[robinlambada]

Hola, robinlambada, ¿a qué te refieres con "tan pequeños los exponentes"?

De tamaño, de dimensiones, no de valor, las variables están al cubo.

Debido a la respuesta de feriva, que creía que había escrito n y r al cuadrado ( porque casi no se aprecia el valor del exponente), he comentado que se han publicado en internet con dimensiones muy pequeñas debido creo a un fallo del ordenador.(ya lo corregí, este detalle lo puedes observar en mi cita publicada por feriva.)

Saludos.

[feriva]

Hola, Robin y Marcos. La culpa es mía por haber sido tan escueto; me explico:

En este caso tenemos \( n^{3}=9k+r^{3}
  \); donde 9 es el cuadrado de 3: \( n^{3}=3^{2}k+r^{3}
  \)

Más en general podríamos tener 3 o cualquier número, digamos “m”

\( n^{m}=m^{2}k+r^{m}
  \)

Poniendo un ejemplo particular, haciendo “n=8” y “m=5” tendríamos

\( 8^{5}=25k+r^{5}
  \).

Si se divide \( 8^{5}
  \) entre 25 (en vez de módulo 9, ahora es 25) el resto es 18, que no coincide con la quinta potencia de ninguno de los restos 0,1,2,3,4; que serían paralelos a cuando en el caso de este problema tomas los restos 0,1,2 y los elevas al cubo para verificar que (en ese caso sí ocurre) son las soluciones.

Sin embargo, a priori no se sabe en general si eso es así, lo que pasa es que el problema dice “comprobar que son estas formas” y con ello da los restos que hay que comprobar. Si el problema fuera de “engaño”, podría haber algún resto más, por ejemplo.

En principio habría que probar los restos de 9 no sólo de 3; si bien es verdad que pasa eso en este problema y, dado el enunciado, quizá baste con comprobar sólo eso, porque normalmente no va pedir demostrar algo falso sin decirlo.

Eso era lo que quería señalar, nada más. 

*(lo de los ojos míos sí es verdad, veo menos que un galápago en lejía  aunque en este caso no fuera esa la cuestión)

Saludos.

[Luis Fuentes]

Hola

En principio habría que probar los restos de 9 no sólo de 3; si bien es verdad que pasa eso en este problema y, dado el enunciado, quizá baste con comprobar sólo eso, porque normalmente no va pedir demostrar algo falso sin decirlo.

No tiene nada que ver que el enunciado diga a priori cuales son los posibles restos para que el argumento de robinlambada funcione. Su procedimiento es impecable y prefectamente correcto.

La clave para que funcione es que si \( n=3k+r \) entonces \( n^3=9k'+r^3 \). Por ejemplo si trabajásemos con el cuadrado si, \( n=3k+r \) entonces \( n^2=9k^2+6lr+r^2 \), y entonces no le llegaría con analizar \( r^2 \). Pero el en su propio desarrollo justifica que funciona cuando hace:

\( n^3=(3q+r)^3=9(3q^{3}+qr^{2}+3q^2)+r^3 \)

viendo que queda "\( 9 \) por entero" más \( r^3. \)

Si hubiese hecho la cuenta con \( n^2 \) vería que NO le queda "\( 9 \) por entero" más \( r^2 \) y tendría que cambiar o afinar la estrategia.

Saludos.

P.D. En general la misma idea de robinlambada funciona si queremos analizar los restos de \( n^p \) modulo \( p^2 \).

[feriva]

No tiene nada que ver que el enunciado diga a priori cuales son los posibles restos para que el argumento de robinlambada funcione. Su procedimiento es impecable y prefectamente correcto.

Muchas gracias, el_manco.

Te entiendo perfectamente y ahora con tu explicación sí veo totalmente clara la validez del razonamiento: cuenta con la forma del desarrollo del binomio, donde particularmente se puede sacar factor común para todo lo que no es el resto y, por otra parte, en la ecuación \( n=3k+r \) la variable “r” sólo puede tomar los valores “0,1,2”, por tanto,  no puede tomar más valores de ésos en la otra ecuación, sería contradictorio, pues dicha ecuación proviene de la otra.

Saludos.