[NatsuFT]

Hola,

Estaba viendo un ejercicio en el cuál me pedían averiguar la cantidad de cifras que tendrá \( 5^{29} \) sabiendo que \( \log_{10}(2)=0,3010 \).

Supongo que tiene algo que ver con lo opuesto a la notación científica pero no entiendo bien como es que funciona y no puedo encontrar casi nada acerca de esta aplicación de los logaritmos.

¿Alguien sabría decirme como es que esto funciona?

Gracias.

Saludos

[ingmarov]

Hola

Si lo pones de esta forma. \( 5^{29}=\left(\dfrac{10}{2}\right)^{29} \)

Ahora calcula el logaritmo ¿entiendes?

Saludos



Para entender la aplicación puedes calcular el logaritmo de algunos números, por ejemplo 19, 9978, 59124, 158905371, y ve qué relación tiene el logaritmo con la cantidad de cifras de cada número.

[mathtruco]

Complemento la respuesta de ingmarov con una propiedad que debieras conocer para terminar el ejercicio:

   El número de dígitos que tiene un natural \( N \) es \( \lfloor\log_{10}N\rfloor+1 \)

donde \( \lfloor x\rfloor \) es el número natural más grande \( M \) tal que \( M\leq x \). En tu caso \( N=5^{29} \).

[NatsuFT]

Hola

Si lo pones de esta forma. \( 5^{29}=\left(\dfrac{10}{2}\right)^{29} \)

Ahora calcula el logaritmo ¿entiendes?

Saludos

Para entender la aplicación puedes calcular el logaritmo de algunos números, por ejemplo 19, 9978, 59124, 158905371, y ve qué relación tiene el logaritmo con la cantidad de cifras de cada número.

Mmm, es decir que \( 29\log_{10}(5)=29(\log_{10}(10)-\log_{10}(2))
 \)

Entonces \( 29*0,699=20,271 \)

Y eso daría como resultado la cantidad de cifras, que serían en este caso no 20 sino que 21. ¿Cierto?

Edito: Ya me quedó claro que deben ser 21 gracias a la respuesta de mathtruco.

Gracias a los dos y saludos.

[NatsuFT]

Complemento la respuesta de ingmarov con una propiedad que debieras conocer para terminar el ejercicio:

   El número de dígitos que tiene un natural \( N \) es \( \lfloor\log_{10}N\rfloor+1 \)

donde \( \lfloor x\rfloor \) es el número natural más grande \( M \) tal que \( M\leq x \). En tu caso \( N=5^{29} \).

Sabía que siempre debía ir al número que le sigue pero lo había deducido a prueba y error. Ahora estoy seguro de que debe ser así.
Gracias por explicármelo!

Saludos

[mathtruco]

Correcto. Aplicando esta fórmula:

   El número de dígitos que tiene un natural \( N \) es \( \lfloor\log_{10}N\rfloor+1 \)

donde \( \lfloor x\rfloor \) es el número natural más grande \( M \) tal que \( M\leq x \). En tu caso \( N=5^{29} \).

    \( \lfloor\log_{10}5^{29}\rfloor+1=\lfloor29\log_{10}5\rfloor+1=\lfloor 29\cdot(1-0.699)\rfloor+1=\lfloor 20.271\rfloor+1=20+1=21 \).

Sería interesante que te convenzas de donde viene esa fórmula, porqué funciona. ¿Lo tienes claro?

[NatsuFT]

Correcto. Aplicando esta fórmula:

   El número de dígitos que tiene un natural \( N \) es \( \lfloor\log_{10}N\rfloor+1 \)

donde \( \lfloor x\rfloor \) es el número natural más grande \( M \) tal que \( M\leq x \). En tu caso \( N=5^{29} \).

    \( \lfloor\log_{10}5^{29}\rfloor+1=\lfloor29\log_{10}5\rfloor+1=\lfloor 29\cdot(1-0.699)\rfloor+1=\lfloor 20.271\rfloor+1=20+1=21 \).

