objeto fijo de C. Dados los monomorfismos \( f:X\rightarrow{A} \), \( g:Y\rightarrow{A}  \) en C, diremos que
\( g<f  \) si existe  una flecha \( h:Y\rightarrow{X}  \) en C tal que \( f\circ{h}=g  \).

Ahora vamos a definir una relación de equivalencia en el conjunto de los monomorfismos  que van hacia el objeto \( A  \): \( f\sim{g}  \) si y solo si \(  f<g \) y \( g<f  \). Dado \( h:Z\rightarrow{A}  \) un monomorfismo, entonces la clase \( \overline{h}=\left\{{f \mid  f\sim{h}}\right\}  \) es el conjunto de los subobjetos de \( A  \).


Afirmación: Los subobjetos de un R-módulo  \( M  \) son salvo equivalencia, los submódulos con las inclusiones.

¿ Cuál es la idea para esa afirmación?

Muchas  gracias





6
Hola a todos.

Mi pregunta es: ¿ Cuántas pruebas de que \( \pi \) es irracional existen ?

Y si fueran tan amables, donde las encuentro?

Muchas gracias

SALUDOS Y FELICITACIONES POR LA NUEVA CARA DEL FORO.

7
Estructuras algebraicas / Criterio de Iwasawa
« en: 20 Enero, 2020, 04:30 am »
 (Teorema de Iwasawa) o criterio de Iwasawua

 Sea \( G \) un grupo y   \( \Omega \) una acción sobre \( G \) tal que:
 
 (i) \( G \) es un grupo primitivo
 
 (ii) \( G^{\prime} =G \)
 
 (iii) Si \( \alpha \in \Omega \), \( G_{\alpha} \) tiene un subgrupo \( M \) que es abeliano  y normal de modo que
 
 \( G=<M^r \mid r\in G> \).


 
 Entonces \( G/K \) es un grupo simple.


Con esto se demuestra que el grupo lineal proyectivo es simple \( PSL(n,k) \) excepto para \( PSL(2,2) \) y \( PSL(2,3) \).

¿Para qué otros grupos se puede usar este teorema?

¿Se puede probar que el grupo alternante \( A_n \) es simple cuando \( 5\leq n \), usando ese criterio?

8
Estructuras algebraicas / Conjunto de primos asociados unitario
« en: 10 Enero, 2020, 07:25 am »
Hola.

Dados  \( P\in Spec(A) \),  \( M\neq\{0\} \). Entonces \( Ass(M)=\{P \} \) sí y solo si \( x_M:M\longrightarrow{M} \) definido por \( x_M(m)=xm \) es nilpotente, para cada \( x\in P \).
Prueba:

Para la ida usamos http://rinconmatematico.com/foros/index.php?topic=111831.msg441968#msg441968

La vuelta es lo que no me queda claro.

CORREGIDO ENLACE.

9
Hola

Continuando con la caracterización de un endomorfismo nilpotente que se desarrollo  aquí http://rinconmatematico.com/foros/index.php?topic=111439.0.

Consideremos que \( A \) es un anillo conmutativo con identidad y noetheriano y \( M \) un \( A \)-módulo finitamente generado.

Para cada \( x\in{A} \) definimos el endomorfismo \( x_M:M\longrightarrow{M} \) definido por \( x_M(m)=xm \).
Entonces son equivalentes:

i) \( x_M \) es nilpotente

ii) \( x\in \displaystyle\bigcap_{P\in{Ass(M)}}^{}{P} \).

Ya se desarrollo \( i) \Rightarrow{ii)} \) en el enlace de arriba, ahora veremos \( ii)\Longrightarrow{i)} \).

