[Rectilíneo]

Hola,

"Un barril de una bebida refrescante se puede considerar un cilindro macizo de momento de inercia \( I=\displaystyle\frac{1}{2}MR^2 \) con \( M=40kg \) y \( R=20cm \). Lo colocamos en una pendiente constante de 0.1 radianes (Considera \( g=10m/s^2, tan(0.1)=sin(0.1)=0.1, cos(0.1)=1 \)).

a) Calcula cuánto tiene que valer la fuerza de fricción para que el barril ruede sin deslizarse. A partir de aquí saca el valor mínimo necesario del coeficiente de rozamiento estático.

b) Calcula la velocidad del centro de masa y la velocidad angular del barril respecto del centro de masas al cabo de bajar 2 segundos, suponiendo que parte del reposo absoluto. A partir de aquí indica cuánto se ha incrementado la energía cinética durante la bajada. ¿Es igual al módulo de la diferencia de energía potencial gravitatoria del barril? Razona la respuesta."


Tengo dudas en el a y al final del apartado b. Primero digo lo que he hecho:

a) Dibujo el diagrama de fuerzas sobre el barril y salen 3 ecuaciones con 3 incógnitas (ecuaciones de traslación, rotación y relación):

\( \begin{cases} P_x-F_r=Ma \\ F_rR+P_x·0=I\alpha \\ a=\alpha R \end{cases} \), sustituyendo datos y resolviendo me queda \( F_r=30N; \quad a=1.5m/s^2 \).

¿Cuál es la condición para que ruede pero no patine? ¿Es esta: \( F_r\leq{\mu_{s}N} \)? En caso de ser así la fuerza de rozamiento mínima que puede haber es 30N, como he calculado. Para el coeficiente:

\( \mu_{s}\geq{\displaystyle\frac{F_r}{mg\sin\theta}}=0.75 \), el coeficiente de rozamiento estático mínimo es 0.75.


b) \( v=v_0+at=1.5*2=3m/s \)
\( \omega=\displaystyle\frac{v}{R}=\displaystyle\frac{3}{0.2}=15rad/s \) (me extraña que sea tan fácil).

\( \Delta E_c=\displaystyle\frac{1}{2}mv^2+\displaystyle\frac{1}{2}I{\omega}^2=270J \)

Y aquí viene mi duda, para calcular el incremento de energía potencial necesito la altura: \( \Delta x=0.5at^2=3m; \quad h=\Delta x \sin0.1=0.3m \)

\( -\Delta E_p=mgh=120J \)

¿Por qué no coinciden \( \Delta E_c \) y \( -\Delta E_p \)? ¿Es porque la energía mecánica no es constante ya que la fuerza de fricción no es conservativa?


El ejercicio viene sin soluciones, por eso os pregunto. No quiero creer como ciertos ciertos conceptos que podrían ser erróneos.

Saludos.

[robinlambada]

Hola.

Hola,

"Un barril de una bebida refrescante se puede considerar un cilindro macizo de momento de inercia \( I=\displaystyle\frac{1}{2}MR^2 \) con \( M=40kg \) y \( R=20cm \). Lo colocamos en una pendiente constante de 0.1 radianes (Considera \( g=10m/s^2, tan(0.1)=sin(0.1)=0.1, cos(0.1)=1 \)).

a) Calcula cuánto tiene que valer la fuerza de fricción para que el barril ruede sin deslizarse. A partir de aquí saca el valor mínimo necesario del coeficiente de rozamiento estático.

b) Calcula la velocidad del centro de masa y la velocidad angular del barril respecto del centro de masas al cabo de bajar 2 segundos, suponiendo que parte del reposo absoluto. A partir de aquí indica cuánto se ha incrementado la energía cinética durante la bajada. ¿Es igual al módulo de la diferencia de energía potencial gravitatoria del barril? Razona la respuesta."


Tengo dudas en el a y al final del apartado b. Primero digo lo que he hecho:

a) Dibujo el diagrama de fuerzas sobre el barril y salen 3 ecuaciones con 3 incógnitas (ecuaciones de traslación, rotación y relación):

\( \begin{cases} P_x-F_r=Ma \\ F_rR+P_x·0=I\alpha \\ a=\alpha R \end{cases} \), sustituyendo datos y resolviendo me queda \( F_r=30N; \quad a=1.5m/s^2 \).

