[latex]

Buenos días, tengo una pequeña duda sobre el siguiente matiz en la resolución de un problema:
 
Quiero saber o encontrar las dos últimas cifras del siguiente número: \( 103^{1243} \)
Esto equivale a saber cuál es el representante canónico módulo 100.

Luego \( 103^{1243}\equiv{}3^{1243} mod(100) \)

Ahora dado que \( mcd(100,3)=1 \), podemos usar la congruecia de Euler, que dice en este caso;

\( 3^{\phi (100) }\equiv{1} mod(100) \Rightarrow{} 3^{40}\equiv{1} mod (100) \)

\( \phi (100) = 40 \).

Ahora si dividimos \( 1243  \) entre \( 40 \)tenemos \( 1243=40(31)+3 \)

\( 3^{1243} = 30^{31\cdot 30 +3}=(3^{40})^{31}\cdot 3^3\equiv{3^3} = 27 mod(100) \) / ¿Aquí alguien me puede explicar que propiedad de la función de Euler se utiliza para resolverlo?
 
Saludos

[robinlambada]

Hola.

Buenos días, tengo una pequeña duda sobre el siguiente matiz en la resolución de un problema:
 
Quiero saber o encontrar las dos últimas cifras del siguiente número: \( 103^{1243} \)
Esto equivale a saber cuál es el representante canónico módulo 100.

Luego \( 103^{1243}\equiv{}3^{1243} mod(100) \)

Ahora dado que \( mcd(100,3)=1 \), podemos usar la congruecia de Euler, que dice en este caso;

\( 3^{\phi (100) }\equiv{1} mod(100) \Rightarrow{} 3^{40}\equiv{1} mod (100) \)

\( \phi (100) = 40 \).

Ahora si dividimos \( 1243  \) entre \( 40 \)tenemos \( 1243=40(31)+3 \)

\( 3^{1243} = 30^{31\cdot 30 +3}=(3^{40})^{31}\cdot 3^3\equiv{3^3} = 27 mod(100) \) / ¿Aquí alguien me puede explicar que propiedad de la función de Euler se utiliza para resolverlo?
 
Saludos

Realmente en el último paso no utiliza ninguna propiedad de la función de Euler, utiliza la propiedad de que el residuo de un producto módulo m, es el producto de los residuos módulo m y también que el residuo de la potencia de un número es el residuo de la potencia del residuo del número.

En tu caso: \( (3^{40})^{31}\cdot 3^3 \equiv{}1^{31}\cdot{}3^3\equiv{27} \, (mod 100) \)

Saludos.

[latex]

Que fallo mas tonto no ver eso...

Muchas gracias

Saludos.

[feriva]

Hola, Latex; una pregunta, por si pudiera ayudar: ¿es un problema resuelto o has llegado tú hasta ahí?

Saludos.

[latex]

Son problemas 'tipo' para usar la función de Euler cuando queremos saber las ultimas cifras de un número usando dicho teorema y su representante canónico en módulo \( 10^n \) para \( n \) cifras últimas.

Saludos

[feriva]

Son problemas 'tipo' para usar la función de Euler cuando queremos saber las ultimas cifras de un número usando dicho teorema y su representante canónico en módulo \( 10^n \) para \( n \) cifras últimas.

Saludos

Ah, vale, entonces entiendo que sólo te habías despistado en eso.

Saludos.

[latex]

Bueno pues si me puedes ayudar con este otro.

Conocer el representante canónico de el número \( 23^{55^{26}} \) En \( \mathbb{Z}_{45} \)

Lo primero de todo sería calcular el \( m.c.d(23,45)=1 \)

Luego por el teorema de Euler \( \phi (45)=24 \) \( \Longrightarrow{} \) \( 23^{24}\equiv{1} \) mod \( 45 \) . Y ahora debería de realizar la división entera \( 55=24(2)+7 \)  y dividirlo en dos casos \( 23^{24\cdot 2}\cdot 23^7 \) \( = \) \( 23^7 \) mod \( 45 \)y \( 26=24(1)+2 \) con \( 7^{24(1)}\cdot 7^2 \) \( \equiv{} \) \( 7^2 \) mod \( 45 \)

[feriva]

Bueno pues si me puedes ayudar con este otro.

Conocer el representante canónico de el número \( 23^{55^{26}} \) En \( \mathbb{Z}_{45} \)

Lo primero de todo sería calcular el \( m.c.d(23,45)=1 \)

Luego por el teorema de Euler \( \phi (45)=24 \) \( \Longrightarrow{} \) \( 23^{24}\equiv{1} \) mod \( 45 \) . Y ahora debería de realizar la división entera \( 55=24(2)+7 \)  y dividirlo en dos casos \( 23^{24\cdot 2}\cdot 23^7 \) \( = \) \( 23^7 \) mod \( 45 \)y \( 26=24(1)+2 \) con \( 7^{24(1)}\cdot 7^2 \) \( \equiv{} \) \( 7^2 \) mod \( 45 \)

Hola, latex. Sí, eso lo entiendo; lo entendí en el desarrollo del primer problema y por eso te dije que si podía ayudar en algo.

Pero no sé ahora qué propiedad se aplica cuando tenemos un exponente así \( x^{a^{b}}\equiv r\quad mod(m)
  \).

Entonces te quedan esas dos congruencias, donde la base del número y el módulo son coprimos y puedes resolverlas con la función fi como antes o con Fermat; en la segunda no hay que hacer anda, porque ya es trivial \( 7^{24}\equiv1(mod\,45)
  \)... Bien, y, ahora, lo que te decía, ¿cómo se sigue?

(al final me vas a ayudar tú a mí pero la cuestión es ayudarse).

Saludos.

[latex]

Claro esa es mi duda también jaja, no se como conocer el representante canónico de un número \( a^{b^{k}} \) mediante la función \( \phi \) de Euler, por eso te pregunte mi nueva duda.

Saludos

[feriva]

Claro esa es mi duda también jaja, no se como conocer el representante canónico de un número \( a^{b^{k}} \) mediante la función \( \phi \) de Euler, por eso te pregunte mi nueva duda.

Saludos

Ah. Entonces esperemos, que seguro que pasa alguien y nos lo explica a no mucho tardar.

Saludos.