Dado que \( x\in \displaystyle\bigcap_{P\in{Ass(M)}}^{}{P} \) entonces \( x\in P \) para todo \( P\in Ass(M) \), luego existe un \( m\in M \) tal que \( x\in P=Ann(m)  \), es fácil ver que \( x\in Ann(A/P) \) luego \( x\in Ann(M_i/M_{i-1)} \) para todo \( i=0,1,..,n \) pues  \( M_i/M_{i-1}\cong A/P_i \) ( estos \( M_i \) vienen de  lo siguiente:
Consideremos siempre que \( A \) anillo conmutativo con identidad y noetheriano, \( M \) un \( A \)-módulo finitamente generado
 entonces existe una cadena ascendente de submódulos de \( M \), digamos \( 0=M_0\subset{M_1}\subset{M_2}\subset{}...\subset{M_n=M} \) tales que \( M_i/M_{i-1}\cong A/P_i \) donde los \( P_i\in Spec(A) \) ).

Afirmación 1: \( x_M(M)\subseteq{M_{n-1}} \)
En efecto:

Sea \( x_M(m)=xm\in x_M(M) \), ya que \( m\in M \) entonces \( m+M_{n-1}\in M/M_{n-1} \) y dado que \( x\in Ann(M/M_{n-1)} \) pues \( x\in Ann(M_i/M_{i-1)} \) para todo \( i \) entonces \( x(m+M_{n-1})=M_{n-1} \) ahora de este último resultado se tendría que \( xm\in M_{n-1} \) si se prueba que  \( x\in M_{n-1} \). Me parece que \( x\in M_{n-1} \) pues \( M/M_{n-1}\cong A/P_i \) y ya que \( x\in P \). Esa es mi inquietud en esta prueba.

10
Hola.

Estoy viendo la proposición 8 página 9 del libro LOCAL ALGEBRA del autor JEAN PIERRE SERRE.

Consideremos que \( A \) es un anillo conmutativo con identidad y noetheriano y \( M \) un \( A \)-módulo finitamente generado.

Para cada \( x\in{A} \) definimos el endomorfismo \( x_M:M\longrightarrow{M} \) definido por \( x_M(m)=xm \).
Entonces son equivalentes:

i) \( x_M \) es nilpotente

ii) \( x\in \displaystyle\bigcap_{P\in{Ass(M)}}^{}{P} \)

Prueba:

\( i) \Rightarrow{ii)} \) Por contradicción.

Supongamos que \( x\not\in{P} \) para algún \( P\in{Ass(M)} \).

Ahora dado que \( P\in{Ass(M)} \) (ya que \( P\in{Ass(M)} \) entonces existe un \( m\in{M} \) tal que \( P=Ann(m) \), esto quiere decir que \( xm\neq{0} \)) entonces existe un submódulo \( N  \) de \( M \) que es isomorfo a \( A/P \). Consideremos la restricción \( x_M|_N:N\rightarrow{M} \) de \( x_M \) que también es nilpotente y sabemos que \( m\in{N} \) (pues es sabido que \( N=<m> \)), luego tenemos que existe un entero positivo \( r \) tal que \( (xm)^r=0 \) entonces \( x^r\in{Ann(m^r)} \). No consigo llegar a la contradicción, espero una sugerencia.

Gracias

11
Hola.

Consideremos siempre que \( A \) anillo conmutativo con identidad y noetheriano, \( M \) un \( A \)-módulo finitamente generado.

Afirmación 1.-  \( A/P \) como un \( A \) módulo y \( P\in{Spec(A)} \). Entonces tenemos que \( Ass(A/P)=P \).

Afirmación 2.- Si \( N \) es un submódulo de M como \( A \)- módulos entonces \( Ass(N)\subseteq{Ass(M)\subseteq{Ass(N)\cup{Ass(M/N)}}} \).

Afirmación 3.- Existe una cadena ascendente de submódulos de \( M \), digamos \( 0=M_0\subset{M_1}\subset{M_2}\subset{}...\subset{M_n=M} \) tales que \( M_i/M_{i-1}\cong A/P_i \) donde los \( P_i\in Spec(A) \).

Teorema.-  Si existe una cadena ascendente de submódulos de \( M \), digamos \( 0=M_0\subset{M_1}\subset{M_2}\subset{}...\subset{M_n=M} \) tales que \( M_i/M_{i-1}\cong A/P_i \) donde los \( P_i\in Spec(A) \) entonces  \( Ass(M)\subseteq{\left\{{P_1,P_2,...,P_n}\right\}} \). Esto quiere decir que el conjunto de los ideales primos asociados es finito.

