[raistlin]

Hola,

Si yo tengo la inversa del tensor métrico y lo multiplico por la segunda forma fundamental \( g^{ij}l_{ij} \), ¿qué da esa operación?

Gracias y saludos.

[Luis Fuentes]

Hola

Si yo tengo la inversa del tensor métrico y lo multiplico por la segunda forma fundamental \( g^{ij}l_{ij} \), ¿qué da esa operación?

Yo creo que así tal como lo has escrito.. nada.. no da nada interpretable.

Así:

\( g^{ij}l_{jk}=l^i_k \)

cambias uno de los índices de covariante a contravariante.

Saludos.

[raistlin]

Gracias, aunque al final conseguí sacarlo, corrígeme si me equivoco:

\( l^i_k=g^{ij}l_{jk} \) tal como indicas, teniendo en cuenta que \( g^{jk}g_{ji}=\delta{}^k_i \) multiplicamos ambos lados \( g^{ji}g^{jk}g_{ji}=\delta{}^k_ig^{ji} \) con lo que quedaría \( 4g^{jk}=\delta{}^k_ig^{ji} \) (aquí me gustaría que me aclararas una duda, \( g^{ji}g_{ji}=\delta{}^i_i \) seria igual al numero de dimensiones no? pongamos 4 x ejemplo)

Con lo que volviendo al principio y multiplicamos ambos lados por delta de kronecker \( \delta^k_il^i_k=\delta^k_ig^{ij}l_{jk} \) y haciendo el cambio que hemos deducido \( \delta^k_il^i_k=4g^{jk}l_{jk} \) con lo que podemos concluir que:

\( g^{jk}l_{jk}=\delta^k_il^i_k/4 \) y si cambiamos \( \delta^k_i \) por 1 (es eso correcto??) quedaría:

\( g^{jk}l_{jk}=l^i_k/4 \)

seria correcto?

[Luis Fuentes]

Hola

Gracias, aunque al final conseguí sacarlo, corrígeme si me equivoco:

\( l^i_k=g^{ij}l_{jk} \) tal como indicas, teniendo en cuenta que \( g^{jk}g_{ji}=\delta{}^k_i \) multiplicamos ambos lados \( g^{ji}g^{jk}g_{ji}=\delta{}^k_ig^{ji} \) con lo que quedaría \( 4g^{jk}=\delta{}^k_ig^{ji} \) (aquí me gustaría que me aclararas una duda, \( g^{ji}g_{ji}=\delta{}^i_i \) seria igual al numero de dimensiones no? pongamos 4 x ejemplo)

Eso ya no está bien.

Es correcto que:

 \( g^{ji}g_{ji}=\delta^i_i=traza(id)=dim=4 \)

Pero no es correcto que: \( g^{ji}g^{jk}g_{ji}=4g^{kj} \). En esta expresión \( g^{ji}g^{jk}g_{ji} \) no puedes contraer independientemente el índice \( j \) en los términos \( g^{ji}  \)y \( g_{ji} \) y dejarlo en \( g^{jk} \)

No debes de olvidar lo que significa un índice repetido en una expresión de ese tipo. Significa que se suma en ese índice. Entonces:

\( g^{ji}g^{jk}g_{ji}=\displaystyle\sum_{i=1}^n\left(\displaystyle\sum_{j=1}^n{}g^{ji}g^{jk}g_{ji}\right) \)

de ahí no se puede sacar fuera el término \( g^{jk} \).

Saludos.

[raistlin]

Pues hay una cosa que no entiendo, uno de los pasos para pasar de la identidad de Bianchi al tensor de Einstein es \( \triangledown{}_b(2R^b_c-\delta^b_cR)=0 \) sube el índice c y queda \( \triangledown{}_b(2R^{bc}-g^{bc}R)=0 \) como se relacciona el tensor métrico y la delta en este caso?

[Luis Fuentes]

Hola

Pues hay una cosa que no entiendo, uno de los pasos para pasar de la identidad de Bianchi al tensor de Einstein es \( \triangledown{}_b(2R^b_c-\delta^b_cR)=0 \) sube el índice c y queda \( \triangledown{}_b(2R^{bc}-g^{bc}R)=0 \) como se relacciona el tensor métrico y la delta en este caso?

