Hola

1) Considera la aplicación biyectiva:

 \( f:R^2-\{0\}\longrightarrow{}R^2-\{0\} \)

\(  f(x,y)=(\dfrac{x}{x^2+y^2},\dfrac{y}{x^2+y^2}) \)

 y define:

\(  \delta(P,Q)=d(f(P),f(Q)) \)

 2) En principio son comprobaciones mecánicas y sería bueno que indicases que intentaste y donde encuentras dificultad.

Saludos.

Hola

 Esa \( n \), ¿es fija? ¿tiene que ver con la \( k \)?. ¿El algoritmo es este:

\(  x_{k+1}=x_n\left(1-\dfrac{f'(x_k)}{n}\right) \) ?

 En ese caso equivale a aplicar el método del punto fijo a la función:

\(  g(x)=x(1-\dfrac{f'(x)}{n}) \)

 Un punto fijo de esa función es:

\(  g(x)=x\quad \Leftrightarrow{}\quad f'(x)=0 \)

 Por tanto estamos hallando una raíz de la derivada. Pero si \( f(x) \) tiene una raíz doble, su derivada se anula en ese mismo punto. De ahí el sentido del método.

 En cuanto al estudio de la convergencia con este punto de vista puedes aplicar lo que sepas sobre el método del punto fijo.

 Por cierto aclara los detalles que indiqué al principio.

Saludos.

Hola

 El algoritmo de la división dice: dados dos polinomios \( p(x),q(x)\in F(x) \), con \( q(x)\neq 0 \) existen polinomios \( c(x),r(x)\in F(x) \) con \( grado(r(x))<grado(q(x)) \) tales que:

\(  p(x)=c(x)q(x)+r(x) \)

 (lo que nos contaban en la escuela: dividendo igual a divisor por cociente más el resto).

 En tu caso si llamamos \( a(x) \) a ese elemento minimal, dado cualquier polinomio p(x)\in I puedes escribirlo como:

\(  p(x)=c(x)a(x)+r(x) \)

 con \( grado(r(x))<grado(a(x)) \).

 Comprueba que \( r(x)\in I \) y por la minimalidad de \( a(x) \) deduce que \( r(x)=0 \). Concluye.

Saludos.

Hola

Todas las trayectorias son árboles pues son conexas y no tienen ciclos y recorren todas sus aristas, por lo tanto es trayectoria euleriana.

No estyo seguro que quieres decir con esto.

Por otra parte y por completar el ejemplo dado por Eleal, describe todos los árboles que tengan un camino Euleriano.

Saludos.

Hola

 1) Lo que has hecho está casi bien. Sólo un matiz, tienes que coger \( \delta \) suficientemente pequeño para que \( c+\delta/2 \) no se salga del intervalo. Eso lo puedes hacer siempre que \( c\neq b \).

 Pero tenemos este hecho asegurado ya que por hipótesis \( f(b)<0 \), luego si suponemos \( f(c)>0 \) entonces \( c\neq b \).

 Ahora si supones \( f(c)<0 \) haz el mismo razonamiento pero con \( \epsilon=-f(c) \).

 2) Aquí metí la pata. Con el razonamiento que te dije no se llega a ninguna contradicción.

 Podemos pensar de otra manera. Si una función derivable es Liptchiziana en un entorno su derivada está acotada, ya que:

\(  \left|\dfrac{f(x)-f(y)}{x-y}\right|<k \)

 Comprueba que en tu caso la derivada de \( f(x) \) no está acotada en ningún entorno del cero.

Saludos.

Hola

 Si, cierto, necesitas comprobar también que la aplicación es sobreyectiva.

Saludos.

Hola

 Zonurb1: ¿no estás rizando el rizo?.

 Hay conceptos en matemáticas difíciles de interpretar; pero su formulación actual el de derivada no es uno de ellos.

 La interpretación geométrica de la derivada es, hoy por hoy, un clásico. Te la ha contado aladan, la puede leer aquí:

http://www.catedu.es/matematicas_blecua/bacmat/temario/bac1/mat1_09derivada.htm

 y en algún momento me pareció que tu llegabas a ella pero no estyo seguro.

 Entonces antes de nuevas interpretaciones, sería bueno que dejases claro si entiendes o no la interpretación de la derivada como pendiente de la recta tangente a una curva en un punto o si prefieres, como razón de cambio de la función "cerca" del punto.

Saludos.

Hola

 Sería bueno que leyeses las reglas del foro y tutorial de LaTeX.

 Hasta aquí entiendes:

\(  15000=\dfrac{24000t}{1+0.12t} \)

 Luego quita denominadores:

\(  15000(1+0.12t)=24000t \)

\(  15000+15000\cdot 0.12t=24000t \)

\(  15000+1800t=24000t \)

 Luego agrupas términos...

Saludos.

Hola

 Echa un vistazo al tutorial de LaTeX: no es difícil si se le dedican unos minutos con interés.

Por otra parte, no repitas el mismo problema en secciones distintas del foro, por favor.

 1) Por reducción al absurdo. Si \( f(c)>0 \) prueba que hay un entorno de \( c \) en el cual \( f(x) \) es positiva y por tanto \( c \) no puede ser supremo. Para ello aplica la definición de continuidad en \( c \) para \( \epsilon=c. \) Idem, suponiendo \( f(c)<0 \).

 2) Si fuese Lipchiziana tendría que existir una constante \( k>0 \) tal que:

\(  |f(x)-f(0)|<k|x| \)

 en el correspondiente entorno del cero. Trata de probar que no es posible.

Saludos.

Hola

 En el segundo puedes contar los casos en los que falla todas las veces. La probabilidad pedida es la complementaria:

\(  P(\mbox{acertar al menos 1})=1-P(\mbox{fallar todas})=1-\left(\dfrac{3}{5}\right)^6 \)

Saludos.