Prueba:

Por inducción en la longitud de la cadena.

Para \( n=1 \) tenemos \( 0=M_0\subset{M_1=M} \) tales que \( M_1/M_0\cong A/P_1 \), luego por afirmación 1 tenemos que \( Ass(M)=\left\{{P_1}\right\} \).

Supongamos que cumple el teorema para una cadena de longitud \( n-1 \) (Hipótesis inductiva).   ( pregunta: La hipótesis inductiva quiere decir que  \( Ass(M)\subseteq{\left\{{P_1,P_2,...,P_{n-1}}\right\}} \) )

Ahora consideremos una cadena de longitud \( n \), digamos \( 0=M_0\subset{M_1}\subset{M_2}\subset{}...\subset{M_n=M} \). tales que \( M_i/M_{i-1}\cong A/P_i \). (Pregunta: Hay que probar que \( Ass(M)\subseteq{\left\{{P_n}\right\}} \)).

Cocientando la cadena anterior con \( M_1 \) tenemos \( 0=M_1/M_1\subset{M_2/M_1}\subset{}...\subset{M_n/M_1=M/M_1} \) dicha cadena tiene longitud \( n-1 \) y es fácil ver que \( (M_i/M_1)/(M_{i-1}/M_1)\cong A/P_i \) luego por hipótesis inductiva tenemos que \( Ass(M)\subseteq{\left\{{P_1,P_2,...,P_{n-1}}\right\}} \). Por otro lado tenemos que \( M_n/M_{n-1}\cong A/P_n \) luego \( Ass(M/M_{n-1})=\left\{{P_n}\right\} \) y \( Ass(M_1)=\left\{{P_1}\right\} \), ya que \( M_1 \) es un submódulo de \( M \) entonces por afirmación 2 tenemos que \( Ass(M_1)\subseteq{Ass(M)} \) luego \( P_1\in{Ass(M)} \), también por afirmación 2 tenemos que \( Ass(M)\subseteq{Ass(M_1)\cup{Ass(M/M_1)}} \). Hasta aquí llegue.

Espero una sugerencia.

Muchas gracias.


12
Hola

¿Se cumple que \( K^n=K\oplus{K}\oplus{}...\oplus{K} \),  (\( n \) -veces ) ?  donde \( K \) es un \( K \)-espacio vectorial.

Gracias

13
Hola.

Sea \( A \) un anillo local donde \( K=\displaystyle\frac{A}{M} \) con \( M \) ideal maximal de A.

Sean \( M \) y \( N \) dos \( A \)-módulos. Probar que si \( M\otimes_A{N}=0 \)  entonces \( M=0 \) o \( N=0 \).

La prueba la he visto aquí: https://dangtuanhiep.files.wordpress.com/2008/09/papaioannoua_solutions_to_atiyah.pdf.

La parte que no me queda clara es,  porqué \( M_K:=M\otimes_A{K} \) es un \( K \)-espacio vectorial?

Muchas gracias

14
Hola.

Supongamos que  \( V \) y \( W \) son  \( K \)-espacios vectoriales con bases \( (e_i)_{i \in I} \) y \( (f_j)_{j \in J} \)  respectivamente. Entonces la colección de elementos \( e_i \otimes f_j \)  con  \( \left(i,j\right) \in I \times J \) forma una base de \( V\otimes W \).

Una idea por favor para la independencia lineal.

Gracias

15
Hola

Estoy queriendo probar una afirmación que el Manco comentó en el siguiente hilo: http://rinconmatematico.com/foros/index.php?topic=110846.0 .
Ojo: \( A \) es anillo conmutativo con identidad.
Afirmación del hilo:
Si \( M\neq{0} \) es un \( A \)-módulo finitamente generado  entonces existe un submódulo \( N\neq{M} \) tal que \( \displaystyle\frac{M}{N} \) es simple.

