[Tenochtitlan]

Hola. Si me pueden ayudar como hacer este.

Hallar la funcion generadora de la sucesion \( a_{n+1}=a_n+1 \) con \( a_1=0 \)

[EnRlquE]

Hola Tenochtitlan.

 Podemos imitar los pasos que se siguen en el ejemplo de la Wikipedia. Supongamos que \( A(x)=\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}x^{n} \) sea la función generadora de la sucesión. Si multiplicamos la recurrencia \( a_{n+1}=a_{n}+1 \) por \( x^{n} \) y sumamos sobre todos los enteros \( n\geq 1 \) obtenemos

\begin{equation}\label{E1}\sum_{n=1}^{\infty}a_{n+1}x^{n}=\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}x^{n}+\sum_{n=1}^{\infty}x^{n}.\end{equation}

 El lado derecho de \eqref{E1} es igual a \( A(x)+\frac{x}{1-x}; \) mientras que el lado izquierdo es igual a

\( \displaystyle\frac{\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_{n+1}x^{n+1}}{x}=\frac{A(x)-{\color{red}a_{1}x}}{x}=\frac{A(x)}{x}. \)

 Por tanto la ecuación \eqref{E1} es equivalente a

\( \dfrac{A(x)}{x}=A(x)+\dfrac{x}{1-x}, \)

de donde podemos encontrar \( A(x). \) Termina y si tienes dudas, pregunta.

Saludos,

Enrique.

Nota: Partes Rojas editadas (gracias a el_manco por estar atento). Por cierto, empecé la sumatoria con \( n=1 \) porque presupuse que la serie comenzaba en \( n=1, \) si esta comienza desde \( n=0 \) se puede rehacer el procedimiento anterior o notar que de la recurrencia necesariamente tiene que ser \( a_{0}=-1. \)

[Tenochtitlan]

Hola Enrique! Mira la verdad que eh faltado a clases cuando explicaron este tema y no se bien que es lo que hay que hacer. Ando bastante perdido.

Sludos.

[Tenochtitlan]

Hola

 El lado derecho de \eqref{E1} es igual a [tex]A(x)+\frac{x}{1-x};

Esto es por definición? Me refiero a que si son propiedades.

Saludos.

[Tenochtitlan]

Hola, disculpa. Tampoco entiendo como se llega a esto. Sobre todo el \( -a_1 \)

mientras que el lado izquierdo es igual a

\( \displaystyle\frac{\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_{n+1}x^{n+1}}{x}=\frac{A(x)-a_{1}}{x}=\frac{A(x)}{x}. \)

Si no e molesta te pediría que me expliques mejor como llegaste a esa igualdad, desde ya muchas gracias.

saludos.

[Luis Fuentes]

Hola

 El lado derecho de \eqref{E1} es igual a \( A(x)+\frac{x}{1-x};

[/quote]

Esto es por definición? Me refiero a que si son propiedades.
[/quote]

Hemos definido:

[tex]A(x)=\displaystyle\sum_{n=1}^\infty{}a_nx^n \)

En la ecuación \( a_{n+1}=a_n+1 \), multiplicando por \( x^n \) y sumando en \( n \) queda:

\( \displaystyle\sum_{n=1}^\infty{}a_{n+1}x^n=\displaystyle\sum_{n=1}^\infty{}a_{n}x^n+\displaystyle\sum_{n=1}^\infty{}x^n \)

Entonces por definición: \( \displaystyle\sum_{n=1}^\infty{}a_{n}x^n=A(x) \).

Y por la fórmula de la suma de los términos de una serie geométrica:

\( \displaystyle\sum_{n=1}^\infty{}x^n=\dfrac{x}{1-x} \)

Por eso:

\(
\displaystyle\sum_{n=1}^\infty{}a_{n}x^n+\displaystyle\sum_{n=1}^\infty{}x^n=A(x)+\dfrac{x}{1-x} \)

Hola, disculpa. Tampoco entiendo como se llega a esto. Sobre todo el \( -a_1 \)

mientras que el lado izquierdo es igual a

\( \displaystyle\frac{\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_{n+1}x^{n+1}}{x}=\frac{A(x)-a_{1}}{x}=\frac{A(x)}{x}. \)

Si no e molesta te pediría que me expliques mejor como llegaste a esa igualdad, desde ya muchas gracias.

Hay una pequeña errata; sería \( -a_1x \). Ten en cuenta que:

\( A(x)=\displaystyle\sum_{n=1}^\infty{}a_nx^n=a_1x^1+\displaystyle\sum_{n=2}^\infty{}a_nx^n=a_1x^1+\displaystyle\sum_{m=1}^\infty{}a_{m+1}x^{m+1} \) (haciendo \( m=n-1 \)).

Saludos.

[Tenochtitlan]

Hola, gracias por la respuesta ya voy entendiendo mejor. De todas formas todavía no llegue a tenerla del todo clara.

Tengo algunas duda:

_Porque tengo que desarrollar el lado izquierdo de la igualdad?

_Como podría hacer para hallar el \( n_0 \) ?

_Porque la sumatoria empieza de \( n=1 \) y no de \( n=0 \)?

Saludos y gracias por tomarse el tiempo de explicarme. 

[Luis Fuentes]

Hola

Hola, gracias por la respuesta ya voy entendiendo mejor. De todas formas todavía no llegue a tenerla del todo clara.

Tengo algunas duda:

_Porque tengo que desarrollar el lado izquierdo de la igualdad?

Lo que tienes que hacer es conseguir una expresión donde aparezca \( A(x) \) y no sumatorias infinitas, para así, despejando, poder obtener una expresión de \( A(x) \).

_Como podría hacer para hallar el \( n_0 \) ?

¿Qué \( n_0 \)?.

_Porque la sumatoria empieza de \( n=1 \) y no de \( n=0 \)?

Pues ahora mismo no sé porque EnRIquE empezó en \( 1 \).

Ciertamente puedes rehacer el argumeno tomando \( A(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^\infty{}a_nx^n. \)

Saludos.

[Tenochtitlan]

_Como podría hacer para hallar el \( n_0 \) ?

¿Qué \( n_0 \)?.

Perdon era el \( a_0 \)

[Luis Fuentes]

Hola

Perdon era el \( a_0 \)

Si rehacemos el argumento de EnRIquE con \( A(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^\infty a_n x^n \) queda:

\( a_{n+1}=a_n+1 \)

\( \displaystyle\sum_{n=0}^\infty{}a_{n+1}x^n=\displaystyle\sum_{n=0}^\infty{}a_{n}x^n+\displaystyle\sum_{n=0}^\infty{}a_{n+1}x^n \)

\( \displaystyle\sum_{n=0}^\infty{}a_{n+1}x^n=A(x)+\dfrac{1}{1-x} \)

Pero:

\( \displaystyle\sum_{n=0}^\infty{}a_{n+1}x^n=\displaystyle\sum_{m=1}^\infty{}a_{m}x^{m-1}=\dfrac{1}{x}\displaystyle\sum_{m=1}^\infty{}a_{m}x^{m}=\dfrac{1}{x}(A(x)-a_0) \)

Te queda:

\( \dfrac{A(x)-a_0}{x}=A(x)+\dfrac{1}{1-x} \)

Además si \( a_1=0 \) y \( a_{n+1}=a_n+1 \), para \( n=0 \) queda:

\( a_1=a_0+1 \)

de donde \( a_0=-1 \).

Saludos.

P.D. Ahora creo que EnRIquE empezo en \( n=1 \) porque presupone que nuestra sucesión comienza en \( a_1=1 \), por ser la condición inicial dada.