[javileyes]

Si \( \sqrt[ ]{x^2} = |x| \)
¿entonces:

\( \sqrt[ ]{5^2} = 5 \) (positivo)     en contraposición con \( \sqrt[ ]{25} = \pm{5} \) ?

Cambiado el título y corregido el valor absoluto

[delmar]

Hola

\( \sqrt[ ]{25}=5 \) esto es lo cierto \( \sqrt[ ]{25}=+-5 \) es falso. Delante del signo de la raíz hay un signo, positivo cuando se omite, por defecto se considera la raíz positiva del radicando.

Saludos

[Ignacio Larrosa]

Si \( \sqrt[ ]{x^2} = |x| \)
¿entonces:

\( \sqrt[ ]{5^2} = 5 \) (positivo)     en contraposición con \( \sqrt[ ]{25} = \pm{5} \) ?

Cambiado el título y corregido el valor absoluto

Antes perdí la conexión por tormenta eléctrica después de cambiar el título y a mitad de respuesta ... Como dice delmar, la raíz cuadrada, como función que es, tiene un solo valor, el positivo: \( \sqrt[ ]{x^2} = |x| \).

Otra cosa es que la ecuación \( x^2 = a \) tenga dos soluciones: \(  x = \sqrt[ ]{a}\textrm{ y }x = -\sqrt[ ]{a} \), lo que a veces se abrevia como \( x = \pm{}\sqrt[ ]{a} \).

Saludos,

[javileyes]

Si \( \sqrt[ ]{x^2} = |x| \)
¿entonces:

\( \sqrt[ ]{5^2} = 5 \) (positivo)     en contraposición con \( \sqrt[ ]{25} = \pm{5} \) ?

Cambiado el título y corregido el valor absoluto

Antes perdí la conexión por tormenta eléctrica después de cambiar el título y a mitad de respuesta ... Como dice delmar, la raíz cuadrada, como función que es, tiene un solo valor, el positivo: \( \sqrt[ ]{x^2} = |x| \).

Otra cosa es que la ecuación \( x^2 = a \) tenga dos soluciones: \(  x = \sqrt[ ]{a}\textrm{ y }x = -\sqrt[ ]{a} \), lo que a veces se abrevia como \( x = \pm{}\sqrt[ ]{a} \).

Saludos,

Yo pensaba que por definición el output de la función raiz cuadrada de un número era el número que multiplicado por sí mismo daba el input de la función. Y que por ello todo número positivo tenía 2 raíces la principal que es la positiva y la segunda raíz que es la negativa.

[Ignacio Larrosa]

Si \( \sqrt[ ]{x^2} = |x| \)
¿entonces:

\( \sqrt[ ]{5^2} = 5 \) (positivo)     en contraposición con \( \sqrt[ ]{25} = \pm{5} \) ?

Cambiado el título y corregido el valor absoluto

Antes perdí la conexión por tormenta eléctrica después de cambiar el título y a mitad de respuesta ... Como dice delmar, la raíz cuadrada, como función que es, tiene un solo valor, el positivo: \( \sqrt[ ]{x^2} = |x| \).

Otra cosa es que la ecuación \( x^2 = a \) tenga dos soluciones: \(  x = \sqrt[ ]{a}\textrm{ y }x = -\sqrt[ ]{a} \), lo que a veces se abrevia como \( x = \pm{}\sqrt[ ]{a} \).

Saludos,

Yo pensaba que por definición el output de la función raiz cuadrada de un número era el número que multiplicado por sí mismo daba el input de la función. Y que por ello todo número positivo tenía 2 raíces la principal que es la positiva y la segunda raíz que es la negativa.

La función \( f(x) = x^2 \) no es inyectiva en todo su dominio y tiene dos funciones inversas \( \sqrt[ ]{x}\textrm{ y }-\sqrt[ ]{x} \). La primera es su inversa en \( [0,\infty) \) y la segunda en \( (-\infty, 0] \).

Pero en el contexto de los números reales, \( \sqrt[ ]{x} \) solo tiene un valor, el positivo o nulo, si \( x \geq{}0 \) y ninguno si \( x < 0 \).

Saludos,

[javileyes]

Si \( \sqrt[ ]{x^2} = |x| \)
¿entonces:

\( \sqrt[ ]{5^2} = 5 \) (positivo)     en contraposición con \( \sqrt[ ]{25} = \pm{5} \) ?

Cambiado el título y corregido el valor absoluto

Antes perdí la conexión por tormenta eléctrica después de cambiar el título y a mitad de respuesta ... Como dice delmar, la raíz cuadrada, como función que es, tiene un solo valor, el positivo: \( \sqrt[ ]{x^2} = |x| \).

Otra cosa es que la ecuación \( x^2 = a \) tenga dos soluciones: \(  x = \sqrt[ ]{a}\textrm{ y }x = -\sqrt[ ]{a} \), lo que a veces se abrevia como \( x = \pm{}\sqrt[ ]{a} \).

Saludos,

Yo pensaba que por definición el output de la función raiz cuadrada de un número era el número que multiplicado por sí mismo daba el input de la función. Y que por ello todo número positivo tenía 2 raíces la principal que es la positiva y la segunda raíz que es la negativa.

La función \( f(x) = x^2 \) no es inyectiva en todo su dominio y tiene dos funciones inversas \( \sqrt[ ]{x}\textrm{ y }-\sqrt[ ]{x} \). La primera es su inversa en \( [0,\infty) \) y la segunda en \( (-\infty, 0] \).

