Me refiero a que la expresión \( \{x_n\}\to a \) expresa que la sucesión \( \{x_n\}\subset X \) converge a \(  a \) en el espacio métrico \( (X,d) \), es decir, \( \forall\,\varepsilon >0, \exists\,n_0\in\mathbb{N} \) tal que \( \forall\,n\geq n_0  \) se cumple \( d(x_n,a)<\varepsilon \)

Ajá, entiendo lo que querías decir. Cierto, hay una diferencia conceptual que había pasado por alto. Gracias por comentarlo.

Pero digo yo que todo dependerá de EXACTAMENTE qué definición se de de las cosas.

Ok, podría ser que parta de una definición diferente de la expresión \( \lim_{n\to \infty }x_n=a \). No había tenido en cuenta esa posibilidad. La verdad es que ahora entiendo lo que quería decir ani_pascual, realmente hay una sutil diferencia en decir


que decir que

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FedeFrontera, ¿cómo te han definido el significado de la expresión \( x_n\to a \) para un espacio métrico? A partir de la definición que te hayan dado debes verificar que es equivalente a decir que \( \lim_{n\to \infty }d(x_n,a)=0 \).

Hola:
Me parece que hay un matiz sutil; con la expresión \( \lim\limits_{n\to\infty}d(x_n,a)=0 \) se está indicando que la sucesión de números reales \( \{d(x_n,a)\}_{n\in\mathbb{N}} \) converge a \( 0\in\mathbb{R} \) y con la expresión \( \{x_n\}\longrightarrow a\Longleftrightarrow \lim\limits_{n\to\infty}\{x_n\}_{n\in\mathbb{N}}=a \) se indica que la sucesión \( \{x_n\}_{n\in\mathbb{N}} \) converge a \( a \) en el espacio métrico del enunciado.
Saludos

Yo no veo matiz alguno: a través del límite \( \lim_{n\to \infty }d(x_n,a)=0 \) (límite en \( \mathbb{R} \), sí) se define lo que significa la cadena de símbolos \( \lim_{n\to \infty }x_n=a \) en el contexto de espacios métricos.

Eso es como si me dijeras que hay un matiz entre decir que \( f\in \mathcal{L}^1(\mathbb{R},B) \), para \( B \) un espacio de Banach separable, y decir que \( \int_{\mathbb{R}}\|f(x)\|\,d x<\infty  \). Esto último es un límite real también (si nos ceñimos a la definición de integral de Lebesgue) y sin embargo \( f\in \mathcal{L}^1(\mathbb{R},B) \) es una relación de pertenencia.

El teorema de Gauss es para raíces racionales, es decir, lo que dice es que si \( P \) tiene una raíz racional entonces tal raíz pertenece al conjunto de los números dados por \( \pm \frac1{5},\pm 1,\pm 3,\pm\tfrac{3}{5} \). Pero claro, si las raíces no son racionales entonces esas posibilidades no te sirven, por ejemplo con el polinomio \( x^2-2 \) que sus raíces son \( \pm \sqrt{2} \).

En general si el grado del polinomio es mayor a 4 entonces no hay forma de expresar sus raíces como composición de funciones elementales como suma, resta, producto, división y raíz racional \( x^{n/m} \) de los coeficientes del polinomio, y la calculadora sólo puede darte aproximaciones. Eso es lo que demostró Evariste Galois, que además fue el que dio nombre a lo que hoy denominamos como grupo.

No sé si eso resuelve tus dudas alucard.

Añadido: se adelantó manooooh con parte de lo que digo en este mensaje.

Si \( y'(x)\neq 0 \) entonces \( y \) es localmente invertible, y podemos ver a \( x \) como su función inversa. Eso nos deja que


que es de la forma \( x'+P(t)x=Q(t) \).

Corrección: he cambiado la notación anterior porque podía ser muy confusa.

Cita de: Masacroso en 15 Mayo, 2024, 03:52 am

Diferenciando nos deja un problema de valor inicial \( W'(\alpha )=a+b\cos \alpha  +cW(\alpha ) \) con \( W_0:=W(0)=0 \). Al ser una ODE lineal debería tener una solución sencilla.

Mi duda es esa, si puedo diferenciar el sumando


 $$2\mu\displaystyle\int\limits_0^{\theta_f} W \ d\theta$$, respecto de $$\theta$$  cual es ese resultado,  porque no lo entendí bien de la wikipedia, para luego con una expresión general abordar un resultado particular y conocer la velocidad en un punto conociendo $$\theta$$.