Ahí lo que haces es multiplicar por \( g^{cd} \):

\( \triangledown{}_b(2R^b_cg^{cd}-\delta^b_cRg^{cd})=0 \)

Donde:

\( R^b_cg^{cd}=R^{bd} \)
\( \delta^b_cg^{cd}=g^{bd} \)

de manera que queda:

 \( \triangledown{}_b(2R^{bd}-g^{bd}R)=0 \)

Que luego al índice nuevo subido le llames \( d,c,x, w \) o perico de los palotes es lo de menos.

Saludos.

[raistlin]

Entonces con las 2 relaciones que me has puesto:

\( g^{ij}l_{jk}=l^i_k \) y \( \delta^b_cg^{cd}=g^{bd} \)

podríamos hacer \( \delta^k_ig^{ij}l_{jk}=l^i_k\delta^k_i \) y quedaría \( g^{kj}l_{jk}=l^i_k\delta^k_i \) luego, \( \delta^k_i \) ¿seria igual a uno? y quedaría al final

\( g^{kj}l_{jk}=l^i_k \)

¿Seria correcto?

[Luis Fuentes]

Hola

Entonces con las 2 relaciones que me has puesto:

\( g^{ij}l_{jk}=l^i_k \) y \( \delta^b_cg^{cd}=g^{bd} \)

podríamos hacer \( \delta^k_ig^{ij}l_{jk}=l^i_k\delta^k_i \) y quedaría \( g^{kj}l_{jk}=l^i_k\delta^k_i \) luego, \( \delta^k_i \) ¿seria igual a uno? y quedaría al final

¡No!. ¿Por qué iba a ser uno?.

\( l^i_k\delta^k_i=l^i_i \)

y nota que eso todavía es una contracción del tensor en la variable \( i \), es decir, el resultado final es un número. Sería la traza del tensor \( L \) con una coordenada covariante y la otra contravariente. Pero como te digo no soy capaz de dar ninguna interpretación a eso.

\( g^{kj}l_{jk}=l^i_k \)

Más allá del error concreto que te señalé, lo que tiene que "chirriarte" ahí es que de repente el enunciado te de en función de un índice \( i \) (que no se contrae, ya si lo hiciese desaparecería) que no aparecía en la expresión inicial.

Saludos.

[raistlin]

Bien, con lo que podemos concluir entonces que \( g^{kj}l_{kj}=l^k_k=l^j_j \) no? la verdad es que es la conclusión que tiene mas sentido.

Y con respecto a \( g^{kj}l_{kj}=l^r_k\delta^k_r \) me esta diciendo que solo será uno cuando k r sean iguales, con lo que si yo tengo

\( (l^i_k\delta^k_il^k_i\delta^i_k-l^i_kl^k_i) \) será  \( -l^i_kl^k_i \) cuando k i sean diferentes y 0 cuando sean iguales, es correcto?

[Luis Fuentes]

Hola

Bien, con lo que podemos concluir entonces que \( g^{kj}l_{kj}=l^k_k=l^j_j \) no? la verdad es que es la conclusión que tiene mas sentido.

Si; aunque no sé si le estás dando alguna trascendencia a poner \( k \), o \( l \); podrías poner cualquier letra ya que es un índice que se va a contraer.

Para que entiendas a que me refiero, aquí:

\( \delta^b_cg^{cd}=g^{bd} \)

el nombre que le demos al índice \( c \) es indiferente, porque se contrae. Los otros dos sin embargo son relevantes, no debería de poner por ejemplo:

\( \delta^b_cg^{cd}=g^{bf} \)

Y con respecto a \( g^{kj}l_{kj}=l^r_k\delta^k_r \) me esta diciendo que solo será uno cuando k r sean iguales, con lo que si yo tengo

\( (l^i_k\delta^k_il^k_i\delta^i_k-l^i_kl^k_i) \) será  \( -l^i_kl^k_i \) cuando k i sean diferentes y 0 cuando sean iguales, es correcto?

No es exactamente así; sigues olvidando que cuando en una expresión aparece un índice repetido, lo que hay es un sumatorio. Entonces no tiene demasiado sentido (o no estoy seguro de lo interpretes bien) que digas que esa expresión toma un determinado valor dependiendo de \( k \) e \( i \); el resultado final es un número.

Saludos.