[Marcos Castillo]

Hola, me he quedado atascado con este ejercicio:
"El cubo de cualquier entero es de la forma 9k, 9k+1 ó 9k+8."
He hecho lo siguiente:
\( n^{3}=3q+r \)
\( (3q+r)^3=9(3q^{3}+qr^{2}+3q^2)+r^3 \)
Y no sé cómo resolver cuando el resto es mayor que 2.
¡Un saludo!

[Luis Fuentes]

Hola

Hola, me he quedado atascado con este ejercicio:
"El cubo de cualquier entero es de la forma 9k, 9k+1 ó 9k+8."
He hecho lo siguiente:
\( n^{3}=3q+r \)
\( (3q+r)^3=9(3q^{3}+qr^{2}+3q^2)+r^3 \)
Y no sé cómo resolver cuando el resto es mayor que 2.
¡Un saludo!

Tienes que analizar que ocurre con los posibles restos \( r=0,1,2,3,4,5,6,7,8 \).

Por ejemplo:

- Si \( r=3 \) entonces \( r^3=27=3\cdot 9 \).
- Si \( r=4 \) entonces \( r^4=64=7\cdot 9+1 \)

Continúa...

Saludos.

[Marcos Castillo]

Sí, pero si \( r=3 \), ¿cómo se expresa el entero para que sea de la forma \( 9k \), \( 9k+1 \), ó \( 9k+8 \)?. Ahí me he quedado atascado.

[feriva]

Sí, pero si \( r=3 \), ¿cómo se expresa el entero para que sea de la forma \( 9k \), \( 9k+1 \), ó \( 9k+8 \)?. Ahí me he quedado atascado.

Te lo acaba de poner, lo tienes ahí (eres casi peor que yo)

Saludos.

[Luis Fuentes]

Hola

Sí, pero si \( r=3 \), ¿cómo se expresa el entero para que sea de la forma \( 9k \), \( 9k+1 \), ó \( 9k+8 \)?. Ahí me he quedado atascado.

- Si \( r=3 \), como \( r^3=3\cdot 9 \) entonces: \( (3q+r)^3=9(3q^{3}+qr^{2}+3q^2)+r^3=9(3q^{3}+qr^{2}+3q^2)+9\cdot 3=9(3q^{3}+qr^{2}+3q^2+3) \)

- Si \( r=4 \), como \( r^3=7\cdot 9+1 \) entonces: \( (3q+r)^3=9(3q^{3}+qr^{2}+3q^2)+r^3=9(3q^{3}+qr^{2}+3q^2)+7\cdot 9=9(3q^{3}+qr^{2}+3q^2+7)+1 \)

 Y así...

Saludos.

P.D. Veo que no estoy siendo capaz de que comprendas la idea; una vez entendida no deberías de tener este tipo de dudas...

[Marcos Castillo]

¡Entendido!. Una vez mi profesor de matemáticas de bachillerato me dijo:"Hijo, vaya cacao que tienes"
Dios me regaló la pasión por las matemáticas, pero no la inteligencia.
Lo siento.

[robinlambada]

Hola siguiendo la idea que planteas, no es necesario analizar todos los posibles restos \( 0\leq{}r<9 \)

Ya que cualquier entero se puede expresar como. \( n=3q+r \) con r={0,1,2} el resto de la división euclidea.

Por ello solo esos valores basta analizar.

\( n^3=(3q+r)^3=9(3q^{3}+qr^{2}+3q^2)+r^3 \)

Si \( r=0\, \;r^3=0\Leftrightarrow{}n=9k \)

Si \( r=1 \,\;r^3=1\Leftrightarrow{}n=9k+1 \)

Si \( r=2 \,\;r^3=8\Leftrightarrow{}n=9k+8 \)

Saludos.

[feriva]

Hola siguiendo la idea que planteas, no es necesario analizar todos los posibles restos \( 0\leq{}r<9 \)

Ya que cualquier entero se puede expresar como. \( n=3q+r \) con r={0,1,2} el resto de la división euclidea.

Por ello solo esos valores basta analizar.

\( n³=(3q+r)^3=9(3q^{3}+qr^{2}+3q^2)+r^3 \)

Si \( r=0 \;r³=0\Leftrightarrow{}n=9k \)

Si \( r=1 \;r³=1\Leftrightarrow{}n=9k+1 \)

Si \( r=2 \;r³=8\Leftrightarrow{}n=9k+8 \)

Hola, Robin.

Creo que en general no es cierto que dado un \( a^{n}
  \) los restos módulo \( n^{2}
  \) coincidan siempre con los restos de “n” elevados a “n”.

Saludos.

[robinlambada]

Hola siguiendo la idea que planteas, no es necesario analizar todos los posibles restos \( 0\leq{}r<9 \)

Ya que cualquier entero se puede expresar como. \( n=3q+r \) con r={0,1,2} el resto de la división euclidea.

Por ello solo esos valores basta analizar.

\( n³=(3q+r)^3=9(3q^{3}+qr^{2}+3q^2)+r^3 \)

Si \( r=0 \;r³=0\Leftrightarrow{}n=9k \)

Si \( r=1 \;r³=1\Leftrightarrow{}n=9k+1 \)

Si \( r=2 \;r³=8\Leftrightarrow{}n=9k+8 \)

Hola, Robin.

Creo que en general no es cierto que dado un \( a^{n}
  \) los restos módulo \( n^{2}
  \) coincidan siempre con los restos de “n” elevados a “n”.

Saludos.

No, los exponentes son 3, pero no se por qué me han salido tan pequeños los exponentes, creo que puede ser que lo he hecho desde el sistema operativo Guadalinex, similar al Ubuntu..

Gracias feriva, ahora lo corrijo.

[Marcos Castillo]

Hola, robinlambada, ¿a qué te refieres con "tan pequeños los exponentes"?