3. Se mis falencias y trato de mejorar cada día por eso hago algunas preguntas acá y busco información por otro lado, lamento molestarlos tanto pero siempre trato de tener todo muy claro
No se trata de eso, no me has entendido. A nadie le molesta (creo) que se hagan preguntas ya que para eso se creo el foro: para preguntar. Mi comentario iba por otro lado, y es que se vuelve difícil dar una respuesta
útil cuando quien pregunta adolece de los conocimientos básicos sobre el tema por el cual pregunta.
En estos casos lo más útil resulta estudiar el tema desde el principio y luego volver a preguntar algo específico sobre él. De poco sirve que la pregunta de este tema se conteste ya que su respuesta no llenará adecuadamente los vacíos de conocimiento que posees.
¿Pides que te expliquen el concepto de analiticidad de una función compleja? Eso requeriría escribir muchas páginas. Eso no es una pregunta específica sobre un ejercicio sino que te expliquen un tema (con extensión y complejidad variable, dependiendo de hasta dónde se quiera llegar y el contexto para su aplicación). En estos casos lo mejor que puedes hacer es buscar bibliografía al respecto sobre el tema, o pedir referencias sobre este tema, y luego resolver en el foro preguntas específicas.
Un resumen: una función se denomina
analítica si es infinitamente diferenciable (lo que se denomina una función
suave) y la serie de Taylor de la función alrededor de cada punto posee un radio de convergencia positivo tal que la serie es igual a la función, es decir, si \( f \) es analítica entonces
\( \displaystyle f(z)=\sum_{k=0}^\infty \frac{\partial^k f(z_0)}{k!}(z-z_0)^k,\quad\forall z\in\Bbb B(z_o,r) \)
para cada punto \( z_0 \) del dominio de \( f \) y para algún \( r>0 \), donde la expresión \( \partial^k f(z_0) \) significa "el valor de la k-ésima derivada de \( f \) en \( z_0 \)". El conjunto de funciones analíticas con dominio y codominio \( \Bbb C \) se denomina por \( C^\omega(\Bbb C) \), y constituye un
álgebra, por lo cual el producto de funciones analíticas es otra función analítica.
Cuando una función compleja es analítica entonces sabemos que es complejo-diferenciable y que podemos diferenciarla usando la regla de la cadena o del producto (aplicado directamente sobre la variable compleja), sin necesidad de descomponer la función en su parte real e imaginaria (cosa que se hace precisamente para ver si la función es complejo-diferenciable, es decir, si cumple las ecuaciones de Cauchy-Riemann antes citadas). Si \( f=g\cdot h \) entonces
\( \displaystyle \partial f(z)=\partial[g(z)\cdot h(z)]=\partial g(z)\cdot h(z)+g(z)\cdot \partial h(z) \)
donde el símbolo \( \partial \) simplemente significa derivada o derivada total (es simplemente
la regla del producto). Luego, si quieres, en la expresión final que obtengas puedes sustituir \( z \) por \( x+iy \) para expresar tu función en términos de \( x \) e \( y \).
