Hola, matemastrico
No entiendo nada de lo que haces. Si lo quieres hacer muy fácil, con algún invento rebelde, puedes hacer esto:
Cuando el perímetro de la circunferencia es cero también es cero el el área de la circunferencia asociada. (que represento en el dibujo con un punto gordo, pero es cero, es invisible). Si ahora pensamos en el perímetro de una circunferencia concéntrica un poquitín mayor que cero (siguiente dibujo) el trozo de área vacía es inexistente (representada con el anillo blanco para que se vea, pero no se ve). Así, sucesivamente, podemos ir montando perímetros de circunferencia, círculos vacíos, de tal forma que al final tendremos una suma de las áreas (áreas que miden cero) de perímetros de radio “x” desde cero hasta el radio final “r” que queramos; esa suma de todos los "perímetros" \( 2\pi x \) será el área de un círculo de radio “r”.
La suma de las áreas de los perímetros supone la integral inmediata más sencilla del mundo, donde al integrar la variable “x” tendremos \( \dfrac{x^2}{2} \):
\( \int_{0}^{r}2\pi x\, dx=
\)
\( 2\pi\int_{0}^{r}x\, dx=
\)
\( \dfrac{2\pi r^{2}}{2}-\dfrac{2\pi\cdot0^{2}}{2}=\pi r^{2}-0=\pi r^{2}
\)
Esto no se considera así que yo sepa (así que a nadie se le ocurra ponerlo en un examen) es un "invento" mío. La forma académica de hacerlo (con una sola variable) es calcular el área del primer cuadrante de la circunferencia y multiplicarla por 4; es fácil, pues ahí tenemos los ejes X e Y, con lo que podemos poner “y” en función de “x” y tomar el radio como constante aplicando el teorema de Pitágoras; queda una integral muy sencilla también, pero no tanto como ésa.
Saludos.
