[Dayanna_ing]

Hola de nuevo!

Tengo que hacer la derivada del siguiente número complejo

\( f(z)=z^2 e^z \)

Sé que tengo que pasar la expresión a términos de x y Y, donde según tengo entendido, \( z=x+y \), que para este caso seria \( x^2+2xy+y^2 \), pero no se como tratar la parte de la expresión que está con el número e, ¿Podrían explicarme qué hacer? Gracias!

[Masacroso]

Un número complejo \( z \) se puede escribir como \( z=x+iy \) para algún par de valores \( x,y\in\Bbb R \). Entonces tendríamos que

\( \displaystyle f(z):=z^2e^z=(x+iy)^2 e^{x+iy}=u(x,y)+i v(x,y) \)

La derivada de \( f \) existe siempre y cuando se cumplan las ecuaciones de Cauchy-Riemann. Lo que parece tedioso es separar las partes real e imaginaria de la función, es decir, despejar las funciones \( u \) y \( v \).

[ingmarov]

Hola


Como \( z^2\quad y\quad e^z \)     son analíticas en z, entonces

\( f'(z)=2z\, e^z+z^2\, e^z=(2z+z^2)e^z \)


Saludos

[Dayanna_ing]

Hola,

muchas gracias por sus respuestas, precisamente esa es mi duda, que parte es u y cual es v, ¿las dos serian parte real?, es decir ¿\( u =(x+y)^2 e^z \) y V=0?

Gracias!

[Masacroso]

Hola,

muchas gracias por sus respuestas, precisamente esa es mi duda, que parte es u y cual es v, ¿las dos serian parte real?, es decir ¿\( u =(x+y)^2 e^z \) y V=0?

Gracias!

Bueno, como muestra ingmarov en verdad no hace falta complicarse tanto. Pero si quieres separarlas simplemente puedes hacerlo observando que \( e^{iy}=\cos y+i\sin y \).

[Dayanna_ing]

Hola


Como \( z^2\quad y\quad e^z \)     son analíticas en z, entonces

\( f'(z)=2z\, e^z+z^2\, e^z=(2z+z^2)e^z \)


Saludos

Me podrían explicar un poco mejor esta parte? no me quisiera complicar tanto

Gracias!

[ingmarov]

\( f(z)=z^2E^z=(x+iy)^2e^{x+iy}=(x^2-y^2+2xyi)e^xe^{iy}=((x^2-y^2)e^x+2xye^xi)(cos(y)+isen(y))=\\ \qquad=\underbrace{(x^2-y^2)e^xcos(y)-2xye^xsen(y)}_{Re(f(z))}+i\left(\underbrace{2xye^xcos(y)+(x^2-y^2)e^xsen(y)}_{Im(f(z))}\right) \)


Mejor revisa si está bien.


Añado

Si no te han definido las funciones analíticas y sus propiedades, mejor continúa el procedimiento que conoces. Pero si te quieres adelantar puedes revisar

http://rpduarte.fisica.uson.mx/archivos/curso3/03-MetMatFisI.pdf

[Dayanna_ing]

Hola de nuevo, he revisado varias opciones para esta derivada, la que más usan fue la ingmarov con la cual \( f'(z)=e^z (2z+z^2) \), me podrias explicar ¿cómo se llega a este resultado?, ¿por qué la expresión no queda en términos de x+iy? Gracias!

[Masacroso]

Una acotación: un título correcto sería "derivación de función compleja" o "diferenciación de función compleja", ya que la derivada se define sobre funciones y no sobre números.

Contestando a tu última pregunta: se puede poner en términos de \( x \) e \( y \) si quieres, ya que \( z:=x+iy \). Deberías estudiar a fondo este tema, las preguntas que haces y la redacción demuestran que no tienes claros los conceptos de función o de número complejo!

[Dayanna_ing]

Una acotación: un título correcto sería "derivación de función compleja" o "diferenciación de función compleja", ya que la derivada se define sobre funciones y no sobre números.

Contestando a tu última pregunta: se puede poner en términos de \( x \) e \( y \) si quieres, ya que \( z:=x+iy \). Deberías estudiar a fondo este tema, las preguntas que haces y la redacción demuestran que no tienes claros los conceptos de función o de número complejo!

Hola Masacroso,

1. Con respecto a lo del titulo, tienes razón, esta es una función y no un número complejo.
2. Ya estoy pasando la expresión a términos de x+iy ya que así nos lo explicaron en clase
3. Se mis falencias y trato de mejorar cada día por eso hago algunas preguntas acá y busco información por otro lado, lamento molesarlos tanto pero siempre trato de tener todo muy claro

Les agradezco enormemente su ayuda, es verdaderamente invaluable para mi que se tomen algunos minutos para responder mis preguntas, así sean obvias.

Muchas gracias a todos,  Les estaré informando de mi progreso

Saludos!