Hola
Lo que quiero decir es que el enunciado dice bien claro "¿A qué equivale esta expresión?" Y como decís es exactamente operar hasta llegar a un resultado simplificado. Ahora bien, en el caso de sumas y restas (como cualquier otro caso), ¿te parece probar la equivalencia al revés? Es decir, si tenemos \( 2-1=1 \), ¿es lógico plantearse que, a partir de \( 1 \) se llegue a \( 2-1 \)? Me parece abusivo. Una vez que
llegamos a simplificar, listo, llegamos, justamente las operaciones nos avalan que lo que hicimos es correctísimo. Fin del ejercicio.
De este párrafo veo que todavía no has entendido lo que te indiqué.
Que yo te diga que para probar que \( A\cup (B-A)=B \) no llega con probar \( A\cup (B-A)\subset B \), no es análogo, a que yo te dijera que no llega con probar \( 2-1=1 \) sino que hay que probar que \( 1=2-1 \). En todo caso sería análogo a que tu sólo hubieses probado \( 2-1\leq 1 \) y yo te dijese que falta probar que \( 1\leq 2-1 \).
Si afirmamos que el conjunto \( A\cup (B-A) \) equivale (es igual) a \( B \)), no llega con demostrar que \( A\cup (B-A)\subset B \), porque ese contenido no es lo mismo que la igualdad.
Por ejemplo yo puedo demostrar que \( A\cap B\subset A \):
\( x\in A\cap B\quad \Rightarrow{}\quad x\in A\wedge x\in B\quad \Rightarrow{}\quad x\in A \)
Pero eso no demuestra que la expresión \( A\cap B \) sea equivalente a la expresión \( A \), porque de hecho NO son equivalentes.
Es por eso que me parece raro eso del "enunciado general" que propuse porque era una manera de justificar lo que me habías escrito antes. Pero yo sólo creo que haciendo operaciones y llegando a un resultado resolvimos el enunciado. No hay más. Nada de probar la implicación al revés. Las operaciones nos aseguran que fuimos por el camino correcto.
El problema es que tu no haces equivalencias (\( \Longleftrightarrow{} \)) sino implicaciones (\( \Rightarrow{} \)) por eso no obtienes (necesariamente) una expresión equivalente, sino un simplemente un conjunto cuya pertencencia está garantizada por la pertenencia al inicial.
De hecho si te fijas te indiqué otra forma de hacer el ejercicio con una cadena de igualdades (que si sería lo análogo a hacer operaciones con números):
Dos formas de probarlo:
i) \( A\cup (B-A)=A\cup (B\cap A^c)=(A\cup B)\cap (A\cup A^c)=B\cap B=B \)
Si el enunciado fuera tal como "probar esta igualdad", tenés toda la razón del mundo; a mi me enseñaron justamente probar ambas inclusiones, pero acá, que no conocemos el resultado de vuelta, no me parece justificar otra vez una vez llegado a buen puerto.
Siempre hablo de lo que dice el enunciado.
Insisto el enunciado nos pide una expresión equivalente; si tu sólo manejas implicaciones no obtienes una expresión equivalente.
La mejor manera de aprender propiedades creo que es resolviendo las cosas por suu definición.
De acuerdo. Pero lo mejor es entender lo que se está haciendo, por encima de una escritura rigurosa.
Este ejercicio maneja conceptos totalmente intuitivos visualizables mediante diagramas de Venn; como paso previo a una formalización vale la pena entender con claridad mediante un dibujo (por ejemplo) que la igualdad que queremos probar es cierta.
Creo que mi respuesta ocupa 2 líneas de hoja, y está cada paso justificado. Más vale la redundancia que quedarse con la intriga de saber qué se hizo, ¿no?
Si; al final no quiero ser categórico en eso. Está bien ser riguroso escribiendo, pero sin que el formalismo impida ver el fondo.
Otra cosa, yo había dicho que A estaba en incluido en B por intuición, y me dijiste que era por definición, que es correcto... en la medida que lo diga el enunciado. ¿Qué tal si no nos dicen que se trata de los irracionales y reales? ¿Por qué asegurás esa hipótesis?
Porque con los convenios universales vigentes en matemáticas \( \mathbb{R} \) representa el conjunto de los reales e \( \mathbb{I} \) el de los irracionales.
También estoy fiándome de esos convenios cuando asumo que el símbolo \( \cup \) significa unión y el símbolo \( - \) "resta" de conjuntos.
También estoy asumiendo que el enunciado está escrito en castellano, etcétera, etcétera....
[/b]De vuelta, debemos trabajar con lo que dice el enunciado, porque para casos de conjuntos "sin nombre", no tenemos la menor idea si uno está incluido en otro, etc. Sólo se llega mediante operaciones y un poco de sentido común. Lo que me pregunto ahora es qué hubiera pasado si son dos conjuntos cualesquiera... Habríamos quedado en \( x \in{} A \vee x \in{} B \), y esa sería la respuesta simplificada (sin el paso de saber que irracionales es subconjunto de los reales por esto de generalizar para cualquier conjunto).
Si esos conjuntos fuesen cualesquiera entonces se llegaría a \( A\cup B \):
\( A\cup (B-A)=A\cup (B\cap A^c)=(A\cup B)\cap (A\cup A^c)=\color{red}(A\cup B)\cap U=A\cup B\color{black} \)
siendo \( U \) el universo.
Saludos.
CORREGIDO