¿Cuál es la condición para que ruede pero no patine? ¿Es esta: \( F_r\leq{\mu_{s}N} \)? En caso de ser así la fuerza de rozamiento mínima que puede haber es 30N, como he calculado. Para el coeficiente:

\( \mu_{s}\geq{\displaystyle\frac{F_r}{mg\sin\theta}}=0.75 \), el coeficiente de rozamiento estático mínimo es 0.75.


b) \( v=v_0+at=1.5*2=3m/s \)
\( \omega=\displaystyle\frac{v}{R}=\displaystyle\frac{3}{0.2}=15rad/s \) (me extraña que sea tan fácil).

\( \Delta E_c=\displaystyle\frac{1}{2}mv^2+\displaystyle\frac{1}{2}I{\omega}^2=270J \)

Y aquí viene mi duda, para calcular el incremento de energía potencial necesito la altura: \( \Delta x=0.5at^2=3m; \quad h=\Delta x \sin0.1=0.3m \)

\( -\Delta E_p=mgh=120J \)

¿Por qué no coinciden \( \Delta E_c \) y \( -\Delta E_p \)? ¿Es porque la energía mecánica no es constante ya que la fuerza de fricción no es conservativa?


El ejercicio viene sin soluciones, por eso os pregunto. No quiero creer como ciertos ciertos conceptos que podrían ser erróneos.

Saludos.

A mi juicio,parece todo bien. Aunque la parte de solido rígido lo tengo un poco olvidado y no hice nunca algo parecido al apartado a)

Ten en cuenta respecto a la fricción que no es conservativa ( en general), por el principio de las fuerzas vivas.

\( W_{Fext}=\Delta Ec=\displaystyle\int_{0}^{x}(mg\sen(0.1)-F_r)\cdot{dx}=-\Delta Ep -\displaystyle\int_{0}^{x}F_r\cdot{dx} \)

Saludos.

[robinlambada]

No hagas mucho caso a mi respuesta anterior, pues hay varias cosas que me chirrian. No me cuadra nada que la energía mecánica al principio sea menor que la energía mecánica al final, no tiene sentido.(te has tenido que equivocar al calcular la aceleración , lo pensare detenidamente)

[robinlambada]

No hagas mucho caso a mi respuesta anterior, pues hay varias cosas que me chirrian. No me cuadra nada que la energía mecánica al principio sea menor que la energía mecánica al final, no tiene sentido.(te has tenido que equivocar al calcular la aceleración , lo pensare detenidamente)

EDITADO
Te has equivocado en un signo al calcular la aceleración y la fuerza de rozamiento.

\( \begin{cases} P_x-F_r=Ma \\ F_rR+P_x·0=I\alpha \\ a=\alpha R \end{cases} \), sustituyendo datos y resolviendo me queda

Sería \(  \xcancel{-F_rR+P_x·0=I\alpha}  \)

Entonces a mí me da: \( |F_r|= \displaystyle\frac{40}{3} \;N \) y \( a=\dfrac 23 \; m/s \)

Saludos.

[robinlambada]

Al final me sale que la energía se conserva, pues al no haber deslizamiento la fuerza de rozamiento no realiza trabajo disipativo. (la fuerza de rozamiento se aplica al punto de contacto con el suelo en reposo ) Esto también me chirriaba.

De esto último no estoy seguro, ya que casi olvide el solido rígido, pero me cuadran los datos \( \Delta Ec=-\Delta Ep=\displaystyle\frac{160}{3}\; J. \)

P.D.:Ruego revisión.

[Rectilíneo]

Sería \(  -F_rR+P_x·0=I\alpha  \)

Entonces a mí me da: \( |F_r|= \displaystyle\frac{40}{3} \;N \) y \( a=\dfrac 23 \; m/s \)

Pero el rozamiento va a favor de la rotación, ¿no? Estamos considerando que el barril gira en sentido horario. La fuerza de rozamiento también es de sentido horario, creo que está bien.

A ver si alguien más da su opinión y aclaramos la cuestión.

Muchas gracias por tu ayuda.

[robinlambada]

Sería \(  -F_rR+P_x·0=I\alpha  \)

Entonces a mí me da: \( |F_r|= \displaystyle\frac{40}{3} \;N \) y \( a=\dfrac 23 \; m/s \)

Pero el rozamiento va a favor de la rotación, ¿no? Estamos considerando que el barril gira en sentido horario. La fuerza de rozamiento también es de sentido horario, creo que está bien.

A ver si alguien más da su opinión y aclaramos la cuestión.

Muchas gracias por tu ayuda.

