[castrokin]

Hola chicos como están me he encontrado con este enunciado y me gustaría que me ayudaran a resolverlo:
a que es equivalente la expresión:
\( \mathbb{I} \cup \left(\mathbb{R}-\mathbb{I}\right) \)
Muchas gracias por su ayuda

[manooooh]

Hola chicos como están me he encontrado con este enunciado y me gustaría que me ayudaran a resolverlo:
a que es equivalente la expresión:
\( \mathbb{I} \cup \left(\mathbb{R}-\mathbb{I}\right) \)
Muchas gracias por su ayuda

Hola, podés usar las definiciones de las operaciones entre conjuntos. Vas a tener que usar unión, diferencia, ídem potencia, distributividad y absorción (en ese orden lo hice yo)... Arranco yo:

\( \forall{}x \in{} \mathbb{I} \cup{} (\mathbb{R} - \mathbb{I}) \underbrace{\Rightarrow{}}_{\textrm{Definición de unión}} x \in{} \mathbb{I} \vee x \in{} (  \mathbb{R} -  \mathbb{I}) \Rightarrow{} \ldots  \)

Cualquier duda preguntá.

Saludos

[castrokin]

Gracias por tu pronta respuesta.
He hablado con varios amigos y no hemos podido ponernos de acuerdo estas son las respuestas que hemos conseguido hasta ahora:
\( \mathbb{Q} \cup \mathbb{I} \)
\( \mathbb{I} \)
\( \mathbb{N}-\mathbb{I} \)
\( \mathbb{Q} \)
Me gustaría saber cual de ellas es correcta o si ninguna lo es muchísimas gracias de antemano

[manooooh]

Gracias por tu pronta respuesta.
He hablado con varios amigos y no hemos podido ponernos de acuerdo estas son las respuestas que hemos conseguido hasta ahora:
\( \mathbb{Q} \cup \mathbb{I} \)
\( \mathbb{I} \)
\( \mathbb{N}-\mathbb{I} \)
\( \mathbb{Q} \)
Me gustaría saber cual de ellas es correcta o si ninguna lo es muchísimas gracias de antemano

Si seguís los pasos que te mencioné vas a poder simplificar lo que te dieron.

Spoiler

La respuesta es \( \mathbb{I} \).

[cerrar]

Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

Si seguís los pasos que te mencioné vas a poder simplificar lo que te dieron.

La respuesta es \( \mathbb{I} \).

¡No!.

En general si tienes \( A\subset B \), se tiene que:

\( A\cup (B-A)=B \)

Dos formas de probarlo:

i) \( A\cup (B-A)=A\cup (B\cap A^c)=(A\cup B)\cap (A\cup A^c)=B\cap B=B \)

ii) Por hipótesis \( A\subset B \); por definición \( B-A\subset B \). Por tanto \( A\cup (B-A)\subset B \).
Recíprocamente dado \( b\in B \), si \( b\in A \), entonces \( b\in A\cup (B-A) \). Si \( b\not\in A \) entonces \( b\in (B-A) \) y así \( b\in A\cup (B-A). \)

En vuestro caso \( A=\mathbb{I} \) e \( B=\mathbb{R} \).

Saludos.

[feriva]

a que es equivalente la expresión:
\( \mathbb{I} \cup \left(\mathbb{R}-\mathbb{I}\right) \)

Hola. Entiendo que es inmediato de ver intuitivamente (demostración aparte). Los reales es la unión de los racionales y los irracionales; si les quitas los irracionales y a lo que te quede se los unes... queda lo mismo que tenías, los reales.

Saludos.

[manooooh]

Hola

Si seguís los pasos que te mencioné vas a poder simplificar lo que te dieron.

La respuesta es \( \mathbb{I} \).

¡No!.

En general si tienes \( A\subset B \), se tiene que:

\( A\cup (B-A)=B \)

Dos formas de probarlo:

i) \( A\cup (B-A)=A\cup (B\cap A^c)=(A\cup B)\cap (A\cup A^c)=B\cap B=B \)

ii) Por hipótesis \( A\subset B \); por definición \( B-A\subset B \). Por tanto \( A\cup (B-A)\subset B \).
Recíprocamente dado \( b\in B \), si \( b\in A \), entonces \( b\in A\cup (B-A) \). Si \( b\not\in A \) entonces \( b\in (B-A) \) y así \( b\in A\cup (B-A). \)

En vuestro caso \( A=\mathbb{I} \) e \( B=\mathbb{R} \).