Prueba:

Usaremos la siguiente afirmación:

\( M\neq{0} \) es simple sí y solo si para cada \( 0\neq{m}\in M \) se tiene que \( M=<m> \) (ejercicio).



Supongamos que \( \left\{{m_1,...,m_k}\right\} \) son los generadores de \( M \).

Inducción sobre \( k \).\

Para \( k=1 \)

Tenemos que \( <m_1>=M \). Si consideramos un \( m_0\in M \) tal que \( m_0\neq{m_1} \) entonces \( <m_0> \) es un submódulo de \( M \).
Afirmación: \( \displaystyle\frac{M}{<m_0>} \) es simple. El razonamiento está bien?  (En este caso \( N=<m_0> \)).

Y para lo que sigue de la inducción ?

Gracias
 




16
Estructuras algebraicas / El lema de Nakayama
« en: 10 Octubre, 2019, 06:25 pm »
Hola.

Estoy viendo el libro de Jean Pierre Serre titulado  " local algebra ".

En el inicio del capítulo 1 enuncian el lema de Nakayama. Cambiare algunas notaciones y colocaré lo que dice el libro.

Proposition 1. Sea \( M \) es un \( A \)-módulo finitamente generado e \( I \) un ideal de \( A \) contenido en el radical de Jacobson de \( A \).
 Si  \( IM = M \) entonces  \( M=0 \).
Prueba:
Supongamos que \( M\neq{0} \) entonces tiene un cociente que es un módulo simple (no entiendo bien: cómo así tiene un cociente?), por tanto  es isomorfo a \( \displaystyle\frac{A}{m} \),  con \( m \) ideal maximal de \( A \).

Gracias

17
Hola, estuve leyendo el siguiente link https://proofwiki.org/wiki/Kernel_of_Group_Action_is_Normal_Subgroup. En la parte donde quiere probar que es normal :



Entonces:

\( (gℎg^{−1})⋅x=g⋅(ℎ⋅(g^{−1}⋅x))=g⋅(g^{−1}⋅x) \), no consigo entender la última igualdad.
Si el grupo G fuera abeliano si tiene sentido pero no lo es.

Gracias

18
Categorías / Un lema importante
« en: 25 Septiembre, 2019, 10:06 pm »
Hola,

Adjunto el pdf de la demostraciòn, cualquier sugerencia y observaciòn serà muy importantepara mì.

Gracias.

19
Hola.
Sean

\( R=\mathbb{Z}[x_1,x_2,...,x_n]/ \langle f_1,f_2,...,f_m \rangle \)  y \( T \) anillos.


\( \left\{{h:R\to T: h, homomorfismo}\right\}=\left\{{(a_1, ..., a_n): f_j(a_1, ..., a_n)=0, \forall{j}}\right\} \), es verdad esa igualdad siguiendo este archivo http://math.mit.edu/~mckernan/Teaching/07-08/Spring/18.726/l_15.pdf  ?

Muchas gracias

20
Estructuras algebraicas / Ejemplos de prehaces que no son haces.
« en: 21 Septiembre, 2019, 12:08 am »
Hola.

Querìa saber si los ejemplos que colocarè abajo son prehaces que no son haces.


1) Consideremos \( \mathbb{C} \) con la topologìa usual. Definimos el prehaz de las funciones acotadas \( F:\textbf{Top}(X)\to \textbf{Ab} \) de la siguiente manera:

 Para cada \( U\in \textbf{Top}(X) \) tenemos que  \( FU:=\left\{{f:U\to \mathbb{C}:f ,acotada}\right\} \)
està en \( \textbf{Ab} \).

2) Consideremos \( \mathbb{C} \) con la topologìa usual. Definimos el prehaz de las funciones acotadas \( F:\textbf{Top}(X)\to \textbf{Ab} \) de la siguiente manera:

 Para cada \( U\in \textbf{Top}(X) \) tenemos que  \( FU:=\left\{{f:U\to \mathbb{C}:f ,acotada, holomorfa}\right\} \)
està en \( \textbf{Ab} \).



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