[Marcos Castillo]

Hola, le doy mil vueltas a este ejercicio, pero no encuentro simetrías o patrones que me ayuden. Sólo quiero una pista, y luego igual vuelvo pidiendo sopitas, pero de momento sólo quiero una pista. Dice así:
"Calcúlese cuánto vale \( (1^3+2^3+3^3+4^3+...+100^3)\mbox{MOD}4 \)."

[Carlos Ivorra]

Ve calculando \( 1^3 MOD 4 \), \( 2^3 MOD 4 \), etc., a ver si encuentras un patrón.

[feriva]

Hola, le doy mil vueltas a este ejercicio, pero no encuentro simetrías o patrones que me ayuden. Sólo quiero una pista, y luego igual vuelvo pidiendo sopitas, pero de momento sólo quiero una pista. Dice así:
"Calcúlese cuánto vale \( (1^3+2^3+3^3+4^3+...+100^3)\mbox{MOD}4 \)."

Hola, Marcos.

Yo estas cosas las hago a mi manera, no las estudié; y no sé si este método que sigo está dentro de lo que es la resolución normal; así que no hagas mucho caso.

Spoiler

Piensa que si tienes, por ejemplo, \( \dfrac{5^{3}}{4}=\dfrac{5\cdot5\cdot5}{4}
  \) es lo mismo que \( 5\cdot5\cdot\dfrac{5\cdot}{4}
  \), luego como 25 es un entero, el resto es el mismo que si divides 5 entre 4.

Por otra parte fíjate en esto

\( \dfrac{5}{4}+\dfrac{6}{4}
  \), la suma de los restos es 3; y si sumamos 5 y 6 tenemos \( \dfrac{11}{4}
  \), y resto 3 también.

Pero en ese ejemplo no se ve bien del todo; vemos otro; podemos tener:

\( \dfrac{7}{4}+\dfrac{19}{4}+\dfrac{14}{4}
   \) suma de restos: 3+3+2=8; y 8, módulo 4, es cero; y la suma de 7+19+14 es 40, que también es cero el resto.

Entonces, visto esto, volviendo al problema y por la progresión aritmética

Esto está mal, es la suma al cubo lo que tiene que ser

\( 100\dfrac{(100+1)}{2}=5050
  \)

Que da resto 2 al dividir entre 4.

[cerrar]

Saludos

[Juan Pablo Sancho]

Cuidado feriva se está haciendo la suma:

\( 1^3 + 2^3 + \cdots + 100^3 = (\dfrac{100 \cdot 101}{2})^2 = 2^2 \cdot 5^2 \cdot 101^2  \) entonces el resto es cero, no hace la suma \( \displaystyle \sum_{i=1}^{100} i = \dfrac{100 \cdot 101}{2}  \)

Cuando resolví el ejercicio hace tiempo (como lo propone Carlos) al final puse otra solución haciendo trampa \( 1^3 + 2^3 + \cdots + 100^3 = (\dfrac{100 \cdot 101}{2})^2 = 2^2 \cdot 5^2 \cdot 101^2  \)

Una pista:

\(  100 = 4 \cdot 25  \) hay \( 25 \) números con resto \(  0  \), hay \(  25  \) con resto \(  1  \) ... al dividir por \(  4  \) entonces el resto elevado al cubo ....

[feriva]

Cuidado feriva se está haciendo la suma:

\( 1^3 + 2^3 + \cdots + 100^3 = (\dfrac{100 \cdot 101}{2})^2 = 2^2 \cdot 5^2 \cdot 101^2  \) entonces el resto es cero, no hace la suma \( \displaystyle \sum_{i=1}^{100} i = \dfrac{100 \cdot 101}{2}  \)

Gracias, Juan Pablo; corrijo.

Spoiler

Lo que comentas debería habérseme ocurrido porque suelo usarlo para contar cantidades de  múltiplos en mis cosas de Goldbach

3375000

Pero ésa no es la forma que sugiere Carlos, ¿no? Imagino que es ésta:

Se repiten los restos 1, 0, 3, 0, sucesivamente, entonces hay 50 números que son ceros y los otros cincuenta son unos y treses, 25 de cada, hacen 75 más 25, 100 que módulo cuatro es cero.

[cerrar]

Saludos.

[feriva]

Hola, Marcos. He visto que has repetido este hilo pidiendo ayuda, quizá porque no te convencen las respuestas.

Carlos te dijo que fueras mirando los restos de los cubos sucesivos; éstos van dando 1, 0, 3, 0, 1, 0, 3, 0...  módulo cuatro

Spoiler

luego si a partir de cuatro restos se repite lo mismo, es que sigue así todo el rato, porque es módulo 4.

