[enrique-akatsuki]

Me podrían ayudar en parametrizar una lemniscata definida por:

\( (x^2 + y^2)^2 =2 (x^2 - y^2) \)


de antemano gracias.

[mathtruco]

Hola enrique-akatsuki. Es cosa de escribirla en polares y simplificar:

    \( x=r\cos\theta \),  \( y=r\sin\theta \).

A la izquierda de tu igualdad quedará \( r^4 \), y a la derecha puedes usar la fórmula de coseno de ángulo doble.

[hméndez]

Me podrían ayudar en parametrizar una lemniscata definida por:

\( (x^2 + y^2)^2 =2 (x^2 - y^2) \)


de antemano gracias.

Aquí tienes una:

\( x=\sqrt[ ]{2}sen(t) \),  \( y=\sqrt[ ]{2}sen(t)cos(t) \)   con  \( t\in{[0,2pi]} \)

Saludos.

[Abdulai]

Me podrían ayudar en parametrizar una lemniscata definida por:

\( (x^2 + y^2)^2 =2 (x^2 - y^2) \)


de antemano gracias.

Aquí tienes una:

\( x=\sqrt[ ]{2}sen(t) \),  \( y=\sqrt[ ]{2}sen(t)cos(t) \)   con  \( t\in{[0,2pi]} \)

Saludos.

Pero esa parametrización no verifica   \( (x^2 + y^2)^2 =2 (x^2 - y^2) \)

[hméndez]

Me podrían ayudar en parametrizar una lemniscata definida por:

\( (x^2 + y^2)^2 =2 (x^2 - y^2) \)


de antemano gracias.

Aquí tienes una:

\( x=\sqrt[ ]{2}sen(t) \),  \( y=\sqrt[ ]{2}sen(t)cos(t) \)   con  \( t\in{[0,2pi]} \)

Saludos.

Pero esa parametrización no verifica   \( (x^2 + y^2)^2 =2 (x^2 - y^2) \)

craso error Eduardo.  Esto es de otra lemniscata (la del ocho).    Mejor me voy a dormir.
Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

Hola enrique-akatsuki. Es cosa de escribirla en polares y simplificar:

    \( x=r\cos\theta \),  \( y=r\sin\theta \).

A la izquierda de tu igualdad quedará \( r^4 \), y a la derecha puedes usar la fórmula de coseno de ángulo doble.

Siguiendo ese camino se llega a:

\( r^2=2cos(2\theta) \)

Eso tiene un inconveniente: sólo tiene sentido si \( cos(2\theta)\geq 0 \). Eso nos lleva a la siguiente parametrización:

\( (\sqrt{2cos(2\theta)}cos(\theta),\sqrt{2cos(2\theta)}sin(\theta)) \) con \( \theta\in [0,\pi/4]\cup [3\pi/4,5\pi/4]\cup [7\pi/4,2\pi] \)

Lo molesto es que el recorrido del parámetro no es conexo, sino que está dividido en varios intervalos inconexos.

Otra posible parametrización que solventa este problema es:

\( \left(\dfrac{\sqrt{2}cos(\theta)}{1+sin^2(\theta)},\dfrac{\sqrt{2}cos(\theta)sin(\theta)}{1+sin^2(\theta)}\right) \) con \( \theta\in [0,2\pi) \)

En el gráfico el punto \( A \) sigue la segunda parametrización continua y el punto \( B \) la primera discontinua.


Saludos.

[Abdulai]

...
craso error Eduardo.  Esto es de otra lemniscata (la del ocho)....

Estás equivocado,  que una curva describa un 8 no significa que sea una lemniscata.

Si prestás atención a la 2da parametrización de ex-manco vas a ver que es como la tuya pero con un \( 1+\sin^2\theta \) de denominador.
Este detalle hace que sean de aspecto parecido pero que una verifique las propiedades de la lemniscata y la otra no.

[mathtruco]

Hola.

Hola enrique-akatsuki. Es cosa de escribirla en polares y simplificar:

    \( x=r\cos\theta \),  \( y=r\sin\theta \).

A la izquierda de tu igualdad quedará \( r^4 \), y a la derecha puedes usar la fórmula de coseno de ángulo doble.

Siguiendo ese camino se llega a:

\( r^2=2cos(2\theta) \)

Eso tiene un inconveniente: sólo tiene sentido si \( cos(2\theta)\geq 0 \).

No veo el inconveniente.

    \( cos(2\theta)\geq 0\Rightarrow \theta\in [0,\pi/4]\cup[3\pi/4,5\pi/4]\cup[7\pi/4] \).

  - Cuando \( \theta\in [0,\pi/4] \) se dibuja la parte superior del pétalo de la derecha, correspondiente a la gráfica en el primer cuadrante.
  - Cuando \( \theta\in [3\pi/4,\pi] \) se dibuja la parte superior del pétalo de la izquierda, correspondiente a la gráfica en el segundo cuadrante.
  - Cuando \( \theta\in [\pi,5\pi/4] \) se dibuja la parte inferior del pétalo de la izquierda, correspondiente a la gráfica en el tercer cuadrante.
  - Cuando \( \theta\in [7\pi/4,2\pi] \) se dibuja la parte inferior del pétalo de la derecha, correspondiente a la gráfica en el cuarto cuadrante.

Es decir, \( \boxed{r^2=2cos(2\theta)} \) sería la lemniscata pedida.

[Luis Fuentes]

Hola

No veo el inconveniente.

El hecho es que el conjunto en el que varía el intervalo para recorrer toda la curva NO es conexo. ¿De acuerdo en esto?.

El llamarlo "inconveniente" si quieres puede ser más relativo. Pero por ejemplo algo tan tonto como modelizar un punto moviéndose sobre la curva obliga a tratar con un parámetro que tiene que hacer saltos; si queremos calcular la longitud de la curva, también hay que dividir en varias integrales (o usar simetría...). Nada dramático, pero en mi opinión, si algo inconveniente.

Saludos.

[hméndez]

...
craso error Eduardo.  Esto es de otra lemniscata (la del ocho)....

Estás equivocado,  que una curva describa un 8 no significa que sea una lemniscata.

Si prestás atención a la 2da parametrización de ex-manco vas a ver que es como la tuya pero con un \( 1+\sin^2\theta \) de denominador.
Este detalle hace que sean de aspecto parecido pero que una verifique las propiedades de la lemniscata y la otra no.

Sí Abdulai de acuerdo en todo. Quize decir que mi parametrización corresponde a la
"lemniscata de Gerono" o "Curva del ocho" como le llaman algunos autores.

https://www.mathcurve.com/courbes2d.gb/gerono/gerono.shtml
http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Curves/Eight.html

Saludos