Gracias a ambos por la velocidad de respuesta 

Diferenciarías respecto de \( \theta _f \), no de \( \theta  \) que es la variable de integración. Es decir, aplicarías el teorema fundamental del cálculo, cosa que podemos hacer porque al venir \( W \) definida por una integral entonces \( W \) es necesariamente continua. Es decir, lo que se está haciendo es pasar de \( f(y)=\int_{0}^y (h(x)+f(x))\,d x \) al IVP \( f'(y)=h(y)+f(y) \) y \( f(0)=0 \).

Buenas noches!! Necesitaba ayuda con otro ejercicio que dice así:

Clasificar por semejanza todas las matrices A, 5X5 con coeficientes reales y tales que \( (A^2+I)(A-I)=0 \)

No sé si lo que voy a decir a continuación se ajusta o no a lo que te piden, pero ahí lo dejo por si te sirviese.

Si tomas el polinomio \( p(x):=(x^2+1)(x-1) \) entonces el ejercicio te dice que clasifiques todos los operadores lineales en \( \mathbb{R}^5 \) cuyo polinomio mínimo divide a \( p \), es decir, los operadores cuyo polinomio mínimo sea \( p \) o bien sea \( x^2+1 \) o bien sea \( x-1 \).

Ahora bien, sea \( T \) un operador en \( \mathbb{C}^n \), entonces se puede demostrar que si el polinomio mínimo de \( T \) es de la forma \( \prod_{k=1}^\ell (x-\lambda _k)^{r_k} \) para \( \lambda _k\in \mathbb{C} \) distintos entre sí, entonces \( r_k \) es el menor número natural tal que \( (T-\lambda _kI)^{r_k}|_{G(\lambda _k,T)}=0 \), donde \( G(\lambda_k ,T) \) es el espacio de vectores propios generalizados asociados a \( \lambda_k  \). Dicho de otro modo: si \( \mathbf{v}\in G(\lambda_k ,T) \) entonces \( r_k\in \mathbb{N} \) es el mínimo natural que asegura que \( (T-\lambda_k I)^{r_k} \mathbf{v}=0 \).

Ahora si complejizas un operador en \( \mathbb{R}^5 \) entonces, en base a lo dicho, puedes caracterizar a ese operador por una descomposición en espacios propios generalizados, dependiendo del polinomio mínimo que elijas. Por ejemplo si tomases por polinomio mínimo \( x^2+1 \) entonces el operador, al ser complejizado, descompone \( \mathbb{C}^5 \) en dos subespacios propios generalizados, es decir que \( \mathbb{C}^5=G(i,T_{\mathbb{C}})\oplus G(-i,T_{\mathbb{C}}) \). Sin embargo, para que \( T \) sea real, es necesario que ambas dimensiones de ambos subespacios sean iguales, y como \( 5 \) no es divisible por \( 2 \) entonces eso nos deja que no existe operador en \( \mathbb{R}^5 \) que tenga como polinomio mínimo a \( x^2+1 \).

Ahora haz el mismo análisis con \( x-1 \) y con \( p(x) \), así caracterizarás todo operador en \( \mathbb{R}^5 \) con esos polinomios mínimos en base a las dimensiones de una descomposición en subespacios invariantes, cada subespacio correspondiente a uno de los factores del polinomio mínimo.

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Otra forma de abordar el ejercicio es caracterizar cada familia de operadores semejantes por una matriz de Jordan generalizada, esto es, cuya diagonal está compuesta de bloques de matrices 1x1 (para valores propios del operador) y bloques de 2x2 (lo que corresponderían a valores propios conjugados de la complejización del operador) y cuya diagonal inmediatamente superior tendría un número variable de bloques 1x1 o 2x2 (según estén sobre bloques 1x1 o 2x2 de la diagonal) de matrices identidad (es decir, de bloques 1x1 con un 1 o de bloques 2x2 de la forma \( \left[\begin{smallmatrix}1&0\\0&1\end{smallmatrix}\right] \)). Como la dimensión es baja entonces es fácil de comprobar qué multiplicidades de bloques en la matriz de Jordan generalizadas son compatibles con determinado polinomio mínimo y cuáles no.

Un ejemplo de una de esas matrices de Jordan sería


Lo marcado en rojo son dos bloques 2x2 correspondientes a un posible subespacio asociado al factor \( x^2+1 \) en \( p(x) \), en azul un bloque 1x1 correspondiente a un posible subespacio asociado al factor \( x-1 \) de \( p(x) \) (en este ejemplo esta matriz tendría de polinomio mínimo a \( p(x) \)). Tal matriz cumple efectivamente que \( p(A)=0 \). Las otras dos matrices posibles serían con cero bloques rojo y todo bloques en azul (es decir, la matriz identidad) y con un solo bloque rojo y tres bloques azules, y en ningún caso con elementos en la diagonal inmediatamente superior.

Es decir, habría exactamente tres familias diferentes de matrices semejantes que cumplen que \( p(A)=0 \).

