Bien, es algo que debería pensar mejor. Es que en matemática se habla de deducir únicamente, mientras que en otras teorías en otros ámbitos además de deducir se induce. Nadie dice que el que dos puntos determinen una recta es algo a lo que se llegue por inducción.
Como ya te dije en otra ocasión, tendrás que aclarar en qué estás pensando al hablar de "inducción", porque puede entenderse de muchar formas. Desde luego, no se llega a que por dos puntos pasa una recta probándolo para \( 0 \) y viendo que si es cierto para \( n \) también vale para \( n+1 \). Obviamente no te refieres a eso, pero necesitaría saber a qué estás llamando inducción y en qué ámbitos estás pensando.
Y si en efecto los objetos matemáticos son objetos "vacíos", sin significado intrínseco, entonces no es una ciencia la matemática.
Eso es una afirmación arbitraria por tu parte.
Por otro lado, no es lo mismo decir que los objetos matemáticos no tienen significado que decir que los razonamientos matemáticos no se apoyan en el significado de sus afirmaciones. Por ejemplo, si tomas un problema típico del padre que tiene no sé cuántos años más que el hijo, pero dentro de 10 años la edad del padre será el doble que la del hijo, y al final llegas a plantearlo como una ecuación de tipo \( x(x-10)+5=x-20 \) (la he escrito sin pensar, no trates de buscarle un sentido), obtienes la solución resolviendo la ecuación, y si te sale \( x= 10 \) y concluyes que el hijo tiene \( 10 \) años, lo habrás hecho con un razonamiento en el que manipulas unas ecuaciones sin que importe para nada si \( x \) es la edad del hijo o la altura de mi casa. El razonamiento es formal porque uno puede resolver la ecuación sin preocuparse del problema en virtud del cual la has planteado. Sin necesidad de saber si \( x \) son años o son metros. Pero que el razonamiento sea formal no quita para que estés llegando a una conclusión sobre el mundo real (si es que el padre y el hijo existen realmente). Esto se aplica, con más sentido, si hablamos de ecuaciones que modelizan un sistema físico. Cuando las manipulas matemáticamente, no importa su significado físico, pero tenerlo lo tienen.
Es que desde mi punto de vista, que una teoría sea axiomática no debería implicar que los razonamientos que se hagan en ella sean formales. Meramente que hay proposiciones que se aceptan sin justificación, y que toda otra que se acepte (con certeza o relativa certeza) se infiere (deductiva o inductivamente) de ellas. ¿No sería útil esto?
De nuevo necesito que me expliques en qué estás pensando concretamente cuando dices "inferir inductivamente a partir de unos axiomas", y tampoco entiendo qué quieres decir por "inferir deductivamente" si luego planteas que la deducción no tiene por qué ser formal. ¿A qué llamas deducción no formal a partir de unos axiomas? ¿Podrías poner un ejemplo de eso?
Más o menos. Decir eso es decir que hay "algo allí", lo cual reflejan tanto las exposiciones de Hilbert como la de Tarski. Como yo lo veo, sus exposiciones intentan capturar nociones comunes a las personas, pero ¿quién me dice que efectivamente los objetos que se describen son los mismos? Tras deducir y deducir. Además puede que una noción, profundizado en sus propiedades, para una persona tenga una propiedad y para otra otra, como sucede con la hipótesis del continuo para conjuntos.
No acabo de entender lo que planteas. Si dos personas parten de los mismos axiomas y razonan correctamente, no puede ser que uno llegue a unas consecuencias y otro a otras. A lo sumo llegarán a afirmaciones que no pueden deducir ni refutar a partir de los axiomas, como la hipótesis del continuo, y entonces pueden decidir si les apetece tomar como axioma la hipótesis del continuo u otro axioma que la contradiga, como \( 2^{\aleph_0}=\aleph_{17} \), pero dudo mucho que alguien pueda decir "elijo este segundo axioma porque para mí es verdadero".
En cuanto a lo de si los objetos que describen son los mismos, ¿en qué sentido tendrían que ser los mismos? Esto puede llevarnos a una digresión muy grande, pero si nos centramos, por ejemplo, en las geometrías de Hilbert y de Tarski (y restringimos el axioma de completitud de Hilbert a primer orden para que sean comparables), resulta que todos los axiomas de Hilbert pueden ser enunciados y demostrados en la teoría de Tarski y viceversa. En ese sentido, cualesquiera objetos que cumplan los axiomas de Hilbert, cumplen los de Tarski y viceversa.
Si consideramos ambas teorías formalizadas en la teoría de conjuntos, entonces los modelos de ambas son isomorfos a \( K^3 \), donde \( K \) es cualquier cuerpo realmente cerrado (un concepto técnico que no importa mucho ahora) o bien, si modificamos la teoría de Tarski para ponerle un axioma de completitud de segundo orden, entonces ambas geometrías tienen únicamente modelos isomorfos a \( \mathbb R^3 \). Luego las dos hablan de lo mismo.
