Interesante, gracias por las respuestas... ¿se podría relacionar con el teorema de pitágoras el área o perímetro del círculo de radio 1?
Sí, pero en lo que yo te decía, al final, el teorema de Pitágoras sólo se usa como un recurso para expresar lo que va valiendo la altura de los catetos “y” en el eje “Y” respecto de lo que van valiendo los “x” en el eje “X”.
El radio es siempre el mismo, es constante. El valor de “x” en la ecuación va aumentando según toma valores, su valor se ve siempre como un segmento que parte del centro del círculo tal como indican las líneas verdes entrecortadas (no hay que confundirlo con el lado corto de los rectángulos en la base, que es siempre igual, constante).
De esta manera los catetos “x” junto a los catetos del eje “y” van formando triángulos rectángulos (donde la altura son las lineas negras verticales y la hipotenusa el radio en amarillo); ahí es donde aparece el teorema de Pitágoras para poder expresar las “alturas y” en función del radio (según la fórmula que se ve).
Pero lo que queremos obtener no es la suma de esos triángulos (porque se superponen y nos darían un área mayor de lo que es) sino la suma de todos esos rectángulos azules; dado que cuando la base de ellos sea muy pequeña, casi cero, cubrirán todo el primera cuadrante y ésa suma de columnas será el área de un cuarto de círculo.
Entonces el valor de las áreas de esas columnas viene dado por el producto de la base por la altura; donde la base es un valor muy pequeño al que se llama “dx” (constante) y la altura la da la función, o sea, la fórmula que aparece ahí para los distintos valores que va tomando “x” (que sale de despejar en Pitágoras como ves).
Para hacernos una idea podríamos representar así la suma de las áreas
\( dx\cdot\sqrt{r^{2}-x_{1}^{2}}+dx\cdot\sqrt{r^{2}-x_{2}^{2}}+dx\cdot\sqrt{r^{2}-x_{2}^{2}}...
\)
donde “x” termina al final valiendo lo mismo que “r”, el radio. Y la altura “y” termina valiendo cero; en ese momento se cubre ya todo el primer cuadrante.
De la otra forma que decía, sumando áreas de “círculos vacíos”, arandelas cada vez de menor radio, es más fácil y parece más natural; pero tiene el problema de que no podemos justificar bien que el área sea \( dx\cdot 2\pi x \), ya que, no tenemos “lado por lado”, no tenemos dos segmentos rectos, sino que uno es curvo, es la propia circunferencia. Lo cierto es que la integral al final también sale bien, da lo que tiene que dar, pero no se “ve” bien qué está pasando; mientras que con los rectángulos sí podemos estar seguros de que el área es ésa, ya sea grande o pequeña la base de los rectángulos.
(el dibujo que he hecho no es muy allá, a buen seguro que Ignacio tiene animaciones de Geogebra sobre este caso u otros parecidos que describan la idea de la integral de Rirmann)
Saludos.
