Hola Ignacio, hice lo que me pediste y también saqué la derivada. Pero no sé como continuar, probé igualando la derivada a cero y despejar, pero me da un número muy pequeñito (a= 0,05) me parece que no tiene sentido
1) \( 4a+2 pi . r = 120 \)
\( r=\displaystyle\frac{120-4a}{2 pi} \)
¿Por qué no simplificas?
\( r=\displaystyle\frac{60-2a}{\pi} \)
Siempre será mejor trabajar con números más pequeños.
2) \( AM = a^2 + pi . r^2 \)
\( AM = a^2 + pi . ( \displaystyle\frac{120-4a}{2 pi} )^2 \)
\( AM = a^2 + pi . ( \displaystyle\frac{14400 - 960a + 16a^2}{4 pi^2} ) \)
\( AM = a^2 + 1. ( \displaystyle\frac{14400 - 960a + 16a^2}{4 pi} ) \)
\( AM = a^2 + ( \displaystyle\frac{14400}{4 pi}-\displaystyle\frac{960a}{4 pi}+\displaystyle\frac{16a^2}{4 pi} ) \)
3) derivo: \( f'(a) = 2a + 0 - \displaystyle\frac{240 . 1}{pi}+\displaystyle\frac{8a}{pi} \)
\( f'(a) = 2a - \displaystyle\frac{240}{pi}+\displaystyle\frac{8a}{pi} \)
4)\( f'(a) = 0: \)
\( 2a - \displaystyle\frac{240}{pi}+\displaystyle\frac{8a}{pi}= 0 \)
\( \displaystyle\frac{240}{pi}= 2a + \displaystyle\frac{8a}{pi} \)
\( \displaystyle\frac{240}{pi}= a . (2 + \displaystyle\frac{8}{pi}) \)
\( \displaystyle\frac{240}{pi} : (2 + \displaystyle\frac{8}{pi}) = a \)
\( \displaystyle\frac{240}{pi} : ( \displaystyle\frac{2 pi +8 }{pi}) = a \)
\( \displaystyle\frac{240}{1} : ( \displaystyle\frac{2 pi +8 }{1}) = a \)
\( \displaystyle\frac{240}{2 pi + 8}=a \)
\( a = 16,80 \)
Yo prefiero dejar hasta el final resultados exactos, aunque simplificados
\( a = \displaystyle\frac{120}{\pi + 4}\approx{}16.80 \)
Pues ya lo tenemos.
Como f''(a) > 0, correpondiente a un mínimo, y es el único punto crítico y la función es derivable en todo el intervalo \( [0, 30] \) que nos interesa, en realidad lo es en todo \( \mathbb{R} \), el área alcanzará su máximo absoluto en uno de los extremos. Sabemos que debe alcanzarlo, puesto que es una función continua en un subconjunto de \( \mathbb{R} \) cerrado y acotado (compacto). Hay que comparar los valores en ambos extremos:
\( A(a) = a^2 + \pi( \displaystyle\frac{60-2a}{\pi} )^2 \)
\( A(0) = \displaystyle\frac{60^2}{\pi} \approx{} 1145.915590 \)
\( A(30) = 900 + 0 = 900 \)
El máximo, como era previsible, se produce cuando toda la cuerda se emplea en la circunferencia. Era previsible porque la circunferencia es la curva cerrada que encierra mayor área para un perímetro dado (o que tienen menor perímetro encerrando un área dada). Es el llamado "problema isoperimétrico".
Saludos,
P.S.: No se por qué, pero no había visto la última respuesta de delmar hasta enviar el mensaje ...