En este ejercicio ninguna matriz de Jordan tiene elementos en la diagonal inmediatamente superior, es decir, son todas matrices diagonales de bloques. Eso es porque en nuestros polinomios mínimos posibles todos los \( r_k=1 \). Un valor de \( r_k>1 \) daría lugar a matrices de Jordan con elementos en la diagonal inmediatamente superior.

Para tomar unas matrices de Jordan canónicas tenemos que prescribir un orden de los bloques, como yo he hecho, por ejemplo podemos optar por empezar por bloques 2x2 y luego rellenar con bloques 1x1, y cada bloque 2x2 ordenado de la forma \( \left[\begin{smallmatrix}\alpha &-\omega \\\omega &\alpha \end{smallmatrix}\right] \) para \( \omega >0 \).

Hay un teorema que demuestra que para todo operador \( T \) de un espacio vectorial finito \( V \) la sucesión \( \{\operatorname{nul}(T^n)\}_{n\in\mathbb{N}} \) es creciente y eventualmente igual a \( \operatorname{nul}(T^{\dim V}) \). Entonces una forma de demostrar lo que te piden es comparando \( \operatorname{nul}(T) \) y \( \operatorname{nul}(T^2) \).

Añado: por concretar más el teorema dice lo siguiente. Sea \( V \) un espacio vectorial de dimensión finita y \( T:V\to V \) una función lineal. Si para algún \( n\in \mathbb{N} \) tenemos que \( \operatorname{nul}(T^n)=\operatorname{nul}(T^{n+1}) \) entonces \( \operatorname{nul}(T^n)=\operatorname{nul}(T^{n+k}) \) para todo \( k\geqslant 1 \). Además \( \operatorname{nul}(T^{\dim V})=\operatorname{nul}(T^{1+\dim V}) \).

Te dejo la pista a ver si con esto consigues resolver el ejercicio, si no pregunta de nuevo.

El a) es correcto, y el b) no sé muy bien lo que has hecho, en principio deberías tener una integral triple, salvo que estés usando de algún modo el teorema de Stokes.

Para el b) el volumen son los puntos que cumplen que

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Aunque yo, antes de proceder a ver cómo plantear las integrales, usaría las simetrías del volumen para intentar simplificar las cosas, por ejemplo trasladando el origen al centro de la esfera, y luego girando para que el segmento en el plano XY que une el centro de la esfera y el eje del cilindro caiga en el eje X. No hace falta calcular nada, tan sólo usar la imagen del apartado a) como referencia para ver cómo quedarían las condiciones, en este caso tendrías que el volumen es la intersección de la bola \( B \) y el cilindro \( C \) dados por


lo cual deja más sencillo trabajar en coordenadas esféricas. Si por el contrario quieres usar coordenadas cilíndricas entonces te conviene más centrar el origen sobre el eje del cilindro, en ese caso el volumen será el mismo que intersección del cilindro \( C' \) y la bola \( B' \) dadas por


Actualización: la verdad es que haciendo estas traslaciones y rotaciones no parece que el sistema quede más simple que el obtenido del original al usar coordenadas esféricas o cilíndricas.

A cada tramo aplica la fórmula \( r(t)=r_i +v_i (t-t_i)+a (t-t_i)^2/2 \) donde la \( i \) denota "inicial", teniendo en cuenta que la aceleración en cada tramo es diferente (y negativa).

Añadido: la fórmula puedes deducirla partiendo de las identidades \( a_m=\frac{\Delta v}{\Delta t} \) y \( v_m=\frac{\Delta r}{\Delta t} \). De la primera identidad tienes que \( v(t)=v_i+a_m(t-t_i) \). Es decir que en cada tramo la velocidad viene determinada por una recta de donde se sigue que la velocidad media en el intervalo de tiempo \( [t_i,t] \) viene dada por \( v_m=\frac{v_i+v(t)}{2} \). Sustituyendo esto último en la definición de \( v_m \) y luego despejando obtienes la fórmula dada en el primer párrafo.

Tienes que


Por tanto si \( g\in L^1 \) entonces \( f\cdot g\in L^1 \). Ésa sería una dirección. Ahora para la otra dirección debes mostrar que si \( f\cdot g\in L^1 \) entonces \( g\in L^1 \), o por contraposición, si \( g\notin L^1 \) entonces \( f\cdot g\notin L^1 \). Para esto último puedes observar que \( |f|\geqslant c>0 \) para algún \( c \) a identificar, ya que \( f \) es una función siempre positiva en \( (0,1] \).

Añadido: otra forma para hacer este último paso sería suponer que \( h:=f\cdot g\in L^1 \) y entonces demostrar, con la misma desigualdad que uso en (1), que \( h/f\in L^1 \). En esencia es lo mismo que buscar el \( c \) de antes, pero argumentado de otra manera.