[pramirez]

Hola a todos de nuevo,

me dieron a resolver el siguiente ejercicio: Hallar la primitiva  F(x) de la función \( f(x)=(2x-\displaystyle\frac{3}{x^2})^2 \) que además verifique F(1)=-1.

Mi consulta es como debería resolverla, veo que toda la función esta afectada por el paréntesis elevado al cuadrado, la única forma de resolverla que se me ocurrió es aplicar la integrada de esta forma:  \( f(x)=(2x-\displaystyle\frac{3}{x^2})^2 =\displaystyle\frac{(2x-\displaystyle\frac{3}{x^2})^3}{3}+C  \)

No se si estoy aplicando el método correcto para resolverla o tengo que realizar otra cosa, si alguien me puede orientar un poco.

Saludos.

[mathtruco]

Hola

Viendo tu última pregunta, sé que sabes que el desarrollo que planteas no es correcto.

Si miras bien, puedes expandir la expresión e integrar los sumandos:

   \( \left(2x-\dfrac{3}{x^2}\right)^2=4x^2-\dfrac{12}{x}+\dfrac{9}{x^4} \)

Seguro no tendrás problemas con terminar el ejercicio.

[pramirez]

Hola

Viendo tu última pregunta, sé que sabes que el desarrollo que planteas no es correcto.

Si miras bien, puedes expandir la expresión e integrar los sumandos:

   \( \left(2x-\dfrac{3}{x^2}\right)^2=4x^2-\dfrac{12}{x}+\dfrac{9}{x^4} \)

Seguro no tendrás problemas con terminar el ejercicio.

¿A que te referís con expandir la expresión?, ¿podrás mostrarme un ejemplo de lo que mencionas?

[mathtruco]

A la igualdad que puse. Si la usas no tendrás problemas con la integral.

[pramirez]

A la igualdad que puse. Si la usas no tendrás problemas con la integral.

Te hago una consulta,  ¿como obtuviste la igualdad?, ¿multiplicaste entre sí cada uno de los términos?

[mathtruco]

Es expandir un binomio al cuadrado 

    \( (a-b)^2=a^2-2ab+b^2 \)

con \( a=2x \)  y  \( b=3/x^2 \)

    \( \left(2x-\dfrac{3}{x^2}\right)^2=4x^2-\dfrac{12}{x}+\dfrac{9}{x^4} \)

[pramirez]

Es expandir un binomio al cuadrado 

    \( (a-b)^2=a^2-2ab+b^2 \)

con \( a=2x \)  y  \( b=3/x^2 \)

    \( \left(2x-\dfrac{3}{x^2}\right)^2=4x^2-\dfrac{12}{x}+\dfrac{9}{x^4} \)

Tengo que estar atento a este tipo de propiedades o reglas al ver este clase de ejercicios. Creo que quedaría así:

 Integrar: \( \left(2x-\dfrac{3}{x^2}\right)^2=4x^2-\dfrac{12}{x}+\dfrac{9}{x^4}= \displaystyle\frac{4}{3}x^3-12ln(x)+9ln(x^4)+C \)
 
 Derivar:\(  [\displaystyle\frac{4}{3}x^3]^{\prime}-[12ln(x)]^{\prime}+[9ln(x^4)]^{\prime}=\displaystyle\frac{4}{3}x^2-12.\displaystyle\frac{1}{x}+9.\displaystyle\frac{1}{x^4}=4x^2-\displaystyle\frac{12}{x}+\displaystyle\frac{9}{x^4} \) que es la función original

[mathtruco]

Si sabes escribir las ecuaciones matemáticas correctamente, pues hazlo Por ejemplo, la siguiente igualdad no tiene sentido

(...)
 \( 4x^2-\dfrac{12}{x}+\dfrac{9}{x^4}= \displaystyle\frac{4}{3}x^3-12ln(x)+9ln(x^4)+C \)
(...)

Además, la integral está mal calculada, sé que sabes porqué, sólo debió ser un despiste. Debiera quedar

    \( \displaystyle\int\left(2x-\dfrac{3}{x^2}\right)^2dx=\int\left(4x^2-\dfrac{12}{x}+\dfrac{9}{x^4}\right)dx=\dfrac{4}{3}x^3-12\log|x|+\dfrac{9}{-3}\dfrac{1}{x^3}+C \)

[pramirez]

Si sabes escribir las ecuaciones matemáticas correctamente, pues hazlo Por ejemplo, la siguiente igualdad no tiene sentido

(...)
 \( 4x^2-\dfrac{12}{x}+\dfrac{9}{x^4}= \displaystyle\frac{4}{3}x^3-12ln(x)+9ln(x^4)+C \)
(...)

Además, la integral está mal calculada, sé que sabes porqué, sólo debió ser un despiste. Debiera quedar

    \( \displaystyle\int\left(2x-\dfrac{3}{x^2}\right)^2dx=\int\left(4x^2-\dfrac{12}{x}+\dfrac{9}{x^4}\right)dx=\dfrac{4}{3}x^3-12\log|x|+\dfrac{9}{-3}\dfrac{1}{x^3}+C \)

Hola,

disculpa la demora en la respuesta. Perdona mi ignorancia pero no entendí que calculo realizaste en la última parte de la integral que remarque abajo en rojo. La integral no es \( \displaystyle\int\dfrac{du}{u}=ln u+C \) igual a como me quedó con \( 12ln|x| \) un paso antes?


\( \displaystyle\int\left(2x-\dfrac{3}{x^2}\right)^2dx=\int\left(4x^2-\dfrac{12}{x}+\dfrac{9}{x^4}\right)dx=\dfrac{4}{3}x^3-12\log|x|+\color{red}\dfrac{9}{-3}\dfrac{1}{x^3}+C \)

[mathtruco]

Las reglas dicen que

• Si \( n\neq -1 \), \( \int x^ndx=\dfrac{1}{n+1}x^{n+1} \)+C (deriva la respuesta y verás que es cierta).
• \( \int\frac{dx}{x}=\ln|x|+C \)

.
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