Entonces estamos esencialmente de acuerdo. O al menos es la impresión que tengo. Digo esencialmente porque yo no exigiría que se exponga la lógica formalizada, sino que bastaría con que se reconozca que el razonamiento no se basa en lo semántico.
Es lo mismo que te digo. Que el razonamiento no se basa en la semántica es equivalente a que todo él, incluida su lógica, sea formalizable. Pero eso no significa que convenga exponerlo formalizado. Es como los programas de ordenador. Un programa estará bien si, convertido en una sucesión de ceros y unos que pueda leer un ordenador, hace lo que se espera que haga, ni más ni menos. Pero si uno quiere entender un programa de ordenador, no ganará nada mirando la sucesión de ceros y unos en la que se convierte finalmente cuando se traduce a un lenguaje de bajo nivel, sino que hará bien en mirar una versión en un lenguaje de programación de alto nivel o incluso un mero diagrama de flujo que no contenga los detalles que pueden programarse rutinariamente. Pero eso estará bien y no esconderá fallos si y sólo si todos esos detalles pueden completarse hasta acabar con una sucesión de ceros y unos que haga que el ordenador haga lo requerido.
Probablemente estás haciendo referencia a la geometría de Hilbert, no como teoría axiomática independiente, sino como una mera definición en la teoría de conjuntos
Digamos, a la geometría de Hilbert tal y como él la postuló en su día, que naturalmente no era en ZFC y que no sigue una formalización de la lógica en particular, me parece. Tampoco menciona conjuntos de hecho.
Decir que no era ZFC es relativo. Puedes decir que todos los matemáticos han trabajado en ZFC desde que el mundo es mundo, no en el sentido de que conocieran ZFC, sino en el sentido de que todo lo que decían que era esencialmente correcto (es decir, descontando las numerosas meteduras de pata y ambigüedades que puedes encontrar en los clásicos) es formalizable en ZFC.
Hilbert menciona conjuntos en el axioma de arquímedes, cuando habla de puntos arbitrarios \( A_1, A_2, \ldots \), donde también son fundamentales los números naturales.
En suma, Hilbert está hablando de Geometría igual que hablaría de números o de espacios vectoriales. Está haciendo matemáticas de las de siempre que, desde un punto de vista formal, pueden entenderse como definiciones y teoremas de ZFC, independientemente de que Hilbert conociera o no ZFC.
Leí que se puede usar infinitary logic para expresar el axioma de Arquímedes. El de completitud de Dedekind, si hablamos de la completitud en estos términos, tal como me lo mencionaste, es de segundo orden.
Sí, claro, el axioma de completitud es de segundo orden. Cualquier intento de usar lógicas extrañas sólo es un rodeo innecesario, pues todas esas lógicas acaban necesitando como fundamento una teoría de conjuntos.
Pero es que eso no tiene nada que ver con el axioma de completitud. ¿A quién le has leído ese disparate? ¿a un filósofo?
Pues ''del propio'' Hilbert.
Fuente: (pág. 21) https://math.berkeley.edu/~wodzicki/160/Hilbert.pdf
Je, je. Según dice ahí ese párrafo es una nota que añadió Hilbert para la edición francesa, que no formaba parte de su trabajo original y, consecuentemente, no usa en ningún momento semejante "axioma". Es difícil imaginar cómo habría usado algo así.
Ese párrafo no tiene más valor que el que pueda tener un párrafo de Euler sobre si los infinitésimos cumplen esto o lo otro (en demostraciones que requieren modificaciones sustanciales para convertirse en rigurosas en sentido moderno). Simplemente, Hilbert no sabía cómo expresar lo que quería expresar y puso eso. Es indudable que si lees trabajos originales de Newton, Euler, Cauchy, etc. encontrarás muchas ideas interesantes e instructivas, pero también muchos párrafos que conviene olvidar, porque contienen ideas confusas que es disculpable que en la época no supieran cómo concretarlas.
De hecho, yo me leí en su día los Grundlagen de Hilbert, hace años, y fíjate el caso que le hice a ese párrafo que ni lo he reconocido en tu cita. Simplemente debí de decirme "esto no aprovecha para nada", y pasé a otra cosa.
En el siguiente artículo también se habla de este axioma expresado así: (pág. 6) https://dialnet.unirioja.es/descarga/articulo/4141444.pdf
Ya salió el filósofo, dando vueltas y más vueltas a un párrafo de Hilbert que podríamos olvidar sin perder nada de provecho. Con la de cosas brillantes que dijo Hilbert, ¿qué sentido tiene dedicar páginas y más páginas a lo que estaba pensando cuando escribió ese "axioma" que hoy nadie enunciaría así?