Saludos.

Hola, me parecía que lo tenía mal; incluso hice el diagrama de Venn para comprobarlo, y ahora que reviso lo había escrito mal. Yo no supuse \( A \subset{} B \) porque en el enunciado no lo decía, pero entiendo que es por intuición. Corregido, hice:

\( \forall{}x \in{} \mathbb{I} \cup{} (\mathbb{R} - \mathbb{I}) \underbrace{\Rightarrow{}}_{\textrm{Definición de unión}} x \in{} \mathbb{I} \vee x \in{} (  \mathbb{R} -  \mathbb{I}) \underbrace{\Rightarrow{}}_{\textrm{Definición de diferencia}} x \in{} \mathbb{I} \vee (x \in{} \mathbb{R} \wedge x \not\in{} \mathbb{I}) \underbrace{\Rightarrow{}}_{\textrm{Distributiva}}\\ (x \in{}\mathbb{I} \vee x \in{} \mathbb{R}) \wedge (x \in{} \mathbb{I} \vee x \not\in{}\mathbb{I}) \underbrace{\Rightarrow{}}_{\textrm{Tautología}} (x \in{}\mathbb{I} \vee x \in{} \mathbb{R}) \wedge  T \underbrace{\Rightarrow{}}_{\textrm{Neutro}} x \in{}\mathbb{I} \vee x \in{} \mathbb{R} \).

¿Ahí debería aplicar \( \mathbb{I} \subset{} \mathbb{R} \)?

[Luis Fuentes]

Hola

Hola, me parecía que lo tenía mal; incluso hice el diagrama de Venn para comprobarlo, y ahora que reviso lo había escrito mal. Yo no supuse \( A \subset{} B \) porque en el enunciado no lo decía, pero entiendo que es por intuición.

No, no es por intuición, es por definición. El conjunto \( \mathbb{I} \) es el de números irracionales y es por definición un subconjunto de los reales \( \mathbb{R} \) (en concreto es el complemementario de los racionales).

Corregido, hice:

\( \forall{}x \in{} \mathbb{I} \cup{} (\mathbb{R} - \mathbb{I}) \underbrace{\Rightarrow{}}_{\textrm{Definición de unión}} x \in{} \mathbb{I} \vee x \in{} (  \mathbb{R} -  \mathbb{I}) \underbrace{\Rightarrow{}}_{\textrm{Definición de diferencia}} x \in{} \mathbb{I} \vee (x \in{} \mathbb{R} \wedge x \not\in{} \mathbb{I}) \underbrace{\Rightarrow{}}_{\textrm{Distributiva}}\\ (x \in{}\mathbb{I} \vee x \in{} \mathbb{R}) \wedge (x \in{} \mathbb{I} \vee x \not\in{}\mathbb{I}) \underbrace{\Rightarrow{}}_{\textrm{Tautología}} (x \in{}\mathbb{I} \vee x \in{} \mathbb{R}) \wedge  T \underbrace{\Rightarrow{}}_{\textrm{Neutro}} x \in{}\mathbb{I} \vee x \in{} \mathbb{R} \).

¿Ahí debería aplicar \( \mathbb{I} \subset{} \mathbb{R} \)?

Si, pero lo interesante es que analices es si tus implicaciones son equivalencias. En otro caso sólo habrías probado que:

\( \mathbb{I} \cup \left(\mathbb{R}-\mathbb{I}\right)\subset \mathbb{R} \)

pero no la igualdad.

Saludos.

[manooooh]

Spoiler

Hola

Hola, me parecía que lo tenía mal; incluso hice el diagrama de Venn para comprobarlo, y ahora que reviso lo había escrito mal. Yo no supuse \( A \subset{} B \) porque en el enunciado no lo decía, pero entiendo que es por intuición.

No, no es por intuición, es por definición. El conjunto \( \mathbb{I} \) es el de números irracionales y es por definición un subconjunto de los reales \( \mathbb{R} \) (en concreto es el complemementario de los racionales).