Pero en el contexto de los números reales, \( \sqrt[ ]{x} \) solo tiene un valor, el positivo o nulo, si \( x \geq{}0 \) y ninguno si \( x < 0 \).

Saludos,

Estoy muy agradecido por la ayuda, pero me gustaría ver una definición formal de raíz cuadrada (no consigo ver por internet ninguna definición formal que diga claramente que el rango de una raíz cuadrada es positivo igual que lo es su dominio) pues yo pensaba que por definición todo número real positivo tenía 2 raíces cuadradas. Muchas gracias

[Masacroso]

Estoy muy agradecido por la ayuda, pero me gustaría ver una definición formal de raíz cuadrada (no consigo ver por internet ninguna definición formal que diga claramente que el rango de una raíz cuadrada es positivo igual que lo es su dominio) pues yo pensaba que por definición todo número real positivo tenía 2 raíces cuadradas. Muchas gracias

Echa un vistazo aquí.

[Ignacio Larrosa]

Estoy muy agradecido por la ayuda, pero me gustaría ver una definición formal de raíz cuadrada (no consigo ver por internet ninguna definición formal que diga claramente que el rango de una raíz cuadrada es positivo igual que lo es su dominio) pues yo pensaba que por definición todo número real positivo tenía 2 raíces cuadradas. Muchas gracias

Un número real positivo \( x \) tiene dos raíces cuadradas, pero \( \sqrt[ ]{x} \) representa solo a una de ellas, la positiva. La otra es \( -\sqrt[ ]{x} \).

En el inicio del artículo de la Wikipedia Raíz cuadrada se recoge esta misma idea.

Saludos,

[javileyes]

Estoy muy agradecido por la ayuda, pero me gustaría ver una definición formal de raíz cuadrada (no consigo ver por internet ninguna definición formal que diga claramente que el rango de una raíz cuadrada es positivo igual que lo es su dominio) pues yo pensaba que por definición todo número real positivo tenía 2 raíces cuadradas. Muchas gracias

Echa un vistazo aquí.

Muchas gracias por vuestra ayuda, soy creador de juegos y algunos juegos tienen sus leyes físicas de aceleraciones, rozamientos, gravedad, conservación de la energía, etc, etc a mi lo único que me preocupa de esto es la no reversibilidad de la información si yo elevo tanto -5 como 5 a la segunda potencia, si luego le aplico la raiz para contrarrestarla, no se contrarresta. Las matemáticas no guardan un estado, yo pensaba que no era lo mismo
1)   \( \sqrt[ ]{(-5)^2} = -5 \neq{} \sqrt[ ]{(5)^2} = 5 \)
pero resulta que si es lo mismo
2)   \( \sqrt[ ]{(-5)^2} = \sqrt[ ]{25} = \sqrt[ ]{(5)^2} \)
¿O sigo equivocado?, o quizas la primera es cierta porque estamos guardando el "estado" de la secuencia de construcción numérica, en cambio si no guardo esta información (-5)^2 pasaría a valer 25 (perdiendo la información del origen -5) y al hacer la raiz cuadrada perdería dicha información devolviéndome un número positivo. O luego está la tercera opción que yo creía que era la correcta:
3)   \( \sqrt[ ]{(-5)^2} = -5 \neq{} \sqrt[ ]{(5)^2} = 5 \neq{} \sqrt[ ]{25} = \pm{5}  \)
En donde en las dos primeras desigualdades de la expresion 3)  tenemos el "estado" anterior de construcción y el la última desigualdad tenemos un 25 que no sabemos si tiene un origen y si ese origen ha sido positivo o negativo.

[Ignacio Larrosa]

Estoy muy agradecido por la ayuda, pero me gustaría ver una definición formal de raíz cuadrada (no consigo ver por internet ninguna definición formal que diga claramente que el rango de una raíz cuadrada es positivo igual que lo es su dominio) pues yo pensaba que por definición todo número real positivo tenía 2 raíces cuadradas. Muchas gracias

Echa un vistazo aquí.

Muchas gracias por vuestra ayuda, soy creador de juegos y algunos juegos tienen sus leyes físicas de aceleraciones, rozamientos, gravedad, conservación de la energía, etc, etc a mi lo único que me preocupa de esto es la no reversibilidad de la información si yo elevo tanto -5 como 5 a la segunda potencia, si luego le aplico la raiz para contrarrestarla, no se contrarresta. Las matemáticas no guardan un estado, yo pensaba que no era lo mismo \( \sqrt[ ]{(-5)^2} \neq{} \sqrt[ ]{(5)^2} \) pero resulta que si es lo mismo \( \sqrt[ ]{(-5)^2} =  \sqrt[ ]{25} = \sqrt[ ]{(5)^2} \)

Si tienes almacenado el signo de \( x \), o puedes determinarlo, puedes utilizar \( \textrm{sgn}(x)\cdot{}\sqrt[ ]{x^2} \), donde

\( \textrm{sgn}(x)=\begin{cases}{ -1}&\text{si}& x < 0\\0 & \text{si}& x= 0\\1 & \text{si}& x > 0\end{cases} \)

Que también puede definirse como

\( \textrm{sgn}(x)=\begin{cases} 0 & \text{si}& x = 0\\\displaystyle\frac{x}{|x|} & \text{si}& x \neq{} 0\end{cases} \)

Saludos,