No creo que pasar de deducciones formales a un sistema formal sea algo trivial, que no transen mayores consideraciones de por medio.
¿transen es una errata? No caigo en qué querías decir. Pasar de deducciones formales a un sistema formal es esencialmente lo mismo que pasar de un algoritmo explicado con palabras a un programa en C. Si uno sabe C, no debería suponerle una gran dificultad, por lo menos si el algoritmo explicado con palabras es suficientemente explícito, y obviamente cabe la posibilidad de que la implementación tenga "bugs", igual que alguien puede equivocarse al escribir un razonamiento olvidándose de tratar un caso o algo así, pero esencialmente es un problema de traducción cuya única dificultad es la que tiene todo traductor: conocer bien el lenguaje origen y el lenguaje destino.
Y aún hay otro punto que no me cierra de la noción de sistema axiomático. Se dice que están las nociones primitivas y nada más, que de ellas los axiomas versan, y que de éstos se debe derivar todo. Pero no sucede así. Se llama sistema axiomático de los reales a lo que decís es más bien una definición como estructura, porque se da en conjuntos. Se habla de el sistema axiomático de Birkhoff, aunque usa a los reales.
En efecto, y se habla de los axiomas de cuerpo, y de los axiomas de espacio vectorial, pero te vas a hacer un lío enorme si no eres consciente de lo que, de hecho, ya eres, porque lo has dicho tú mismo, pero que te resistes a aceptar:
Hay dos cosas que se llaman axiomas que no tienen nada que ver entre sí:
1) Las propiedades que se exigen a determinados objetos en una definición matemática. Por ejemplo, al definir un cuerpo, se pide que sea un conjunto con dos operaciones que cumplen ciertas propiedades, y a esas propiedades se las llama axiomas.
2) Las afirmaciones que se toman como punto de partida en una teoría axiomática, sin pedir que sean demostradas a partir de otras.
Son cosas distintas, y si cuando lees algo sobre teorías axiomáticas crees que puedes aplicarlo tanto a 1) como a 2), acabarás no entendiendo nada.
La definición de espacio vectorial no es una teoría axiomática. Cuando razonas con espacios vectoriales no usas sólo los axiomas de espacio vectorial, sino que al hablar de subespacios, de dimensión, de aplicaciones lineales usas también subconjuntos, números naturales, aplicaciones, que son conceptos que no están regulados de ningún modo por los axiomas de espacio vectorial.
La conexión entre 1) y 2) es un tanto artificiosa, y es que puedes "aislar" la definición de espacio vectorial (bueno, junto con la de cuerpo, que está indisolublemente asociada a ella) a base de definir un "lenguaje de la teoría de los espacios vectoriales", reinterpretar los axiomas de cuerpo y de espacio vectorial en dicho lenguaje (es decir, dejando de considerarlos como afirmaciones del lenguaje de la teoría de conjuntos y pasando a considerarlos como afirmaciones de un lenguaje
ex profeso) y planteándote qué puedes deducir a partir de esos axiomas sin usar nada más que ese lenguaje y esos axiomas.
Esto reduce bastante el alcance de la teoría de espacios vectoriales, pero bastante menos de lo que uno podría pensar a priori. En cualquier caso, una "teoría de espacios vectoriales" así enlatada no es lo que un matemático piensa ordinariamente cuando habla de la teoría de espacios vectoriales. A lo que se refiere un matemático es a una definición axiomática (en teoría de conjuntos) y no a una teoría axiomática. Y no puedes permitirte el lujo de ir confundiendo estos términos.
Se habla del sistema axiomático de Hilbert, aunque ese axioma de completitud es rarísimo.
El axioma de completitud no es nada raro. Si te lo parece así es que no lo entiendes bien, y si quieres podemos discutirlo. Y sí, se habla del sistema axiomático de Hilbert, y es una forma de hablar perfectamente válida, pero hay que entenderla bien, salvo que precises una forma de "enlatarlo" para hacerlo independiente de la teoría de conjuntos, cosa que en principio es posible hacer, aunque el axioma de completitud requeriría bastantes tecnicismos, pero tecnicismos que los lógicos se las han apañado para llevar adelante, lo que normalmente se entiende por "sistema axiomático de Hilbert" es una definición en el seno de la teoría de conjuntos, lo mires como lo mires, y los razonamientos en ese "sistema axiomático" no son más que casos particulares de razonamientos en la teoría de conjuntos. Otra cosa es que no es difícil sustituir una teoría potentísima como ZFC por otras teorías mucho más débiles y que son suficientes para incluir la geometría de Hilbert.