Corregido, hice:

\( \forall{}x \in{} \mathbb{I} \cup{} (\mathbb{R} - \mathbb{I}) \underbrace{\Rightarrow{}}_{\textrm{Definición de unión}} x \in{} \mathbb{I} \vee x \in{} (  \mathbb{R} -  \mathbb{I}) \underbrace{\Rightarrow{}}_{\textrm{Definición de diferencia}} x \in{} \mathbb{I} \vee (x \in{} \mathbb{R} \wedge x \not\in{} \mathbb{I}) \underbrace{\Rightarrow{}}_{\textrm{Distributiva}}\\ (x \in{}\mathbb{I} \vee x \in{} \mathbb{R}) \wedge (x \in{} \mathbb{I} \vee x \not\in{}\mathbb{I}) \underbrace{\Rightarrow{}}_{\textrm{Tautología}} (x \in{}\mathbb{I} \vee x \in{} \mathbb{R}) \wedge  T \underbrace{\Rightarrow{}}_{\textrm{Neutro}} x \in{}\mathbb{I} \vee x \in{} \mathbb{R} \).

¿Ahí debería aplicar \( \mathbb{I} \subset{} \mathbb{R} \)?

Si, pero lo interesante es que analices es si tus implicaciones son equivalencias. En otro caso sólo habrías probado que:

\( \mathbb{I} \cup \left(\mathbb{R}-\mathbb{I}\right)\subset \mathbb{R} \)

pero no la igualdad.

Saludos.

[cerrar]

Ahh, ahora tomó más forma la cosa. Lo que no se me pasó por la cabeza es que debía probar la implicación al revés. Como decís, si hay que probar la igualdad hay que ir de izquierda a derecha (lo que hice), y viceversa (lo que me falta). Entonces el enunciado en general debería ser:

(A = irracionales, B = reales)
\( A \subset{} B \Rightarrow{} A \cup{} (B - A) = B \Leftrightarrow{} \underbrace{A \cup{} (B - A) \subset{} B}_{\textrm{Probado}} \wedge B \subset{} A \cup{} (B - A) \)

¿Correcto?

P.D.: hay algo que sigo sin ver, y es cómo se llega a armar esa igualdad si en el enunciado sólo pide "¿A qué equivale lo siguiente?" Es como que "armamos" el enunciado, transformándolo en "Pruebe esta igualdad". ¿Cómo sabemos que esa expresión equivale al conjunto de los números reales? Podría haber dicho que equivale al de los irracionales y demostrar que no es cierto, pero de vuelta, todo depende del enunciado que diga (y acá el por qué de "armamos un nuevo enunciado"). Quizás me estoy complicando bastante, no sé.

Saludos

[feriva]

Perdón, recordaba mal el enunciado y he puesto un ejemplo diferente haciendo la uniión con los reales.

Spoiler

 ¿Cómo sabemos que esa expresión equivale al conjunto de los números reales?

La cuestión quizá más importante en todo esto (la que yo creo además que le puede aclarar más el tema a castrokin) es que si a \( \mathbb{R}
  \) (o a cualquier conjunto) se le une lo que sea, como poco será todo \( \mathbb{R}
  \), nunca más pequeño, porque no existen elementos negativos que contrarresten los que hay (existen números negativos, pero no elementos negativos). Por otra parte, al restarle un conjunto, tampoco le podemos quitar elementos que no tenga; si fuera \( \mathbb{R\cup}(\mathbb{R}-\mathbb{C})
  \), tendríamos \( (\mathbb{R}-\mathbb{C})=\emptyset
  \), ya que \( \mathbb{R}\subset\mathbb{C}
  \); y aunque le quitemos los complejos no reales, no quitamos nada, porque no están.

Luego de ahí \( (\mathbb{R}-\mathbb{C})=\emptyset
  \) y al hacer la unión con \( \mathbb{R}
  \) también queda \( \mathbb{R}
  \); pese a que en esta ocasión, al revés de lo que pasa con \( \mathbb{I}
  \), se ha usado un conjunto que contiene a \( \mathbb{R}
  \) y no de forma estricta, o sea, que tiene más diversidad de elementos que \( \mathbb{R}
  \). Luego con esto se ve que es general, que es lo que empezaba diciendo Luis en la primera respuesta.

[cerrar]

Saludos.