Sería interesante que te convenzas de donde viene esa fórmula, porqué funciona. ¿Lo tienes claro?

La verdad que todavía no entiendo del todo bien como se llega al resultado. Como dije antes, supongo que debe tener que ver con la notación científica. Pero más no sé. 

[mathtruco]

Lo primero es recordar que logaritmo en base 10 es una función creciente, esto es, si \( 0<x<y \), entonces \( log_{10}x<\log_{10}y \).

- Si \( 10\leq N<100 \) (es decir, si \( N \) tiene dos dígitos) entonces

    \( 10\leq N<10^2\Leftrightarrow 1\leq\log_{10}N<2 \)

- Si \( 100\leq N<1000 \) (es decir, si \( N \) tiene tres dígitos) entonces

    \( 10^2\leq N<10^3\Leftrightarrow 2\leq\log_{10}N<3 \)

- así, en general, si \( 10^n\leq N<10^{n+1} \) (es decir, si \( N \) tiene \( n \) dígitos) entonces

    \( 10^n\leq N<10^{n+1}\Leftrightarrow n\leq\log_{10}N<n+1 \).

Teniendo esto claro, el siguiente resultado es directo

   El número de dígitos que tiene un natural \( N \) es \( \lfloor\log_{10}N\rfloor+1 \)

donde \( \lfloor x\rfloor \) es el número natural más grande \( M \) tal que \( M\leq x \). En tu caso \( N=5^{29} \).

Ahora puedes seguir la indicación de ingmarov

Para entender la aplicación puedes calcular el logaritmo de algunos números, por ejemplo 19, 9978, 59124, 158905371, y ve qué relación tiene el logaritmo con la cantidad de cifras de cada número.

[NatsuFT]

Lo primero es recordar que logaritmo en base 10 es una función creciente, esto es, si \( 0<x<y \), entonces \( log_{10}x<\log_{10}y \).

- Si \( 10\leq N<100 \) (es decir, si \( N \) tiene dos dígitos) entonces

    \( 10\leq N<10^2\Leftrightarrow 1\leq\log_{10}N<2 \)

- Si \( 100\leq N<1000 \) (es decir, si \( N \) tiene tres dígitos) entonces

    \( 10^2\leq N<10^3\Leftrightarrow 2\leq\log_{10}N<3 \)

- así, en general, si \( 10^n\leq N<10^{n+1} \) (es decir, si \( N \) tiene \( n \) dígitos) entonces

    \( 10^n\leq N<10^{n+1}\Leftrightarrow n\leq\log_{10}N<n+1 \).

Teniendo esto claro, el siguiente resultado es directo

Gracias por la detallada explicación! Ahora si que lo tengo claro.

Saludos

[Ignacio Larrosa]

Lo primero es recordar que logaritmo en base 10 es una función creciente, esto es, si \( 0<x<y \), entonces \( log_{10}x<\log_{10}y \).

- Si \( 10\leq N<100 \) (es decir, si \( N \) tiene dos dígitos) entonces

    \( 10\leq N<10^2\Leftrightarrow 1\leq\log_{10}N<2 \)

- Si \( 100\leq N<1000 \) (es decir, si \( N \) tiene tres dígitos) entonces

    \( 10^2\leq N<10^3\Leftrightarrow 2\leq\log_{10}N<3 \)

- así, en general, si \( 10^n\leq N<10^{n+1} \) (es decir, si \( N \) tiene \( n \) dígitos) entonces

    \( 10^n\leq N<10^{n+1}\Leftrightarrow n\leq\log_{10}N<n+1 \).

Teniendo esto claro, el siguiente resultado es directo

Gracias por la detallada explicación! Ahora si que lo tengo claro.

Saludos

Por cierto que, lo mismo es cierto en cualquier otra base, la base 10 no tiene nada de especial, salvo que la empleamos habitualmente:

   El número de dígitos que tiene un natural \( N\textrm{ en base }k\textrm{ es }\lfloor\log_{k}N\rfloor+1 \). Lo cual es especialmente útil cuando \( k = 2 \).

Saludos,