Por tanto, como los ceros van uno sí y otro no, son 50 ceros, la mitad de 100. Y los otros 50 restos son treses y unos a partes iguales, pues cada cuatro restos hay un solo 1 y un solo 3; luego hay 25 treses y 25 unos que suman \( 3\cdot 25+1 \cdot 25=100 \)

Si sumas todos los restos tienes en principio el resto de la suma, pero si es mayor que “4k” y menor que “4k+4” entonces no es el resto, hay que quitarle “4k” y ya tienes el resto; y si es justo 4k, entonces el resto es cero; ¿estás de acuerdo, te convence?

[cerrar]

...
A mí no me convence del todo ahora que lo que digo en el spoiler, no tengo seguridad en eso de que se repitan los restos (la tengo porque lo probé con un programa, pero la sucesión podría ser otra y entonces eso podría no funcionar) se me ocurre algo mucho más sencillo.

Spoiler

Así no me ha salido

Todos los pares elevados a una potencia mayor que 1 son mútliplos de 4; por tanto todos los cubos pares son múltiplos de 4.

Todos los impares, desde 1, se pueden escribir como \( (2k-1)
  \)

Y elevados al cubo serán de esta forma

\( (2k-1)^{3}=8k^{3}-12k^{2}+6k-1
  \)



\( 8k^{3}-12k^{2}
  \) es divisible entre 4 y nos  quedan 50 sumas de los \( 6k-1
  \)

\( 50(6k-1)=2(25\cdot6k-25)
  \)

\( (25\cdot6k-25)

[color=blue]...[/color]

[/spoiler]

No me sale como intentaba; así que lo hago de otra forma muy parecida a la de Juan Pablo:

Hay 25 restos de cada, de 0,1,2,3

Como los pares dan un múltiplo de 4 al elevarlos a una potencia mayor que 1, nos quedamos con estas formas que son las que representan a los impares

[tex](4k+1)^{3}=64k^{3}+48k^{2}+12k+1
  \)

\( (4k+3)^{3}=64k^{3}+144k^{2}+108k+27
  \)

 Como hay 25 de cada y como \( 25+25\cdot27=25+675=700
  \)... ya está.

*Con este mismo argumento

"Como los pares dan un múltiplo de 4 al elevarlos a una potencia mayor que 1"

Vale la demostración del primer spoiler; en esas condiciones el resto no puede ser 2, luego se repiten así todos.



Un cordial saludo.

[cerrar]

[Marcos Castillo]

Ve calculando \( 1^3 MOD 4 \), \( 2^3 MOD 4 \), etc., a ver si encuentras un patrón.

¿El módulo de una suma es la suma de los módulos?. El patrón es 1,0,3,0.

\( 1^3 + 2^3 + \cdots + 100^3 = (\dfrac{100 \cdot 101}{2})^2 = 2^2 \cdot 5^2 \cdot 101^2  \)

¿Cómo has obtenido la suma?

¡Un saludo!

[Luis Fuentes]

Hola

Ve calculando \( 1^3 MOD 4 \), \( 2^3 MOD 4 \), etc., a ver si encuentras un patrón.

¿El módulo de una suma es la suma de los módulos?. El patrón es 1,0,3,0.

¡Claro! De manera precisa el módulo de una suma es el módulo de la suma de los módulos.

\( 1^3 + 2^3 + \cdots + 100^3 = (\dfrac{100 \cdot 101}{2})^2 = 2^2 \cdot 5^2 \cdot 101^2  \)

¿Cómo has obtenido la suma?

Utiliza la fórmula:

\( \displaystyle\sum_{k=1}^n{}k^3=\dfrac{n^2(n+1)^2}{4} \)

Aquí tienes una demostración de la misma por inducción:

http://rinconmatematico.com/foros/index.php?topic=92453.0

Saludos.

[Marcos Castillo]

¡Perfecto!. Un saludo.

[robinlambada]

Hola.
Una aclaración para nuestro entrañable feriva.

Piensa que si tienes, por ejemplo, \( \dfrac{5^{3}}{4}=\dfrac{5\cdot5\cdot5}{4}
  \) es lo mismo que \( 5\cdot5\cdot\dfrac{5\cdot}{4}
  \), luego como 25 es un entero, el resto es el mismo que si divides 5 entre 4.

Esto en general es falso, para este caso concreto es cierto, por ser el resto 1.

Pero , en general la regla es: Si \( a\equiv{}r\,(mod \,m)\Leftrightarrow{}a^b\equiv{}r^b\,(mod \,m) \)

Como ejemplo: \( 6^3\equiv{}2^3\equiv{}0\,(mod \,4)\Rightarrow{}6^3\equiv{}0\,(mod \,4) \)

Pero nunca \( 6\cdot{}6\cdot{}\displaystyle\frac{6}{4}=36\cdot{}\displaystyle\frac{6}{4} \)  dará el mismo resto módulo 4 que 6 pues este de resto da 2, ( por ser como tú dices 36 entero) , \( 6\equiv{}2\,(mod \,4) \) y \( 36\cdot{}2\equiv{}0\,(mod \,4) \) , que es distinto.

Saludos.