Editado:
Si, el barril gira en sentido horario, por tanto la aceleración angular es negativa, el signo menos viene por que as tomado como positivo el eje x hacia la derecha  ( es decir as tomado \( a>0 \) lo he hecho para que cuadre a y \( \alpha \) y seguir con el criterio de eje positivo hacia la derecha ) realmente sería a<0, es decir:


\( \xcancel{\begin{cases} \color{blue}-\color{black}P_x\color{blue}+\color{black}F_r=Ma \\ F_rR+P_x·0=I\alpha \\ a=\alpha R \end{cases}} \)

Ten en cuenta que como lo has planteado el problema, el barril baja más rápido que si deslizara sin rozamiento ni girar, daría \( a=1 \;m/s<1'5 \;m/s \). Y nunca a nivel macroscópico se puede crear energía, violaría el primer principio de la termodinámica.

[robinlambada]

EDITADO
Ten en cuenta que \( |R\wedge F_r|=|R|\cdot{}|F_r|\cdot{}|\sen(-90)|=I|\alpha| \)

Pero si queremos ver el signo de la aceleración angular entonces  \( \sen(-90)=-1 \) y \( \xcancel{-|R|\cdot{}|F_r|=I\alpha<0\Rightarrow{}\alpha<0} \)

[Carlos Ivorra]

\( \begin{cases} P_x-F_r=Ma \\ F_rR+P_x·0=I\alpha \\ a=\alpha R \end{cases} \), sustituyendo datos y resolviendo me queda \( F_r=30N; \quad a=1.5m/s^2 \).

Yo diría que estas ecuaciones están bien, pero la solución no es la que indicas, sino la que dice robinlambada. (Esto es lo que se llama ser salomónico     ).

En cuanto a la polémica de los signos, sin entrar en purismos, las ecuaciones se pueden plantear para que \( a \) y \( \alpha \) salgan positivas, o para que salgan negativas (tienen que tener el mismo signo si queremos que \( \alpha = a/R \). Rectilineo las ha planteado para que salgan positivas, y entonces en la primera ecuación, al poner una resta, hay que entender que \( F_r \) es el módulo de la fuerza de rozamiento (positiva, porque el signo negativo ya lo ha puesto antes) y en la segunda ecuación tiene que considerar la fuerza también positiva para que \( \alpha \) salga positiva.

No sé si hay duda en esto, pero la fuerza de rozamiento apunta cuesta arriba, en sentido contrario a la componente tangencial del peso.

[robinlambada]

\( \begin{cases} P_x-F_r=Ma \\ F_rR+P_x·0=I\alpha \\ a=\alpha R \end{cases} \), sustituyendo datos y resolviendo me queda \( F_r=30N; \quad a=1.5m/s^2 \).

Yo diría que estas ecuaciones están bien, pero la solución no es la que indicas, sino la que dice robinlambada. (Esto es lo que se llama ser salomónico     ).

En cuanto a la polémica de los signos, sin entrar en purismos, las ecuaciones se pueden plantear para que \( a \) y \( \alpha \) salgan positivas, o para que salgan negativas (tienen que tener el mismo signo si queremos que \( \alpha = a/R \). Rectilineo las ha planteado para que salgan positivas, y entonces en la primera ecuación, al poner una resta, hay que entender que \( F_r \) es el módulo de la fuerza de rozamiento (positiva, porque el signo negativo ya lo ha puesto antes) y en la segunda ecuación tiene que considerar la fuerza también positiva para que \( \alpha \) salga positiva.

No sé si hay duda en esto, pero la fuerza de rozamiento apunta cuesta arriba, en sentido contrario a la componente tangencial del peso.

Si estoy de acuerdo, me he liado un poco.

Tanto Rectilineo como yo nos hemos equivocado al pasar de miembro la fuerza de rozamiento, pero yo doblemente al ponerla como la aceleración angular negativa (que no tiene sentido). pero ya sabemos que\(  - \cdot{} -=+ \) y mis 2 errores se compensaron dándome el resultado correcto.

P.D.: Esto me pasa por ser muy confiado y dar por buenos tus cálculos ( no ver tu error en las cuentas) y forzar a que el error estuviera en el planteamiento de las ecuaciones angulares (con el cambio de signo ), que tengo oxidadas. Pero espero que entiendas que los cálculos energéticos que te dieron eran contradictorios y la aceleración nunca puede ser mayor a la del deslizamiento sin fricción.

P.D: corrijo los errores para no confundir. ( Gracias Carlos )